2023-2024学年北京市东城区中央工艺美术学院附中高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年北京市东城区中央工艺美术学院附中高一（下）期中数学试卷（含答案），共5页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z=−2+2i的虚部为( )
A. 2B. −2C. 0D. 2i
2.已知A(2,1)，B(4,3)，则线段AB中点坐标为( )
A. (1,1)B. (2,2)C. (2,3)D. (3,2)
3.已知向量a=(x,3)，b=(4,6)，且a//b，那么x的值是( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
4.如图，在正方形ABCD中，E是AB边的中点，设AD=a，AB=b，则DE=( )
A. −a+12b
B. a−12b
C. 12a+b
D. 12a−b
5.把函数y=sinx的图象向左平移π3个单位后，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，则所得函数图象的解析式为( )
A. y=sin(x3+π3)B. y=sin(x3+π9)C. y=sin(3x+π3)D. y=sin(3x+π9)
6.设a，b均为单位向量，且a⋅b=14，则|a+2b|=( )
A. 3B. 6C. 6D. 9
7.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(0,π2)上为增函数的是( )
A. y=sin2xB. y=cs2xC. y=tanxD. y=sinx2
8.如图，在△ABC中，点D在线段BC上，BD=2DC，如果AD=xAB+yAC，那么( )
A. x=13，y=23B. x=23，y=13
C. x=−23，y=13D. x=13，y=−23
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
9.若复数z=m+1+(m−1)i为纯虚数，则实数m= ______．
10.已知M(3,−2)，N(−5,−1)，且MP=12MN，则P点的坐标为______．
11.已知在△ABC中，a= 6，B=120°，A=30°，则b= ______．
12.在△ABC中，已知a=4，b=4 2，B=45°，则∠A= ______．
13.已知复数z=2i1+i，则z的共轭复数z= ______．
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a=3，b= 2，c=2 2，那么csA= ______．
三、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知a=(1,2),b=(−3,1)．
(1)求a−2b；
(2)设a，b的夹角为θ，求csθ的值．
16.(本小题9分)
已知向量a,b的夹角为π3，|a|=1,|b|=2．
(1)求a⋅b；
(2)若2a−b与ta+b垂直，求实数t的值．
17.(本小题9分)
已知π2<α<π，csα=−45．
(1)求tanα的值；
(2)求cs(2α−π4)的值．
18.(本小题9分)
已知函数f(x)=2 3sinxcsx+2cs2x−1．
(1)求f(x)最小正周期；
(2)当x∈[0,π2]时，求f(x)的最大值以及取得最大值时x的值．
19.(本小题9分)
已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，csB=35．
(Ⅰ)若b=4，求sinA的值；
(Ⅱ)若△ABC的面积S=4，求b、c的值．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.A
5.C
6.B
7.C
8.A
9.−1
10.P(−1,−32)
11.3 2
12.30°
13.1−i
14.18
15.解：(1)a−2b=(1,2)−2(−3,1)=(1+6,2−2)=(7,0)．
(2)csθ=a⋅b|a|⋅|b|=1×(−3)+2×1 1+22 (−3)2+1=− 210．
16.解：(1)因为向量a,b的夹角为π3，|a|=1,|b|=2，
所以a⋅b=|a||b|csπ3=1×2×12=1；
(2)因为2a−b与ta+b垂直，
所以(2a−b)⋅(ta+b)=0，
所以2ta2+2a⋅b−ta⋅b−b2=0，
所以2t+2−t−4=0，解得t=2．
17.解：(1)因为π2<α<π，csα=−45，
所以sinα= 1−cs2α= 1−1625=35，
所以tanα=sinαcsα=35−45=−34；
(2)因为csα=−45，sinα=35，
所以sin2α=2sinαcsα=2×35×(−45)=−2425，
cs2α=2cs2α−1=2×1625−1=725，
所以cs(2α−π4)=cs2αcsπ4+sin2αsinπ4
=725× 22+(−2425)× 22=−17 250．
18.解：(1)f(x)=2 3sinxcsx+2cs2x−1
=2( 32sin2x+12cs2x)=2sin(2x+π6)，
所以f(x)最小正周期T=2π2=π；
(2)当x∈[0,π2]时，2x+π6∈[π6,7π6]，
所以−1≤2sin(2x+π6)≤2，
∴当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)有最大值为2．
19.解：(I)∵sinB= 1−cs2B=45(2分)
由正弦定理得asinA=bsinB．
∴sinA=asinBb=2×454=25.(5分)
(II)∵S△ABC=12acsinB=4，
∴12×2×c×45=4．
∴c=5(7分)
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，
∴b= a2+c2−2accsB= 22+52−2×2×5×35= 17(10分)