2024-2025学年广东省揭阳市普宁市华侨中学高三（上）摸底数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省揭阳市普宁市华侨中学高三（上）摸底数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，B={x|x=2k,k∈Z}，则B∩∁UA=( )
A. {4}B. {2,4}C. {1,2}D. {1,3,5}
2.复数(i−1i)3的虚部是( )
A. −8B. −8iC. 8D. 8i
3.下列函数中，既是偶函数又在(0,1)上单调递增的是( )
A. y=csxB. y= xC. y=2|x|D. y=|lgx|
4.已知向量a=(0,−2)，b=(1,t)，若向量b在向量a上的投影向量为−12a，则a⋅b=( )
A. −2B. −52C. 2D. 112
5.不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. [−2,2]B. (−∞,2)C. (−∞,−2)D. (−2,2]
6.A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，那么排法种数共有( )
A. 24B. 120C. 48D. 60
7.设a，b为正数，若圆x2+y2+4x−2y+1=0关于直线ax−by+1=0对称，则a+2bab的最小值为( )
A. 9B. 8C. 6D. 10
8.已知函数f(x)=csxx，若A，B是锐角△ABC的两个内角，则下列结论一定正确的是( )
A. f(sinA)>f(sinB)B. f(csA)>f(csB)
C. f(sinA)>f(csB)D. f(csA)>f(sinB)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据：12，31，24，33，22，35，45，25，16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是( )
A. 中位数不变B. 平均数不变C. 方差不变D. 第40百分位数不变
10.已知函数f(x)=cs2x+2 3sinxcsx−sin2x，则( )
A. π是函数f(x)的一个周期
B. x=−π6是函数f(x)的一条对称轴
C. 函数f(x)的一个增区间是(−π3,π6)
D. 把函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位，得到函数f(x)的图象
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 当A1P=13A1C时，D1P⋅AP的值最小
B. 当A1P=23A1C时，D1P⊥AP
C. 若平面ABCD上的动点M满足∠MD1C=π6，则点M的轨迹是椭圆
D. 直线DD1与平面A1D1P所成角的正弦值是12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l1：ax+2y−3=0与l2：3x+(1−a)y+4=0，若l1⊥l2，则实数a的值为______．
13.若事件A，B发生的概率分别为P(A)=12，P(B)=23，且A与B相互独立，则P(A∪B)= ．
14.若一圆锥的母线长为2，则此圆锥体积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=mlnx−3x．
(1)若f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x+2y+1=0平行，求实数m的值；
(2)若m=2，求函数g(x)=f(x)+5x的极值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中c= 3，且ba=2tanBtanB−tan(A+B)．
(1)求C；
(2)求a2+b2的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，AD=10，BC=2AB=8，M为PC的中点．
(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；
(2)若AM⊥PC，求直线BM与面PCD所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
设F1，F2为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点A( 3,12)在椭圆C上，点A关于原点的对称点为B，四边形AF1BF2的面积为 3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过F2的直线l交椭圆C于M，N两点，求证：1|F2M|+1|F2N|为定值．
19.(本小题17分)
某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．
(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据α=0.100的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？
(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为13,23；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为14,14,12．
(i)求第2天他去乙餐厅用餐的概率；
(ii)求第n(n∈N∗)天他去甲餐厅用餐的概率pn．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d；
参考答案
1.A
2.A
3.C
4.A
5.D
6.C
7.A
8.D
9.AD
10.ACD
11.ABC
12.−2
13.56
14.16 327π
15.解：(1)由函数f(x)=mlnx−3x，定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=mx+3x2，
可得f′(1)=m+3，即f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为k=m+3，
因为f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x+2y+1=0平行，
所以−12=m+3，
可得m=−72；
(2)若m=2，可得f(x)=2lnx−3x，所以g(x)=2(lnx+1x)，
其中x>0，可得g′(x)=2(1x−1x2)=2(x−1)x2，
