30高中数学新教材一轮复习课堂导学案（复合函数的导数及函数图像的切线）及答案

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【知识点】
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作__y＝f (g(x))__．
思考：函数y＝lg2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
[提示] 函数y＝lg2(x＋1)是由y＝lg2u及u＝x＋1
两个函数复合而成的．
2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝ y′u·u′x ，即y对x的导数等于___y对u的导数与u对x的导数的乘积_____．
3．区别两种题意：
（1）函数在处的切线；（必定是切点）
（2）函数过处的切线.（可能是切点）
4．如图，若函数在处的切线为，则有三个条件成立：
（1）；
（2）（函数过点）；
（3）（切线过点）.
【典例】
例1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx． ( √ )
(2)f (x)＝ln(3x－1)则f ′(x)＝eq \f(1,3x－1)． ( × )
(3)f (x)＝x2cs2x，则f ′(x)＝2xcs2x－2x2sin2x． ( √ )
例2．（1）求在处的切线方程；
（2）设函数的图像在点处的切线方程为，求函数的解析式．
解：（1）∵
∴
∴，∴切线斜率，
又∵，∴切点，
由点斜式，得所求为，即
（2）∵∴
∵切线方程为，即，即
∴，
又∵在，∴
即，∴，解得.
例3．一点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是( )
A. B. C. D.
思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来。，对于曲线上任意一点，斜率的范围即为导函数的值域：，所以倾斜角的范围是
答案：B
例4．（1）已知直线与双曲线相切，求的值；
（2）已知直线与函数相切，求的值.
（3）已知直线与函数相切，求的值.
解：（1）设切点为，
∵，
∴，∴
依题意，得，解得或
解：（2）设切点为，
∵，
∴，∴
依题意，得，解得.
（3）设切点为，
∵，
∴，∴
依题意，得，解得.
例5．求过点，且与曲线相切的直线方程
解：∵点在函数曲线上
（1）当是切点时
由，，
∴切线斜率，且切点为
由点斜式，切线方程为，即.
（2）当不是切点时，设切点为
，∴切线斜率，
由点斜式，切线方程为，
即，
∵切线过点，
∴，解得（舍去）或
∴，
切线方程为，即
综上（1）（2）所述，切线为或
小炼有话说：（1）由于在导数中利用极限的思想对切线进行了严格定义，即割线的极限位置是切线，从而不能局限的认为切线与曲线的公共点一定就是切点，存在一条直线与曲线相切于一点，并与曲线的另一部分相交于一点的情况，本题便是一个典型的例子
（2）在已知一点求切线方程时，要注意切线斜率不仅可用切点的导数值来表示，也可以用已知点与切点来进行表示，进而增加可以使用的条件.
例6．已知，（），直线与函数，的图象都相切，与图象的切点为，则m等于( )
A．－1 B．－3 C．－4 D．－2
解：∵，∴，
∴，即切线斜率，
又，及切点为，
由点斜式，所求切线方程为，即.
由，消去，，
∵直线与（）相切，
∴，
∴
解得或，选D
【作业】
一、选择题
1．已知函数，则（ C ）
A． B． C． D．
2.函数在处切线的倾斜角为（ A ）
A. B. C. D.
3.已知函数，则（ B ）
A． B． C． D．
4．（2011湖南）曲线在点处的切线的斜率为（ B ）
A． B． C． D．
4．B【解析】，所以
.
5.(2010全国文)若曲线在点处的切线方程是，则（ A）
（A） (B) (C) (D)
6．函数的图像如图所示，的函数的导函数。下列数值排序正确的是( D )
A．
B．
C．
D．
7．（多选题）（2020·江苏常州市高二期末）下列求导数运算不正确的是（ABC ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【详解】选项A，，故A错误；选项B，，故B错误；
选项C，，故C错误；选项D，正确.
8．（多选题）（2020·全国高二专题练习）下列结论中不正确的是（ ACD）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ACD
【详解】对于A，，则，故错误；对于B，，则，故正确；对于C，，则，故错误；对于D，，则，故错误．故选：ACD
9．（2017新课标Ⅰ）曲线在点处的切线方程为______．
9．【解析】∵，又，所以切线方程为，即．
10.（2009宁夏海南卷）曲线在点（0,1）处的切线方程为 ．
11.已知直线与曲线切于点，则的值为____3_____
12．（2015新课标1）已知函数的图像在点的处的切线过点，则 1 ．
12．1【解析】∵，∴，即切线斜率，
又∵，∴切点为（1，），∵切线过（2,7），∴，
解得1．
13．（2015新课标2）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 8 ．
分析：先求出曲线在点处的切线为
再由得，验证得当不成立
因为相切，所以，即（），解得.
三、解答题
14．求下列函数的导函数：
（1）；
（2）．
【详解】（1）；
（2）．
15.求过点与函数相切的直线方程.
解法一：设所求直线为
由，消得，
∵相切，∴以上方程有两个相等的实数根，即
∴，提取公因式得，即
∴或
∴切线方程为：或
解法二：设切点为
∵，∴
所以，∴以切线斜率，
且∵切点在抛物线上，即
由点斜式，得切线方程为，即
∵切线过点，代入上式得
，化简得
解得，或,
∴或
即切点为或，
斜率或
由点斜式，得切线方程为或
即切线方程为或
16.已知函数在点处的切线方程为，求,的值.
解：∵
∴∵切线为
把切点代入，得，即
∵切线为化为，其斜率，即
由，得，即，解得.