2024-2025学年湖南省长沙大学附中高二（上）开学数学试卷(含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙大学附中高二（上）开学数学试卷(含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题：∀x∈R都有x2−3x+1≥0的否定是( )
A. ∃x∉R使得x02−3x0+1<0B. ∃x∈R使得x02−3x0+1<0
C. ∀x∈R都有x2−3x+1<0D. ∀x∉R都有x02−3x0+1≤0
2.若p：{x|x2≤4}，q：{x|y=lg(x−1)}，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数f(x)= (x+3)(1−x)的定义域为( )
A. (−∞,−1]∪[3,+∞)B. [−1,3]
C. [−3,1]D. (−∞,−3]∪[1,+∞)
4.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)，且函数y=|f(x)|的最小正周期为2π，则下列关于函数y=|f(x)|的说法，
①ω=12；
②点(2π3,0)是y=|f(x)|的一个对称中心；
③直线x=2π3是函数y=|f(x)|的一条对称轴；
④函数y=|f(x)|的单调递增区间是(2kπ−π3,2kπ+2π3)，k∈Z．
其中正确的( )
A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④
5.已知实数a=513,b=lg53,c=lg153，则a，b，c这三个数的大小关系是( )
A. c6.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是以B为直角的等腰三角形，且AB=3，AA1=2 3.若点D为棱AA1的中点，点M为面BCD的一动点，则|B1M|+|C1M|的最小值为( )
A. 3 3B. 6C. 3 5D. 66
7.已知△ABC中，设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S，若3sin2B+2sin2C=sinA(sinA+2sinBsinC)，则Sb2的值为( )
A. 14B. 12C. 1D. 2
8.已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且(b2−c2)⋅sinB=2S，若a=kc，则k的取值范围是( )
A. (1,2)B. (0,3)C. (1,3)D. (0,2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量a=(1,1)，b=(−3,4)，则下列说法正确的是( )
A. cs〈a,b〉= 210
B. b在a方向上的投影向量为 22a
C. 与b垂直的单位向量的坐标为(45,35)
D. 若向量a+λb与向量a−λb共线，则λ=0
10.已知函数f(x)=−x2+2x,x≥0x2−2x,x<0，若关于x的不等式[f(x)]2+af(x)<0恰有1个整数解，则实数a的取值可以为( )
A. −2B. 3C. 5D. 8
11.对于定义域为D的函数y=f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a,b]⊆D，使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b].那么把y=f(x)(x∈D)称为闭函数.下列结论正确的是( )
A. 函数y=x2+1是闭函数
B. 函数y=−x3是闭函数
C. 函数f(x)=xx+1是闭函数
D. k=−2时，函数y=k+ x+2是闭函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若f(x)具有性质：①f(x)为偶函数，②对任意x∈R，都有f(π4−x)=f(π4+x)，则f(x)的解析式可以是______.(只写一个即可)
13.若正实数x，y满足2x+y=xy，则x+2y的最小值为______．
14.已知三棱锥S−ABC外接球直径为SC，球的表面积为36π，且AB=BC=CA=3，则三棱锥S−ABC的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=csx( 3sinx−csx)+12，x∈R．
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和对称轴；
(Ⅱ)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c=4，f(C)=1，且△ABC的面积为4 3，求，b的值．
16.(本小题15分)
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AD⊥DE，AD=4，DE=EF=2．
(1)求证：平面ADE⊥平面CDEF；
(2)设M是CF的中点，棱AB上是否存在点G，使得MG//平面ADE？若存在，求线段AG的长；若不存在，说明理由．
17.(本小题15分)
已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：

若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)若临界值K=60，请估计该公司生产的1000个该型号芯片Ⅰ级品和1000个Π级品中应用于A型手机的芯片个数；
(2)设K=x且x∈[50,55]，现有足够多的芯片I级品、Π级品，分别应用于A型手机、B型手机各1万部的生产：
方案一：直接将该芯片Ⅰ级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值K的芯片会导致芯片生产商每部手机损失800元；直接将该芯片Ⅱ级品应用于B型手机，其中该指标大于临界值K的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失400元；
方案二：重新检测芯片Ⅰ级品，Ⅱ级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元；
