2024-2025学年天津实验中学高三（上）第一次质检数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津实验中学高三（上）第一次质检数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={−1,0,1}，B={1,3,5}，C={0,2,4}，则(A∩B)∪C=( )
A. {0}B. {0,1,3,5}C. {0,1,2,4}D. {0,2,3,4}
2.设x∈R，则“x2−5x<0”是“|x−1|<1”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数y=(3x−1)ln(csx)3x+1的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a=g(−lg25.1)，b=g(20.5)，c=g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A. a5.函数y=sin(2x+π4)的一个对称中心的是( )
A. (−π2,0)B. (0,0)C. (π8,0)D. (3π8,0)
6.将y=sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再将图像上各点向左平移π8个单位长度，则所得的图象的函数解析式是( )
A. y=sin(2x+π8)B. y=sin(2x−π4)C. y=sin(2x+π4)D. y=sin(2x−π8)
7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，其图象的一个最低点是P(π6,−2)，距离P点最近的对称中心为(π4,0)，则( )
A. ω=3
B. x=13π12是函数f(x)图象的一条对称轴
C. x∈(−π6,0)时，函数f(x)单调递增
D. f(x)的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位后得到g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则ϕ的最小值是π6
8.定义在R上的函数f(x)满足f(−x)=f(x)，且当x≥0时，f(x)=54sinπ4x,0≤x≤2(12)x+1,x>2若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0(b,c∈R)有且只有6个不同的实数根，则实数b的取值范围是( )
A. (−52,−94)∪(−94,−1)B. (−52,−1)
C. (−52,−94)∪(−1,0)D. (−94,−1)
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
9.已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1+i)(1−bi)=a，则ab的值为 ．
10.(x+2y)(x−y)5的展开式中x3y3的系数为______．
11.已知点A(−1,1)，B(1,2)，C(−2,−1)，D(3,4)，与AB同向单位向量为e，则向量CD在AB方向上的投影向量为______．
12.已知x>0，y>0且12x+1+1y+1=1，则x+y的最小值为______．
13.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图像如图所示，则其解析式为______．
14.已知函数f(x)=x2−4x+4,x≤2|kx−2k|,x>2，方程f(x)−t=0有两个实数解，分别为x1和x2，当1三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题14分)
已知函数f(x)= 2sin(x−π4)+2csx．
(1)求f(x)的最小正周期及其图像的对称轴方程；
(2)求f(x)在[−π,0]上的最大值和最小值．
16.(本小题15分)
已知向量a=(1,2)，b=(3,x)，c=(2,y)，且a//b，a⊥c．
(1)求b与c；
(2)若m=2a−b，n=a+c，求向量m，n的夹角的大小．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x(x−m)2，m∈R．
(1)当m=2时，求f(x)在[−1,52]上的值域；
(2)若f(x)的极大值为4，求实数m的值．
18.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(1+csB)= 3bsinA．
(Ⅰ)求角B的大小；
(Ⅱ)设b=2 7，a−c=2．
(i)求a的值；
(ii)求sin(2A+B)的值．
19.(本小题16分)
设函数f(x)=lnx+x2−ax(a∈R)．
(Ⅰ)当a=3时，求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1∈(0,1]，求证：f(x1)−f(x2)≥−34+ln2；
(Ⅲ)设g(x)=f(x)+2lnax+26 x，对于任意a∈(2,4)，总存在x∈[32,2]，使g(x)>k(4−a2)成立，求实数k的取值范围．
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.B
5.D
6.C
7.C
8.A
9.2
10.10
