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2023-2024学年上海市闵行区七宝中学高二（下）期中数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年上海市闵行区七宝中学高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若曲线y=f(x)=2sinx+2024在点(π3,f(π3))处的切线与直线y=ax+2024垂直，则实数a=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
2.若382023+a能被13整除，则a可以是( )
A. 0B. 1C. 11D. 12
3.对于各数互不相等的正数数组(i1,i2,…,in)(n是不小于2的正整数)，如果在piq，则称ip与iq是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”.例如，数组(2,4,3,1)中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4.若各数互不相等的正数数组(a1,a2,a3,a4,a5,a6)的“逆序数”是2，则(a6,a5,a4,a3,a2,a1)的“逆序数”是( )
A. 34B. 28C. 16D. 13
4.设曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l.则以下说法正确的个数是( )
①l与曲线y=f(x)可能没有交点
②l与曲线y=f(x)一定只有一个交点
③l与曲线y=f(x)不可能有且仅有两个交点
④l与曲线y=f(x)可能有无穷多个交点
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知C7k=C72k−1，则正整数k= ______．
6.已知函数f(x)=lnx，则ℎ→0limf(3+ℎ)−f(3)ℎ= ______．
7.函数f(x)=2x2−4x+lnx的驻点为______．
8.已知(1+2x)n的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，则n= ______．
9.二项式(x+2x)6的展开式中的常数项是______.(用数字作答)
10.已知有5个男生和x个女生，若从中选择2个男生和1个女生在狂欢节中表演一个小品节目，共有30种不同的选法，则x= ______．
11.一场晚会共有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，随机排序形成一个节目单，则节目单中前3个节目都是舞蹈节目的概率为：______．
12.已知(2x−1)10=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+…+a10(x−2)10，则a0−a1+a2−a3+…+a10= ___．
13.用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数abcde−，其中满足a>b>c14.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，以下结论：
①f(x)在区间(−2.3)上有2个极值点；
②f′(x)在x=−1处取得极小值；
③f(x)在区间(−2,3)上单调递减；
④f(x)的图像在x=0处的切线斜率小于0.正确的序号是______．
15.设a∈R，若关于x的方程aex=x2有三个实数解，则a的取值范围为______．
16.已知函数f(x)=xex+e−e2,x≤0− 2+x2,x>0，点M、N是函数y=f(x)图象上不同的两个点，设O为坐标原点，则tan∠MON的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
5名男生，2名女生站成一排照相.求在下列约束条件下，有多少种站法？
(1)女生不站在两端；
(2)女生相邻；
(3)女生不相邻．
18.(本小题14分)
已知f(x)=3x3−9x+5．
(1)求函数y=f(x)的单调减区间；
(2)求函数y=f(x)在[−1,3]上的最大值和最小值．
19.(本小题14分)
已知(2x−1 x)5．
(1)求展开式中含1x的项的系数；
(2)设(2x−1 x)5的展开式中前三项的二项式系数的和为M，(1+ax)6的展开式中各项系数的和为N，若4M=N，求实数a的值．
20.(本小题18分)
已知函数f(x)=x−alnx−1(a∈R)．
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线为x轴，求a的值；
(Ⅱ)讨论f(x)在区间(1,+∞)内的极值点个数；
(Ⅲ)若f(x)在区间(1,+∞)内有零点t，求证：t21.(本小题18分)
已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若|f′(x)|≤1对任意x∈R恒成立，则称函数f(x)为“线性控制函数”．
(1)判断函数f(x)=sinx和g(x)=ex是否为“线性控制函数”，并说明理由；
