2023-2024学年上海市奉贤中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年上海市奉贤中学高一（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若y=f(x)的图象与y=csx的图象关于x轴对称，则y=f(x)的解析式为( )
A. y=cs(−x)B. y=−csxC. y=cs|x|D. y=|csx|
2.在△ABC中，“sinA> 22”是“A>π4”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.在△ABC中，a=80，b=100，A=30°，则B的解的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 无法确定
4.设函数f(x)=3cs(ωx+φ)(ω>0)，若f(π6)=0，f(π)=0，f(x)在(π6,π3)上为严格减函数，那么ω的不同取值的个数为( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.在半径为1的圆中，π3弧度的圆心角所对的弧长为______．
6.若a=(3,1)，b=(x,3)，且a⊥b，则x= ______．
7.四边形ABCD为菱形，其中∠ABC=120°，|AB|=1，则|BC−DC|= ______．
8.已知向量a，b的夹角为π4，|a|= 2，|b|=1，则|a−b|= ______．
9.已知钝角α的终边上的一点(4k,−3k)，则sinα= ______．
10.若函数f(x)=csωx(0<ω<π)满足f(x+π)=f(x)，则ω= ______．
11.将函数y=3cs(2x+π3)的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度后，所得函数为奇函数，则φ= ______．
12.设当x=θ时，函数f(x)=sinx+2csx取得最大值，则csθ=______．
13.如图所示的平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，AD=2，E为DC的中点，则AC⋅AE= ______．
14.由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为S= (p−a)(p−b)(p−c)(p−d)，其中a、b、c、d分别为圆内接四边形的4条边，p=a+b+c+d2，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，cs∠ADC=37，则四边形ABCD的面积为______．
15.在锐角△ABC中，sinA=2 55，它的面积为10，BC=4BD，E，F分别在AB、AC上，且满足|AD−xAB|≥|DE|，|AD−yAC|≥|DF|对任意x，y∈R恒成立，则DE⋅DF= ______．
16.已知空间向量a、b、c、d满足：|a−b|=1，|b−c|=2，(a−b)//(b−c)，(a−d)⋅(b−d)=0，则|c−d|的最大值为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知a=(1,1),b=(4,x),u=a+2b,v=2a+b．
(1)若a//b，求实数x的值；
(2)若(u−2v)⊥(u+v)，求实数x的值．
18.(本小题14分)
已知函数f(x)=2 3sinxcsx−2cs2x+1．
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间[−5π12,π6]的值域．
19.(本小题14分)
已知村庄B在村庄A的东偏北45°方向，且村庄A，B之间的距离是4( 3−1)千米，村庄C在村庄A的北偏西75°方向，且村庄C在村庄B的正西方向，现要在村庄B的北偏东30°方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的 3倍.
(1)求村庄B、C之间的距离；
(2)求农贸市场D到村庄B，C的距离之和．
20.(本小题18分)
在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点A在直线x=1上运动，动点B在直线y=1上运动，C为平面上的一个动点，记a=OA，b=OB，c=OC．
(1)若A(1,2)，B(2,1)，求a与b夹角的余弦值；
(2)若|a−b|= 2，求a⋅b的取值范围；
(3)若点C(−316,2)，且满足a⊥(b+c)，求2|a|+|b|的最小值．
21.(本小题18分)
已知定义在R上的函数y=f(x)，若存在实数a，b，c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意的实数x恒成立，则称函数y=f(x)为“L(a,b,c)函数”；
(1)已知y=x+1，判断它是否为“L(1,b,c)函数”；
(2)若函数y=f(x)是“L(1,1,2)函数”，当x∈[0,2]，f(x)=sinπ4x，求f(x)=12在x∈[2022,2024]上的解．
(3)证明函数y=sinx+2csx+1为“L(a,b,c)函数”并求所有符合条件的a、b、c．
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.D
5.π3
6.−1
7.1
8.1
9.35
10.2
11.5π12
12.2 55
13.18
14.6 10
15.−32
16.3
17.解：(1)∵a=(1,1)，b=(4,x)，a/​/b，
∴1⋅x=1×4，解得x=4．
(2)∵u−2v=a+2b−2(2a+b)=−3a，u+v=a+2b+2a+b=3a+3b，
又∵(u−2v)⊥(u+v)，
∴(−3a)⋅(3a+3b)=0，(−3,−3)⋅(15,3+x)=0，
∴−45−9−9x=0，解得x=−6．
18.解：(1)f(x)=2 3sinxcsx−2cs2x+1= 3sin2x−cs2x=2sin(2x−π6)，
