2024-2025学年上海市黄浦区格致中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市黄浦区格致中学高三（上）开学数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为负数，对此描述正确的是( )
A. 气候温度高，海水表层温度就高
B. 气候温度高，海水表层温度就低
C. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D. 随着气候温度由低到高，海水表层温度显下降趋势
2.若f(x)=csx−sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是( )
A. π4B. π2C. 3π4D. π
3.关于空间向量，以下说法错误的是( )
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若a⋅b>0，则a与b的夹角是锐角
C. 已知向量a、b、c是不共面的向量，则2a、b、c−a也是不共面的向量
D. 若对空间中任意一点O，有OP=112OA+14OB+23OC，则P，A，B，C四点共面
4.设f(x)=23x3−ax2+1，有下列命题：
①当a>0时，函数y=f(x)有三个零点；
②当a<0时，x=0是函数y=f(x)的极大值点；
③存在实数a，b，使得函数y=f(x)在区间[b,a]上存在最大值1；
④存在实数a，使得点(0,f(0))为曲线y=f(x)的对称中心．
其中是真命题的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知全集U={1,2,3,4,6,9}，A={x|x∈U且 x∈U}，则A−= ______．
6.已知f(x)=ax,x<0x+a2,x≥0,若函数y=f(x)是定义在R上的严格增函数，则实数a的取值范围是______．
7.已知关于x的二次不等式x2−ax+3≤0的解集为[1,3]，则不等式x2−3x−a>0的解集为______.(用集合或区间表示)
8.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=lg(x2+a)，则f(3)= ______．
9.已知向量a=(−1,1)，b=(1,x)(x∈R)，若b//(2a−3b)，则x= ______．
10.已知在(x+a)5的二项展开式中，各项系数和为−32，则展开式中，含x3项的系数为______．
11.已知抛物线y2=4x的准线为l，若以此抛物线上一点P为圆心的圆既与l相切，又与x轴相切，则所得圆的半径为______．
12.某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别为30000只、40000只、60000只和70000只，又知这四条流水线的产品合格率依次为0.95、0.96、0.97和0.98，则从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是______．
13.已知z为虚数，其实部为1，且z+2iz=2−mi(其中i为虚数单位)，则实数m的值为______．
14.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为______. (用数字作答)
15.如图，已知点C在点O的正北方向，点A、点B分别在点O的正西、正东方向，且sin∠ACB=47，sin(A−B)=27，AB=4，若∠ACB为锐角，则OC= ______．
16.已知数列{an}的通项公式是an=2n−1，记bm为{an}在区间[m,2m)(m∈N,m>0)内项的个数，则使得不等式bm+1−bm>2062成立的m的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=32，PA=PB−PC=AC=6，点O是AC的中点．
(1)求△POB绕PO旋转一周形成的几何体的体积；
(2)点M在棱BC上，且BM=13BC，求直线PC与平面PAM所成角的大小．
18.(本小题13分)
已知f(x)=a⋅bx(a,b∈R且b>0)，且满足f(3)+f(1)⋅f(5)=6，f(6)=16．
(1)求函数y=f(x)的解析式；
(2)函数y=g(x)(x>0)满足条件f(g(x))=x，若存在实数x，使得g(x+1)、g(λx)、g(x+2)成等差数列，求正实数λ的取值范围．
19.(本小题16分)
某地生产队在面积相等的50000块稻田上种植一种新型水稻，从中抽取100块得到各块稻田的亩产量(单位：kg)与优质频数并部分整理成下表(最终亩产量均在900kg到1200kg之间)
(1)这50000块稻田中，亩产量在[1050,1100)的频数约为多少？
(2)估计这片稻田的平均亩产量(单位kg)；
(3)已知在100块抽取稻田中亩产量在[1050,1100)的优质稻田有25块，是否有0.95的把握认为产品是否优质与亩产量不少于1050kg且少于1200kg有关？(参考公式：χ2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，参考数据：P(χ2≥3.841)≈0.05)