(2)若函数f(x)为“线性控制函数”，且f(x)在R上严格增，设A、B为函数f(x)图像上互异的两点，设直线AB的斜率为k，判断命题“0(3)若函数f(x)为“线性控制函数”，且f(x)是以T(T>0)为周期的周期函数，证明：对任意x1，x2都有|f(x1)−f(x2)|≤T．
参考答案
1.B
2.B
3.D
4.B
5.1
6.13
7.12
8.14
9.160
10.3
11.156
12.1
13.35
14.②③④
15.(0,4e2)
16.(0,1+2e)
17.解：(1)根据题意，女生不站在两端，即男生在两端，
在5个男生中选出2人，安排在两端，剩下5人安排在中间，
有A52A55=2400种排法；
(2)两名女生要相邻，先把两名女生捆绑在一起看作一个整体，
再和另外的5名男生全排，故有A22A66=1440种排法；
(3)利用插空法，把2名女生插入到5名男生所形成的6个空中的2个，A55A62=3600种．
18.解：(1)∵f(x)的定义域为R，且f′(x)=9x2−9=9(x+1)(x−1)，
令f′(x)<0，可得−1∴函数y=f(x)的单调递减区间为(−1,1)；
(2)令f′(x)>0，可得x<−1或x>1，则f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)，(1,+∞)，
∴在区间[−1,3]上，f′(x)，f(x)随x的变换情况如下表：
∴函数f(x)在[−1,3]上的最大值为59，最小值为−1．
19.解：(1)(2x−1 x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(2x)5−r(−1 x)r=(−1)r25−rC5rx5−3r2(r=0,1,2,3,4,5)．
令5−3r2=−1，则r=4，
∴展开式中含1x的项为T4+1=(−1)4×21×C54x−1=10x−1，
∴展开式中含1x的项的系数为10．
(2)由题意可知M=C50+C51+C52=16，N=(1+a)6，
∵4M=N，
∴(1+a)6=4×16，解得a=1或a=−3．
20.解：(Ⅰ)f′(x)=1−ax，则f′(1)=1−a=0，解得a=1．
经验证，f(x)=x−lnx−1在点(1,0)处的切线为y=0，∴a=1．
(Ⅱ)由题得f′(x)=1−ax=x−ax．
若a≤1，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0恒成立，
∴f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，∴f(x)无极值点．
若a>1，当x∈(1,a)时，f′(x)<0，当x∈(a,+∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在区间(1,a)上单调递减，f(x)在区间(a,+∞)上单调递增．
∴x=a为f(x)的极小值点，且f(x)无极大值点．
综上，当a≤1时，f(x)在区间(1,+∞)内的极值点个数为0；
当a>1时，f(x)在区间(1,+∞)内的极值点个数为1．
(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)知当a≤1时，f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，
∴f(x)>f(1)=0．
∴f(x)在区间(1,+∞)内无零点．
当a>1时，f(x)的单调递减区间为(1,a)，单调递增区间为(a,+∞)．
∴f(a)若f(x)在区间(1,+∞)内有零点t，则t∈(a,+∞)．
而f(a2)=a2−2alna−1，设g(x)=x2−2xlnx−1(x>1)，
则g′(x)=2x−2(1+lnx)=2(x−1−lnx)．
设ℎ(x)=2(x−1−lnx)(x>1)，则ℎ′(x)=2(1−1x)=2(x−1)x>0，
∴ℎ(x)在区间(1,+∞)上单调递增．
∴ℎ(x)>ℎ(1)=0，即g′(x)>0．
∴g(x)在区间(1,+∞)上单调递增．
∴g(a)>g(1)=0，即f(a2)>0．
又f(t)=0，a2>a，
∴t21.解：(1)|f′(x)|=|csx|≤1，
所以f(x)=sinx是“线性控制函数“，
|g′(1)|=e>1，
所以g(x)=ex不是“线性控制函数”．
(2)设A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，其中x1因为f(x)在R上单调递增，
所以f(x1)所以k=f(x1)−f(x2)x1−x2>0，
因为f(x)为“线性控制函数“，
所以f′(x)≤1，即f′(x)−1≤0，
令F(x)=f(x)−x，
所以F′(x)=f′(x)−1≤0，
所以F(x)在R上为减函数，
k−1=f(x1)−f(x2)x1−x2−1=(f(x1)−x1)−(f(x2)−x2)x1−x2=F(x1)−F(x2)x1−x2≤0，
所以k≤1，
综上所述，0(3)证明：由(2)可知，对任意a因为f(x)为“线性控制函数”，
所以f′(x)≥−1，即f′(x)+1≥0，
令G(x)=f(x)+x，则G′(x)=f′(x)+1≥0，
所以F(x)在R上为增函数，
f(a)−f(b)a−b+1=(f(a)+a)−(f(b)+b)a−b=G(a)−G(b)a−b≥0，