令g′(x)=0，可得x=1，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以当x=1时，函数g(x)取得极小值为g(1)=2，无极大值．
16.解：(1)根据tan(A+B)=tan(π−C)=−tanC，由ba=2tanBtanB−tan(A+B)，得ba=2tanBtanB+tanC，
由正弦定理得ba=sinBsinA，所以sinBsinA=2tanBtanB+tanC=2sinBcsCsinBcsC+csBsinC=2sinBcsCsin(B+C)=2sinBcsCsinA，
因为△ABC中，sinA≠0，sinB≠0，所以2csC=1，即csC=12，结合C∈(0,π)，可得C=π3．
(2)由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC，即3=a2+b2−ab，可得ab=a2+b2−3，
因为a2+b2≥2ab，所以a2+b2≥2(a2+b2−3)，整理得a2+b2≤6，当且仅当a=b= 3时等号成立．
又因为a2+b2=3+ab，且ab>0，所以a2+b2>3，可得3综上所述，a2+b2的取值范围为(3,6]．
17.解：(1)以{AB,AD,AP}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=m，
则A(0,0,0)，C(4,8,0)，D(0,10,0)，P(0,0,m)，
则PC=(4,8,−m)，CD=(−4,2,0)，
设平面PCD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，
则PC⋅n1=0CD⋅n1=0，
即4x1+8y1−mz1=0−4x1+2y1=0，令x1=1，则y1=2，z1=20m，
所以n1=(1,2,20m)，
设平面PAC的法向量为n2，
同理可得，n2=(2,−1,0)，
因为n1⋅n2=1×2+2×(−1)+20m×0=0，所以n1⊥n2，
所以平面PAC⊥平面PCD．

(2)由(1)知AM=(2,4,m2)，PC=(4,8,−m)，
因为AM⊥PC，所以AM⊥PC，
所以AM⋅PC=2×4+4×8−m2×m=0，解得m=4 5，
故M(2,4,2 5)，所以BM=(−2,4,2 5)，
设直线BM与平面PCD所成的角为θ，
则sinθ=|cs|=|BM⋅n1|BM||n1||=|−2×1+4×2+2 5× 52 10× 10|=45．
18.解：(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0)，四边形AF1BF2为平行四边形，其面积设为S，
则S=2c⋅12= 3，所以c= 3，
所以a2−b2=c2=3，
又3a2+14b2=1，
解得a2=4，b2=1，
所以椭圆C的方程为x24+y2=1．
(2)证明：F2( 3,0)，当直线l与x轴重合时，l的方程为y=0，
此时不妨令|F2M|=a+c=2+ 3,|F2N|=a−c=2− 3，则1|F2M|+1|F2N|=4；
当直线l与x轴不重合时，l的方程可设为x=my+ 3，
由x=my+ 3x2+4y2=4，
得(m2+4)y2+2 3my−1=0，Δ=(2 3m)2+4(m2+4)=16(m2+1)>0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则y1+y2=−2 3mm2+4，y1y2=−1m2+4<0，
|F2M|= (x1− 3)2+y12= (my1+ 3− 3)2+y12= 1+m2|y1|，
|F2N|= (x2− 3)2+y22= (my2+ 3− 3)2+y22= 1+m2|y2|，
1|F2M|+1|F2N|=1 1+m2(1|y1|+1|y2|)=1 1+m2⋅|y1−y2||y1y2|=1 1+m2⋅ (y1+y2)2−4y1y2|y1y2|=4，
综上所述，1|F2M|+1|F2N|为定值4．
19.解：(1)零假设H0：在不同区域就餐与学生性别没有关联，
根据表中的数据可得，χ2=60×(25×5−15×15)240×20×40×20=1516=0.9375<2.706，
依据α=0.100的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
因此可以认为H0成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联．
(2)设Ai=“第i天去甲餐厅用餐”，Bi=“第i天去乙餐厅用餐”，Ci=“第i天去丙餐厅用餐”，
则Ai，Bi，Ci两两独立，i=1，2，⋯n，
依题意，P(A1)=P(B1)=14，P(C1)=12，P(Ai+1|Ai)=12，
P(Ai+1|Bi)=13，P(Ai+1|Ci)=12，P(Bi+1|Ai)=12，P(Bi+1|Ci)=12，P(Ci+1|Bi)=23，
(i)由B2=B2A1+B2C1，结合全概率公式可得，
P(B2)=P(B2A1+B2C1)=P(A1)P(B2|A1)+P(C1)P(B2|C1)=14×12+12×12=38，
所以张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为38．
(ii)记第n(n∈N∗)天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为pn，qn，rn，则p1=q1=14,r1=12，
由全概率公式可得pn=P(An)=P(AnAn−1+AnBn−1+AnCn−1)
=P(AnAn−1)+P(AnBn−1)+P(AnCn−1)
=P(An−1)P(An|An−1)+P(Bn−1)P(An|Bn−1)+P(Cn−1)P(An|Cn−1)，
故Pn=12pn−1+13qn−1+12rn−1(n≥2)①，同理可得qn=12pn−1+12rn−1(n≥2)②，
rn=23qn−1(n≥2)③，pn+qn+rn=1④，
由①②得pn=qn+13qn−1，由④可得pn−1=1−qn−1−rn−1，
代入②中可得qn=12−12qn−1，即qn−13=−12(qn−1−13)，且q1−13=14−13=−112，
因此数列{qn−13}是首项为−112，公比为−12的等比数列，
则qn−13=−112(−12)n−1，qn=13[1−(−12)n+1]，
于是，当n≥2时，pn=qn+13qn−1=13[1−(−12)n+1]+19[1−(−12)n]=49−19(−12)n+1，
综上所述，pn=14,n=149−19⋅(−12)n+1,n≥2． 别
就餐区域
合计
南区
北区
男
25
15
40
女
15
5
20
合计
40
20
60
α
0.100
0.050
0.025
0.010
xα
2.706
3.841
5.024
6.635