20.(本小题18分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点P( 3,3 32)在C上，且PF⊥x轴．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(4 3,0)及点A(0,3)的直线与椭圆C交于另一点B，N为线段FM的中点，直线NB与直线PF交于点Q，求直线AQ的方程；
(3)设过点M(4 3,0)的直线l与椭圆C交于A、B两点，N为线段FM的中点，直线NB与直线PF交于点Q，直线AQ与椭圆交于另一点E，求△AEF面积的最大值．
21.(本小题18分)
已知f(x)=(1−ax)ln(1+x)−x．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)当a=−2时，求函数y=f(x)的极值；
(3)当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.C
5.{2,3,6}
6.{a|a≥2}
7.(−∞,−1)∪(4,+∞)
8.−1
9.−1
10.90
11.2

13.−2
14.180
15.3 5+ 332
16.13
17.解：(1)如图，∵△POB绕PO旋转一周形成的几何体为以OB为底面半径的圆锥，
由|AB|=|BC|= 2，|PA|=|PB|=|PC|=|AC|=6，
∴|AB|2+|BC|2=|AC|2，∴∠ABC=π2，∴|OB|=3，
∵|PA|=|PC|=|AC|=6，点O为AC的中点，
∴PO⊥AC，且|PO|= 62−32=3 3，
∴|PO|2+|OB|2=|PB|2，∴PO⊥OB，且AC∩O=O，
∴PO⊥平面ABC，∴△POB绕PO旋转一周形成的几何体为以|OB|=3为底面圆半径，
以|PO|=3 3为高的圆锥，
∴△POB绕PO旋转一周形成的几何体的体积为：
V=13×π×32×3 3=9 3π．
(2)∵PO⊥平面ABC，|AB|=|BC|=3 2，
|PA|=|PB|=|PC|=|AC|=6，
∴|AB|2+|BC|2=|AC|2，∴∠ABC=π2，△ABC是等腰直角三角形，
∵O是AC的中点，∴OB⊥AC，
以O为坐标原点，分别以直线OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

由|BM|=13|BC|，
P(0,0,3 3)，C(0,3,0)，A(0,−3,0)，M(2,1,0)，
∴PC=(0,3,−3 3)，AP=(0,3,3 3)，AM=(2,4,0)，
设平面MAC的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AP=3y+3 3z=0n⋅AM=2x+4y=0，取y= 3，得n=(−2 3, 3,−1)，
设直线AC与平面PAM所成角为θ，θ∈[0,π2]，
∴sinθ=|PC⋅n||PC|⋅|n|=6 36×4= 34，
∴直线PC与平面PAM所成角的大小为θ=arcsin 34．
18.解：(1)由题可知，ab3+ab⋅ab5=6ab6=16，
解得a=14b=2，
所以f(x)=14⋅2x=2x−2，
(2)由题可知2g(x)−2=x，得g(x)=lg2x+2，
所以g(x+1)=lg2(x+1)+2，g(λx)=lg2(λx)+2，g(x+2)=lg2(x+2)+2，
若存在实数x使g(x+1)、g(λx)、g(x+2)为等差数列，
可得g(x+1)+g(x+2)=2g(λx)，
即若存在实数x，lg2(x+1)+2+lg2(x+2)+2=2[lg2(λx)+2]，
显然x>−1，λx>0，
因为λ>0，所以x>0，
化简得(1−λ2)x2+3x+2=0，
故该方程在(0,+∞)有解即可，
当λ=1时，得3x+2=0⇒x=−23，不符合题意；
当λ≠1时，得(1−λ2)x2+3x+2=0，
可得Δ=9−4(1−λ2)×2=1+8λ2>0，
解得x=−3± 1+8λ22(1−λ2)，
所以只需−3+ 1+8λ22(1−λ2)>0或−3− 1+8λ22(1−λ2)>0都可，
得−3+ 1+8λ22(1−λ2)>0无解；−3− 1+8λ22(1−λ2)>0，
解得λ2<1，
又因为λ>0，
所以得0<λ<1，
故λ的取值范围是(0,1)．
19.解：(1)由表格[900,950)、[950,1000)、[1000,1050)、[1100,1150)、[1150,1200)的亩产区间，对应频数分别为6，12，18，24，10，频数共为70，
故样本中亩产量在[1050,1100)的频数约为100−70=30，
所以50000块稻田中亩产量在[1050,1100)的频数约为500000100×30=150000块；
(2)由(1)，抽取100块稻田的平均亩产量为0.06×925+0.12×975+0.18×1025+0.3×1075+0.24×1125+0.1×1175=1067kg，
所以这片稻田的平均亩产量约为1067kg；
(3)由题意，可得如下列联表，
零假设H0：产品是否优质与亩产量不少于1050kg且少于1200kg无关，