所以f(a)−f(b)a−b≥−1，
所以对任意a当x1=x2时，|f(x1)−f(x2)|=0≤T恒成立，
当x1≠x2时，
若|x2−x1|≤T，则1≥|f(x1)−f(x2)x1−x2|≥|f(x1)−f(x2)T|，
所以|f(x1)−f(x2)|≤T，
若|x2−x1|>T，则存在x3∈[x1,x1+T)使得f(x3)=f(x2)
所以1≥|f(x1)−f(x3)x1−x3|≥|f(x1)−f(x3)T|，
所以|f(x1)−f(x2)|=|f(x1)−f(x3)|≤T，
综上所述，对任意x1，x2都有|f(x1)−f(x2)|≤T． x
−1
(−1,1)
1
(1,3)
3
f′(x)
0
−
0
+
y=f(x)
11
单调递减
极小值−1
单调递增
59
1.若曲线y=f(x)=2sinx+2024在点(π3,f(π3))处的切线与直线y=ax+2024垂直，则实数a=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
2.若382023+a能被13整除，则a可以是( )
A. 0B. 1C. 11D. 12
3.对于各数互不相等的正数数组(i1,i2,…,in)(n是不小于2的正整数)，如果在p
A. 34B. 28C. 16D. 13
4.设曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l.则以下说法正确的个数是( )
①l与曲线y=f(x)可能没有交点
②l与曲线y=f(x)一定只有一个交点
③l与曲线y=f(x)不可能有且仅有两个交点
④l与曲线y=f(x)可能有无穷多个交点
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知C7k=C72k−1，则正整数k= ______．
6.已知函数f(x)=lnx，则ℎ→0limf(3+ℎ)−f(3)ℎ= ______．
7.函数f(x)=2x2−4x+lnx的驻点为______．
8.已知(1+2x)n的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，则n= ______．
9.二项式(x+2x)6的展开式中的常数项是______.(用数字作答)
10.已知有5个男生和x个女生，若从中选择2个男生和1个女生在狂欢节中表演一个小品节目，共有30种不同的选法，则x= ______．
11.一场晚会共有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，随机排序形成一个节目单，则节目单中前3个节目都是舞蹈节目的概率为：______．
12.已知(2x−1)10=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+…+a10(x−2)10，则a0−a1+a2−a3+…+a10= ___．
13.用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数abcde−，其中满足a>b>c
①f(x)在区间(−2.3)上有2个极值点；
②f′(x)在x=−1处取得极小值；
③f(x)在区间(−2,3)上单调递减；
④f(x)的图像在x=0处的切线斜率小于0.正确的序号是______．
15.设a∈R，若关于x的方程aex=x2有三个实数解，则a的取值范围为______．
16.已知函数f(x)=xex+e−e2,x≤0− 2+x2,x>0，点M、N是函数y=f(x)图象上不同的两个点，设O为坐标原点，则tan∠MON的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
5名男生，2名女生站成一排照相.求在下列约束条件下，有多少种站法？
(1)女生不站在两端；
(2)女生相邻；
(3)女生不相邻．
18.(本小题14分)
已知f(x)=3x3−9x+5．
(1)求函数y=f(x)的单调减区间；
(2)求函数y=f(x)在[−1,3]上的最大值和最小值．
19.(本小题14分)
已知(2x−1 x)5．
(1)求展开式中含1x的项的系数；
(2)设(2x−1 x)5的展开式中前三项的二项式系数的和为M，(1+ax)6的展开式中各项系数的和为N，若4M=N，求实数a的值．
20.(本小题18分)
已知函数f(x)=x−alnx−1(a∈R)．
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线为x轴，求a的值；
(Ⅱ)讨论f(x)在区间(1,+∞)内的极值点个数；
(Ⅲ)若f(x)在区间(1,+∞)内有零点t，求证：t
已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若|f′(x)|≤1对任意x∈R恒成立，则称函数f(x)为“线性控制函数”．
(1)判断函数f(x)=sinx和g(x)=ex是否为“线性控制函数”，并说明理由；
(2)若函数f(x)为“线性控制函数”，且f(x)在R上严格增，设A、B为函数f(x)图像上互异的两点，设直线AB的斜率为k，判断命题“0
参考答案
1.B
2.B
3.D
4.B
5.1
6.13
7.12
8.14
9.160
10.3
11.156
12.1
13.35
14.②③④
15.(0,4e2)
