2024-2025学年广西南宁三中高三（上）适应性数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年广西南宁三中高三（上）适应性数学试卷（9月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=i(1−i)，则|z|=( )
A. 2B. 2C. 5D. 5
2.若命题“∀x∈R，x2+2x+3>m”是假命题，则实数m的取值范围是( )
A. (−∞,2)B. [2,+∞)C. (−∞,2]D. (2,+∞)
3.已知向量a,b满足|a|=2,|a−2b|=4，且(b+2a)⋅b=0，则|b|=( )
A. 1B. 22C. 3D. 2
4.以下命题为假命题的是( )
A. 若样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差为2，则数据2x1−1，2x2−1，2x3−1，2x4−1，2x5−1，2x6−1的方差为8
B. 一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C. 一般来说，若一组数据的频率分布直方图为单峰且不对称，且直方图在左边“拖尾”，则这组数据的平均数小于中位数
D. 以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=lny，最终求得线性回归方程为z =2x+0.4，则模型中c，k的值对应分别是0.4和2
5.动点M在曲线x2+y2=1上移动，点M和定点B(3,0)连线的中点为P，则点P的轨迹方程为( )
A. x2+y2=14B. (x−32)2+y2=14
C. (x−32)2+y2=1D. x2+(y−32)2=14
6.设函数f(x)=2sinπ6x+2ax,g(x)=a(x−2)2+8a，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=( )
A. −1B. 0C. 23D. 34
7.用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.已知正四棱台的上、下底面边长分别为1和2，侧棱与底面所成的角为π4，则该四棱台的体积是( )
A. 76B. 7 26C. 7 23D. 7 22
8.已知a，b∈R，f(x)=ex−ax+b，若f(x)≥1恒成立，则b−aa的取值范围是( )
A. [0,+∞)B. [1,+∞)C. [−2,+∞)D. [−1,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数f(x)=sin(12x−π6)，下列说法正确的有( )
A. f(x)的最小正周期为πB. f(x)关于直线x=4π3对称
C. f(x)在区间[4π3,8π3]上单调递减D. f(x)的一个零点为x=−π3
10.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，C上一点P到F和到y轴的距离分别为12和10，且点P位于第一象限，以线段PF为直径的圆记为Ω，则下列说法正确的是( )
A. p=4
B. C的准线方程为y=−2
C. 圆Ω的标准方程为(x−6)2+(y−2 5)2=36
D. 若过点(0,2 5)，且与直线OP(O为坐标原点)平行的直线l与圆Ω相交于A，B两点，则|AB|=4 5
11.已知函数f(x)=esinx−csx+ecsx−sinx，则( )
A. f(x)的图像是中心对称图形B. f(x)的图像是轴对称图形
C. f(x)是周期函数D. f(x)存在最大值与最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2+a5=8，2a3+a4=11，则S9= ______．
13.已知tanα，tanβ是方程x2−3x−3=0的两个实数根，tan(2α+2β)= ______．
14.某盒中有12个大小相同的球，分别标号为1，2，⋯，12，从盒中任取3个球，记ξ为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量ξ=2的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=2b，csB+2csC=0．
(1)求csA；
(2)若D是边AB上一点，AD=12DB，且CD= 17，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
在平行四边形ABCD中，∠D=60°，CD=1，AC= 3.将△ABC沿AC翻折到△APC的位置，使得PD= 5．
(1)证明；CD⊥平面APC；
(2)在线段AD上是否存在点M，使得二面角M−PC−A的余弦值为2 3913？若存在，求出|AM||MD|的值；若不存在，请说明理由．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x+2a2x+alnx(a∈R)．
(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)当x∈[e,+∞)时，曲线y=f(x)在x轴的上方，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