因为χ2=100×(29×15−49×7)236×64×22×78≈0.214<3.841，
所以依据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0成立，
即没有0.95的把握认为产品是否优质与亩产量不少于1050kg且少于1200kg有关．
20.解：(1)因为点P( 3,3 32)在C上，且PF⊥x轴，
所以F( 3,0)，
即c= 3，
又3a2+274b2=1a2−b2=3，
解得a2=12，b2=9，
所以C的方程为x212+y29=1；
(2)因为直线AM：y=0−34 3−0x+3=− 34x+3，
联立y=− 34x+3x212+y29=1，消去y并整理得154x2−6 3x=0，
解得x=8 35或x=0(舍去)，
即B(8 35,95)，
又N(5 32,0)，
所以直线NB的方程为y=−2 3(x−5 32)，
令x= 3，
解得yQ=−2 3×( 3−5 32)=3，
即Q( 3,3)，
所以直线AQ的方程为y=3；
(3)易知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y=k(x−4 3)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=k(x−4 3)x212+y29=1，消去y并整理得(3+4k2)x2−32 3k2x+192k2−36=0，
此时Δ=3072k4−48(3+4k2)(16k2−3)>0，
即9−36k2>0，
解得12由韦达定理得x1+x2=32 3k23+4k2，x1x2=192k2−363+4k2，
易知直线NB的斜率存在，
令NB：y=y2x2−5 32(x−5 32)，
当x= 3时，
解得yQ=2y22x2−5 3×( 3−5 32)=3 3y25 3−2x2，
所以y1−yQ=y1−3 3y25 3−2x2=5 3y1−2x2y1−3 3y25 3−2x2
=k⋅5 3×32 3k23+4k2−2×192k2−363+4k2−245 3−2x2=k⋅96k2+723+4k2−245 3−2x2=0，
解得y1=yQ，
即y1=yE，
则S△AEF=|x1|⋅|y1|=6 3|x12 3|⋅|y13|≤6 3×x1212+y1292=3 3，
当且仅当|x12 3|=|y3|，
即|x1|= 6，|y1|=3 32时，等号成立．
故△AEF面积的最大值为3 3．
21.解：(1)将a=1代入，对f(x)=(1−x)ln(1+x)−x求导，
可得f′(x)=−ln(1+x)+1−x1+x−1，
当x=1，f′(1)=−ln(1+1)+1−11+1−1=−ln2−1，f(1)=−1，
所以根据点斜式可列出切线方程y+1=−(ln2+1)(x−1)，
化简可得y=−(ln2+1)(x−1)−1=−ln2⋅x−x+ln2，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程y=−xln2−x+ln2；
(2)将a=−2代入，对f(x)=(1+2x)ln(1+x)−x求导，可得f′(x)=2ln(1+x)+1+2x1+x−1=2ln(1+x)+x1+x，
因为1+x>0，所以x>−1，即y=f(x)的定义域为(−1,+∞)，
令ℎ(x)=2ln(1+x)+x1+x，
则ℎ′(x)=21+x+1+x−x(1+x)2=21+x+1(1+x)2>0,(x>−1)，
所以ℎ(x)在(−1,+∞)上单调递增，又 f′(0)=2ln(1+0)+01+0=0，
所以当x∈(−1,0)时，f′(x)<0，y=f(x)单调递减，
当x∈(0,+∞)，f′(x)>0，y=f(x)单调递增，
则在x∈(−1,+∞)，y=f(x)无极大值，只有极小值为f(0)=0，
所以当a=−2时，函数y=f(x)的极小值为0，无极大值；
(3)根据题意知f(x)=(1−ax)ln(1+x)−x，
则f′(x)=−aln(1+x)+1−ax1+x−1=−aln(1+x)−(a+1)x1−x，
设g(x)=f′(x)=−aln(1+x)−(a+1)x1−x，
则g′(x)=−a1+x−a+1(1−x)2，
因为当x≥0时，f(x)≥0恒成立，且f(0)=0，f′(0)=0，
所以g′(0)=−2a−1≥0，得a≤−12，
故a≤−12是原不等式成立的必要条件，
再证明必要条件也是充分条件，当a≤−12，x≥0时，g′(x)=−a1+x−a+1(1−x)2≥12(1+x)−12(1−x)2=x2(1−x)2≥0，
所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增，且f′(x)≥f′(0)=0，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x)≥f(0)=0，充分性成立，
故可得a的取值范围为(−∞,−12]． 亩产量
[900,950)
[950,1000)
[1000,1050)
[1100,1150)
[1150,1200)
优质频数
5
10
14
18
6
普通频数
1
2
4
6
4
亩产900≤x<1050
亩产1050≤x<1200
总计
优质
29
49
78
普通
7
15
22
总计
36
64
100