∴函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，
令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，
则−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，
∴单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k∈Z．
(2)∵x∈[−5π12,π6]，
∴2x−π6∈[−π,π6]，
∴sin(2x−π6)∈[−1,12]，
∴f(x)=2sin(2x−π6)∈[−2,1]，
则函数f(x)在区间[−5π12,π6]的值域为[−2,1]．
19.解：(1)由已知可得AB=4 3−4，∠BAC=120°，∠CBA=45°，∠BCA=15°，
在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，
∴BC 32=4( 3−1) 6− 24，解得BC=4 6，
故村庄B，C之间的距离为4 6千米；
(2)已知村庄C在村庄B的正西方向，
又农贸市场D在村庄的北偏东30°的方向，∴∠CBD=120°，
在△BCD中，由余弦定理可得：CD2=BC2+BD2−2BC⋅BDcs∠CBD，
∵CD= 3BD，∴( 3BD)2=(4 6)2+BD2−2×4 6×(−12)BD，
解得：BD=4 6，∴CD= 3×4 6=12 2，
故BD+CD=4 6+12 2，
即农贸市场D到村庄B、C的距离之和为(4 6+12 2)千米．
20.解：(1)由于a=OA=(1,2)，b=OB=(2,1)，
故cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=2+2 5× 5=45；
(2)设A(1,1+u)，B(1+v,1)，
由于a=OA=(1,1+u)，b=OB=(1+v,1)，
故a−b=(−v,u)，a⋅b=1+v+1+u=2+u+v，
由|a−b|= 2，
知4=2|a−b|2=2u2+2v2=(u+v)2+(u−v)2≥(u+v)2=(a⋅b−2)2，
所以−2≤a⋅b−2≤2，得a⋅b∈[0,4]，
对T∈[0,4]，令u=T−2+ 4−(T−2)22v=T−2− 4−(T−2)22，则此时|a−b|= 2，a⋅b=T．
所以a⋅b的取值范围是[0,4]；
(3)设A(1,m)，B(n,1)，
由于a=OA=(1,m)，b=OB=(n,1)，c=OC=(−316,2)，
故b+c=(n−316,3)，从而a⋅(b+c)=3m+n−316，
这表明条件a⊥(b+c)等价于3m+n=316，
而在3m+n=316的条件下，我们有：
2|a|+|b|=2 m2+1+ n2+1=2 13m2+1313+ 13n2+1313
=2 9m2+(4m2+9)+413+ 4n2+(9n2+4)+913
≥2 9m2+2⋅2m⋅3+413+ 4n2+2⋅3n⋅2+913
=2 9m2+12m+413+ 4n2+12n+913=2 (3m+2)213+ (2n+3)213
=2⋅|3m+2| 13+|2n+3| 13≥2⋅3m+2 13+2n+3 13
=2 13(3m+n)+7 13=2 13×316+7 13=4 133，
所以2|a|+|b|≥4 133，
而当m=32，n=23时，有3m+n=316，
且2|a|+|b|=2 1+m2+ 1+n2=2 1+(32)2+ 1+(23)2
=2× 132+ 133=4 133．
所以2|a|+|b|的最小值是4 133．
21.解：(1)若y=f(x)=x+1是为“L(1,b,c)函数”，则存在实数a，b，c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意的实数x恒成立，
即x+1+b(x+1−c)=1，即x+bx+b−bc=0对任意的实数x恒成立，
则b=−1b−bc=0，解得b=−1c=1，
所以y=f(x)=x+1是为“L(1,−1,1)函数”；
(2)因为函数y=f(x)是“L(1,1,2)函数”，所以f(x)+f(x−2)=1，
由于当x∈[0,2]，f(x)=sinπ4x，
当x∈[2,4]，则x−2∈[0,2]，所以f(x)=1−f(x−2)=1−sinπ4(x−2)=1+csπ4x，
当x∈[4,6]，则x−2∈[2,4]，所以f(x)=1−f(x−2)=1−[1+csπ4(x−2)]=−sinπ4x，
当x∈[6,8]，则x−2∈[4,6]，所以f(x)=1−f(x−2)=1+sinπ4(x−2)=1−csπ4x，
当x∈[8,10]，则x−2∈[6,8]，所以f(x)=1−f(x−2)=1−[1−csπ4(x−2)]=sinπ4x，
则f(x)=sinπ4x,8k≤x≤2+8k1+csπ4x,2+8k所以当x∈[2022,2024]，f(x)=1−csπ4x，
令f(x)=12，则csπ4x=12，
所以π4x=π3+2kπ或π4x=5π3+2kπ(k∈Z)，即x=43+8k或x=203+8k(k∈Z)，
因为x∈[2022,2024]，所以x=203+8×252=60683，
故f(x)=12在x∈[2022,2024]上的解为60683．
(3)由题可得：f(x)=sinx+2csx+1= 5sin(x+φ)+1，
则f(x−c)= 5sin(x+φ−c)+1，其中0<φ<π2，且tanφ=2，
由于af(x)+bf(x−c)=1，可化为 5asin(x+φ)+a+ 5bsin(x+φ−c)+b=1，
即 5(a+bcsc)sin(x+φ)− 5bcs(x+φ)sinc+a+b−1=0
由已知条件，上式对任意的实数x恒成立，故必有：a+bcsc=0bsinc=0a+b−1=0，
解得：a=12b=12csc=−1，
由csc=−1，解得：c=π+2kπ(k∈Z)，
所以函数y=sinx+2csx+1为“L(a,b,c)函数，其中a=12，b=12，c=π+2kπ(k∈Z)．