15高中数学新教材一轮复习课堂导学案（求轨迹方程）及答案

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一、求轨迹方程的三种方法：
1.直译法：从“几何条件”到“代数方程”：
（1）设所求动点为；
（2）列该动点的几何条件（距离或斜率）；
（3）“翻译”成未知数的方程；
（4）化简该方程；
（5）检验方程.
2.代入法：所求动点随着已知动点在动（已知点所在的轨迹方程）
（1）设，；
（2）列出与的代数关系式（中点坐标公式，或向量关系式，等等）；
（3）解出，，代入的轨迹方程；
（4）化简.
3.定义法：
（1）判断动点满足哪种定义（直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线的定义）
（2）求相应类型的轨迹方程.
二、常见结论：
1.阿波罗尼斯圆：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆；
2.椭圆（或双曲线）上任意点与两个长轴（实轴）端点的连线的斜率之积为定值.
【典例】
例1.（直译法）求满足以下条件的动点的轨迹方程：
（1）已知动点到与到的距离相等，求动点的轨迹方程；答案：
（2）（课本P97）已知，，动点与点的距离是它与点的距离之比的倍，求动点的轨迹方程.答案：
（3）（课本P108）设，两点的坐标分别是，.直线，相交于点，且它们斜率之积是，求动点的轨迹方程.答案：（）
例2.（代入法）求满足以下条件的动点的轨迹方程：
（1）（课本P87）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程；答案：
（2）（课本P108）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，求线段的中点的轨迹.答案：
例3.（定义法）
（1）已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．
【解析】：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，
即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，
即．∴点的轨迹是以，为两焦点，
半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．
说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
（2）若动圆过定点且和定圆 外切，则动圆圆心的轨迹方程是___________.
思路：定圆的圆心为，观察到恰好与关于原点对称，所以考虑点轨迹是否为椭圆或双曲线，设动圆的半径为，则有，由两圆外切可得，所以，即距离差为定值，所以判断出的轨迹为双曲线的左支，则，解得，所以轨迹方程为
答案：
小炼有话说：本题从所给条件中的对称定点出发，先作一个预判，从而便可去寻找符合定义的要素，即线段的和或差。要注意本题中，所以轨迹为双曲线的一支。
【作业】
1．方程表示的轨迹为（ C ）
A．点
B．点与点
C．直线或直线
D．直线与直线的公共点
2．已知、, 则以为斜边的直角三角形直角顶点的轨迹方程是（ D ）
A．Ｂ．
Ｃ．（）Ｄ． （）
3.已知动点满足方程，则的轨迹方程可化为（ D ）
A．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
4．动点分别与点和点的连线，所得两直线的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为（ B ）
A． B． C． D．
5．已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径，消去，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心的轨迹，进一步求出其方程.
【详解】
设动圆的圆心，半径为
圆与圆:内切，与C2：外切.
所以.
由椭圆的定义，的轨迹是以为焦点，长轴为16的椭圆.
则，所以
动圆的圆心的轨迹方程为：
故选：D
【点睛】
本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题.
6．已知定点，，M是：上的动点，关于点M的对称点为N，线段的中垂线与直线交于点P，则点P的轨迹是（ ）
A．双曲线B．椭圆C．圆D．直线
【答案】A
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质，结合图分析点P到，的距离只差可知.
【详解】
由题意及图可知，，
因为O、M分别为的中点，所以，所以
故点P的轨迹是以，为焦点，2为实轴长的双曲线.
故选：A
二、填空题
7.（2017新课标II）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足，则点P的轨迹方程为 .
8．已知动点到两定点、的距离的之比为，则动点的轨迹方程为 .
9．（2011山西）是圆上的的动点，是在轴上的射影，为上 一点，且，当在圆上运动时，则的轨迹方程为 .
10．已知点在圆上运动，且存在一定点，点为线段的中点，则点的轨迹的方程为 .
11．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．
答案 x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)
12.（2008江苏）若,，则的最大值为 .
13．（2016新课标Ⅰ）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
14.（2011广东理）设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，求动点的轨迹方程.
15.（2010四川理）已知，定直线：，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的2倍，求点的轨迹方程.
答案：（）
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