16.(0,1+2e)
17.解：(1)根据题意，女生不站在两端，即男生在两端，
在5个男生中选出2人，安排在两端，剩下5人安排在中间，
有A52A55=2400种排法；
(2)两名女生要相邻，先把两名女生捆绑在一起看作一个整体，
再和另外的5名男生全排，故有A22A66=1440种排法；
(3)利用插空法，把2名女生插入到5名男生所形成的6个空中的2个，A55A62=3600种．
18.解：(1)∵f(x)的定义域为R，且f′(x)=9x2−9=9(x+1)(x−1)，
令f′(x)<0，可得−1
(2)令f′(x)>0，可得x<−1或x>1，则f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)，(1,+∞)，
∴在区间[−1,3]上，f′(x)，f(x)随x的变换情况如下表：
∴函数f(x)在[−1,3]上的最大值为59，最小值为−1．
19.解：(1)(2x−1 x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(2x)5−r(−1 x)r=(−1)r25−rC5rx5−3r2(r=0,1,2,3,4,5)．
令5−3r2=−1，则r=4，
∴展开式中含1x的项为T4+1=(−1)4×21×C54x−1=10x−1，
∴展开式中含1x的项的系数为10．
(2)由题意可知M=C50+C51+C52=16，N=(1+a)6，
∵4M=N，
∴(1+a)6=4×16，解得a=1或a=−3．
20.解：(Ⅰ)f′(x)=1−ax，则f′(1)=1−a=0，解得a=1．
经验证，f(x)=x−lnx−1在点(1,0)处的切线为y=0，∴a=1．
(Ⅱ)由题得f′(x)=1−ax=x−ax．
若a≤1，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0恒成立，
∴f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，∴f(x)无极值点．
若a>1，当x∈(1,a)时，f′(x)<0，当x∈(a,+∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在区间(1,a)上单调递减，f(x)在区间(a,+∞)上单调递增．
∴x=a为f(x)的极小值点，且f(x)无极大值点．
综上，当a≤1时，f(x)在区间(1,+∞)内的极值点个数为0；
当a>1时，f(x)在区间(1,+∞)内的极值点个数为1．
(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)知当a≤1时，f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，
∴f(x)>f(1)=0．
∴f(x)在区间(1,+∞)内无零点．
当a>1时，f(x)的单调递减区间为(1,a)，单调递增区间为(a,+∞)．
∴f(a)
而f(a2)=a2−2alna−1，设g(x)=x2−2xlnx−1(x>1)，
则g′(x)=2x−2(1+lnx)=2(x−1−lnx)．
设ℎ(x)=2(x−1−lnx)(x>1)，则ℎ′(x)=2(1−1x)=2(x−1)x>0，
∴ℎ(x)在区间(1,+∞)上单调递增．
∴ℎ(x)>ℎ(1)=0，即g′(x)>0．
∴g(x)在区间(1,+∞)上单调递增．
∴g(a)>g(1)=0，即f(a2)>0．
又f(t)=0，a2>a，
∴t
所以f(x)=sinx是“线性控制函数“，
|g′(1)|=e>1，
所以g(x)=ex不是“线性控制函数”．
(2)设A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，其中x1
所以f(x1)
因为f(x)为“线性控制函数“，
所以f′(x)≤1，即f′(x)−1≤0，
令F(x)=f(x)−x，
所以F′(x)=f′(x)−1≤0，
所以F(x)在R上为减函数，
k−1=f(x1)−f(x2)x1−x2−1=(f(x1)−x1)−(f(x2)−x2)x1−x2=F(x1)−F(x2)x1−x2≤0，
所以k≤1，
综上所述，0
所以f′(x)≥−1，即f′(x)+1≥0，
令G(x)=f(x)+x，则G′(x)=f′(x)+1≥0，
所以F(x)在R上为增函数，
f(a)−f(b)a−b+1=(f(a)+a)−(f(b)+b)a−b=G(a)−G(b)a−b≥0，
所以f(a)−f(b)a−b≥−1，
所以对任意a
当x1≠x2时，
若|x2−x1|≤T，则1≥|f(x1)−f(x2)x1−x2|≥|f(x1)−f(x2)T|，
所以|f(x1)−f(x2)|≤T，
若|x2−x1|>T，则存在x3∈[x1,x1+T)使得f(x3)=f(x2)
所以1≥|f(x1)−f(x3)x1−x3|≥|f(x1)−f(x3)T|，
所以|f(x1)−f(x2)|=|f(x1)−f(x3)|≤T，
综上所述，对任意x1，x2都有|f(x1)−f(x2)|≤T． x
−1
(−1,1)
1
(1,3)
3
f′(x)
0
−
0
+
y=f(x)
11
单调递减
极小值−1
单调递增
59
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