为防范火灾，对某仓库的灭火系统的3套喷淋装置进行检查，发现各套装置能正常工作的概率为34，且每套喷淋装置能否正常工作是相互独立的若有超过一半的喷淋装置正常工作，则该仓库的灭火系统能正常工作，否则就需要维修．
(1)求该仓库灭火装置正常工作的个数的均值与方差；
(2)系统需要维修的概率；
(3)为提高灭火系统正常工作的概率，在仓库内增加两套功能完全一样的其他品牌的喷淋装置，每套新喷淋装置正常工作的概率为p(00)的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为 33．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)若直线l与E的右支及渐近线的交点自上而下依次为C、A、B、D，证明：|AC|=|BD|；
(3)求二元二次方程x2−3y2=1的正整数解Qn(xn,yn)(xn,yn,n∈N∗)，可先找到初始解(x1,y1)，其中x1为所有解xn中的最小值，因为1=(2+ 3)(2− 3)=22−3×12，所以Q1(2,1)；因为1=(2+ 3)2(2− 3)2=(7+4 3)(7−4 3)=72−3×42，所以Q2(7,4)；重复上述过程，因为(2+ 3)n与(2− 3)n的展开式中，不含 3的部分相等，含 3的部分互为相反数，故可设1=(2+ 3)n(2− 3)n=(xn+ 3yn)(xn− 3yn)=xn2−3×yn2，所以Qn(xn,yn).若方程E的正整数解为Qn(xn,yn)，则△OQnQn+1的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由．
参考答案
1.B
2.B
3.D
4.D
5.B
6.C
7.B
8.D
9.BC
10.ACD
11.BCD
12.63
13.247
14.1855
15.解：(1)由csB+2csC=0，
由余弦定理可得：a2+c2−b22ac+2⋅a2+b2−c22ab=0，
将c=2b代入得，a2+4b2−b22a⋅2b+2⋅a2+b2−4b22ab=0，
化简得5a2=9b2，即a=3 55b，
再由余弦定理可得：csA=b2+c2−a22bc=b2+4b2−95b24b2=45；

(2)由(1)可知csC=b2+a2−c22ab=b2+95b2−4b26 35b2=− 55,sinC=2 55，
则在△DCB中，由AD=12DB，
所以CD−CA=12(CB−CD)，
所以CD=23CA+13CB，
两边平方可得：CD2=49CA2+19CB2+49CA⋅CB=49CA2+19CB2+49|CA|⋅|CB|csC
=49b2+19a2+49abcsC，
即17=1745b2，解得b=3 5,a=9．
故△ABC的面积S=12absinC=27．
16.(1)证明：翻折前，在△ACD中，∠D=60°，AC= 3,CD=1，
由正弦定理得，ACsin∠ADC=CDsin∠CAD，
所以 3sin60°=1sin∠CAD，即sin∠CAD=12，
又AC>CD，所以∠CAD=30°，
所以∠ACD=90°，即CD⊥AC，
因为PD= 5，PC=2，CD=1，所以PC2+CD2=PD2，即CD⊥PC，
又PC∩AC=C，AC、PC⊂平面APC，
所以CD⊥平面APC．
(2)解：由(1)知CD⊥平面APC，
因为CD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面APC，
在平行四边形ABCD中，BA⊥AC，即PA⊥AC，
又平面ADC∩平面APC=AC，PA⊂平面APC，
所以PA⊥平面ADC，
以点C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(0,0,0)，D(1,0,0)，P(0, 3,1)，A(0, 3,0)，
所以CP=(0, 3,1)，AD=(1,− 3,0)，CA=(0, 3,0)，
设AM=λAD=λ(1,− 3,0)=(λ,− 3λ,0)，其中0≤λ≤1，
则CM=CA+AM=(0, 3,0)+(λ,− 3λ,0)=(λ, 3− 3λ,0)，
设平面MCP的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅CP= 3y+z=0m⋅CM=λx+( 3− 3λ)y=0，
取y=λ，则z=− 3λ，x= 3(λ−1)，所以m=( 3(λ−1),λ,− 3λ)，
由CD⊥平面APC，知平面CPA的一个法向量为n=(1,0,0)，
因为二面角M−PC−A的余弦值为2 3913，
所以|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|=| 3(λ−1)| 3(λ−1)2+λ2+3λ2×1=2 3913，
整理可得15λ2+2λ−1=0，
解得λ=15或λ=−13(舍)，
故线段PC上存在点M，使二面角M−AB−C的余弦值为2 3913，且|AM||MD|=14．
17.解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=x+2x+lnx，x>0，
所以f′(x)=1−2x2+1x，
所以f(1)=3，f′(1)=0，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=3；
(Ⅱ)因为函数f(x)=x+2a2x+alnx(a∈R)，
当a≥0时，由x∈[e,+∞)有f(x)>0，故曲线y=f(x)在x轴的上方，
当ae，即a0，解得a>−e32，
所以−e32