11.3 5e
12. 2
13.y=2sin(2x+2π3)
14.(1, 3)
15.解：(1)f(x)= 2( 22sinx− 22csx)+2csx=sinx+csx= 2sin(x+π4)，
则f(x)的最小正周期为：T=2π1=2π；
令x+π4=π2+kπ,k∈Z，可得对称轴方程：x=π4+kπ,k∈Z；
(2)x∈[−π,0]⇒x+π4∈[−3π4,π4]，
注意到y=sinx在[−34π,−π2)上单调递减，在[−π2,π4]上单调递增，
则f(x)min= 2sin(−π2)=− 2，f(x)max=max{ 2sin(−3π4), 2sin(π4)}=1．
16.解：(1)由a//b，得x−2×3=0，解得x=6，
由a⊥c，得1×2+2y=0，解得y=−1，
∴b=(3,6)，c=(2,−1)；
(2)因为m=2a−b=(−1,−2)，n=a+c=(3,1)，
∴m⋅n=−1×3−2×1=−5，|m|= (−1)2+(−2)2= 5，|n|= 32+12= 10，
∴cs=m⋅n|m||n|=−5 5× 10=− 22，且0≤≤π，
∴向量m，n的夹角为3π4．
17.解：(1)当m=2时，f(x)=x(x−2)2=x3−4x2+4x，函数定义域为[−1,52]，
可得f′(x)=3x2−8x+4，
当−1≤x<23时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当23当20，f(x)单调递增，
又f(23)=3227，f(2)=0，f(−1)=−9所以f(x)在[−1,52]上的值域为[−9,3227]；
(2)易知f′(x)=3x2−4mx+m2=(3x−m)(x−m)，
令f′(x)=0，解得：x=m或m3，
当m=0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，无极大值，不符合题意；
当m<0时，
当x0，f(x)单调递增；
当m当x>m3时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=m时，函数f(x)取得极大值，极大值f(m)=0，不符合题意；
当m>0时，
当x0，f(x)单调递增；
当m3当x>m时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=m3时，函数f(x)取得极大值，极大值f(m3)=4m327=4，
解得m=3．
综上，满足条件的实数m的值为3．
18.解：(Ⅰ)因为a(1+csB)= 3bsinA，
所以由正弦定理可得sinA(1+csB)= 3sinBsinA，
又A为三角形内角，sinA≠0，
所以1+csB= 3sinB，可得sin(B−π6)=12，
因为B∈(0,π)，可得B−π6∈(−π6,5π6)，
所以B−π6=π6，可得B=π3；
(Ⅱ)(i)因为B=π3，b=2 7，a−c=2，
由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB，可得28=a2+(a−2)2−a(a−2)，整理可得a2−2a−24=0，
解得a=6或−4(舍去)；
(ii)由(i)可得a=6，b=2 7，c=4，
可得csA=b2+c2−a22bc=28+16−362×2 7×4= 714，可得sinA= 1−cs2A=3 2114，
可得sin2A=2sinAcsA=3 314，cs2A=2cs2A−1=−9198，
又B=π3，
所以sin(2A+B)=12sin2A+ 32cs2A=12×3 314+ 32×(−9198)=−5 314．
19.(Ⅰ)解：f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x2−3x+1x，
令f′(x)>0，可得01，f′(x)<0，可得12∴f(x)的递增区间为(0,12)和(1,+∞)，递减区间为(12,1)；
(Ⅱ)证明：∵函数f(x)有两个极值点x1，x2，
∴f′(x)=2x2−ax+1x=0，即2x2−ax+1=0有两个不相等的实数根，
∴x1+x2=a2，x1x2=12
∴2(x1+x2)=a，x2=12x1，
∴f(x1)−f(x2)=lnx1+x12−ax1−(lnx2+x22−ax2)=2lnx1−x12+14x12+ln2(0设F(x)=2lnx−x2+14x2+ln2(0∴F(x)在(0,1)上单调递减，
∴F(x)≥F(1)=−34+ln2，即f(x1)−f(x2)≥−34+ln2；
(Ⅲ)解：g(x)=f(x)+2lnax+26 x=2ln(ax+2)+x2−ax−2ln6，
∴g′(x)=2ax(x+4−a22a)ax+2，
∵a∈(2,4)，∴x+4−a22a>0，
∴g′(x)>0，
∴g(x)在x∈[32,2]上单调递增，
∴g(x)max=g(2)=2ln(2a+2)−2a+4−2ln6，
∴2ln(2a+2)−2a+4−2ln6>k(4−a2)在(2,4)上恒成立．
令ℎ(a)=2ln(2a+2)−2a+4−2ln6−k(4−a2)，则ℎ(2)=0，
∴ℎ(a)>0在(2,4)上恒成立．
∵ℎ′(a)=2a(ka+k−1)a+1，
k≤0时，ℎ′(a)<0，ℎ(a)在(2,4)上单调递减，ℎ(a)<ℎ(2)=0，不合题意；
k>0时，ℎ′(a)=0，可得a=1−kk．
①1−kk>2，即0②1−kk≤2，即k≥13时，ℎ(x)在(2,4)上单调递增，ℎ(a)>ℎ(2)=0，满足题意．
综上，实数k的取值范围为[13,+∞)．