请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值f(x)(单位：万元)的表达式，并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．
18.(本小题17分)
设A是同时符合以下性质的函数f(x)组成的集合：
①∀x∈[0,+∞)，都有f(x)∈(1,4]；②f(x)在[0,+∞)上是减函数．
(1)判断函数f1(x)=2− x和f2(x)=1+3⋅(12)x(x≥0)是否属于集合A，并简要说明理由；
(2)把(1)中你认为是集合A中的一个函数记为g(x)，若不等式g(x)+g(x+2)≤k对任意的x≥0总成立，求实数k的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)．
(1)若a<0，b>0，c=0，且f(x)在[0,2]上的最大值为98，最小值为−2，试求a，b的值；
(2)若c=1，0参考答案
1.B
2.D
3.C
4.D
5.C
6.C
7.B
8.A
9.AD
10.CD
11.BD
12.f(x)=a或f(x)=cs4x或f(x)=|sin2x|等．
13.9
14.9 22
15.解：(I)f(x)=csx( 3sinx−csx)+12= 3sinxcsx−cs2x+12= 32sin2x−12cs2x=sin(2x−π6)，
则函数f(x)的最小正周期为T=π；
令2x−π6=π2+kπ，k∈Z，则函数f(x)的对称轴为：x=π3+kπ2,k∈Z．
(Ⅱ)∵f(C)=sin(2C−π6)=1，且0由S=12absinC=4 3，可知ab=16，
由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC及c=4,C=π3，
可知a2+b2=32；
解得a=b=4．
16.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥DC．
又∴AD⊥DE，DE∩DC=D，
∴AD⊥平面CDEF，AD⊂面ADE，
∴平面ADE⊥平面CDEF．
(2)存在．
AB/​/CD，AB⊂面ABFE，CD⊂面CDEF，并且面ABFE∩面CDEF=EF，∴EF/​/CD．
取CD中点H，HC中点P，取AB中点N，NB中点Q，连MP，PQ，MQ，
可得EF/​/DH，且EF=DH，故四边形EFHD为平行四边形，∴ED/​/FH．
又∵M为FC中点，∴在△CFH中，MP//FH，
∵PQ/​/AD，PQ∩MP=P，
面MPQ//面ADE，
∵G在棱AB上，故当且仅当G与Q重合时，MG/​/面ADE，
∴AG=34AB=3．
17.解：(1)临界值K=60时，Ⅰ级品中该指标大于60的频率为0.93，Ⅱ级品中该指标大于60的频率为0.1，
故该公司生产的1000个该型号芯片Ⅰ级品和1000个Ⅱ级品中应用于A型手机的芯片个数估计为：1000×0.93+1000×0.1=1030；
(2)当临界值K=x时，
若采用方案一：Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K的概率为0.002×10+0.005×(x−50)=0.005x−0.23，
可以估计10000部A型手机中有10000×(0.005x−0.23)=50x−2300部手机芯片应用错误，
Ⅱ级品中该指标大于临界值K的概率为0.01×10+0.03×(60−x)=−0.03x+1.9，
可以估计10000部B型手机中有10000(−0.03x+1.9)=19000−300x部手机芯片应用错误，
故可以估计芯片生产商的损失费用f(x)=0.08×(50x−2300)+0.04×(19000−300x)=576−8x，
∵x∈[50,55]，∴f(x)∈[136,176]，
又采用方案二需要检测费用共130万元，
故从芯片生产商的成本考虑，应选择方案二．
18.解：(1)∵f1(x)=2− x，y= x在[0,+∞)上是单调递增函数，
∴f1(x)=2− x在[0,+∞)上是单调减函数，
∵ x≥0，
∴2− x≤2，
∴f1(x)∈(−∞,2]，
∵A是同时符合以下性质的函数f(x)组成的集合：①∀x∈[0,+∞)，都有f(x)∈(1,4]；②f(x)在[0,+∞)上是减函数，
∴f1(x)不符合①，
∴f1(x)不在集合A中；
∵x≥0时，0<(12)x≤1，
∴1<1+3⋅(12)x≤4，
∴f2(x)∈(1,4]，
又y=(12)x在[0,+∞)上是单调递减函数，
∴f2(x)=1+3⋅(12)x在[0,+∞)上是单调递减函数，
∵A是同时符合以下性质的函数f(x)组成的集合：①∀x∈[0,+∞)，都有f(x)∈(1,4]；②f(x)在[0,+∞)上是减函数，
∴f2(x)同时符合①②，
∴f2(x)=1+3⋅(12)x在集合A中，
故f1(x)=2− x不在集合A中，f2(x)=1+3⋅(12)x在集合A中；
(2)由(1)可知，g(x)=1+3⋅(12)x，
∴ℎ(x)=g(x)+g(x+2)=[1+3⋅(12)x]+[1+3⋅(12)x+2]=2+154(12)x，
∵y=(12)x在[0,+∞)上是单调递减函数，
∴ℎ(x)在[0,+∞)上是单调递减函数，
∴当x=0时，ℎ(x)取得最大值ℎ(x)max=ℎ(0)=234，
∵g(x)+g(x+2)≤k对任意的x≥0总成立，即ℎ(x)max≤k，
∴k≥234，
故所求的实数k的取值范围是[234,+∞)．
19.(1)抛物线的对称轴为x=−b2a，
①当−b2a<2时，即b>−4a时，
当x=−b2a时，f(x)max=f(−b2a)=a×b24a2−b22a+c=−b24a+c=98，f(x)min=f(2)=4a+2b+c=−2，
∴−b24a+c=984a+2b=−2，
∴a=−2，b=3．
②当−b2a≥2时，即b≥−4a时，f(x)在[0,2]上为增函数，f(x)min=f(0)=0与f(x)min=−2矛盾，无解，
综合得：a=−2，b=3．
(2)|f(x)x|≤2对任意x∈[1,2]恒成立，即|ax+1x+b|≤2对任意x∈[1,2]恒成立，
即−2≤ax+1x+b≤2对任意x∈[1,2]恒成立，
令g(x)=ax+1x+b，则[g(x)]max≤2[g(x)]min≥−2，
∵01，
(ⅰ)若1 a≥2，即0即a+1+b≤22a+12+b≥−2，得b≤1−ab≥−2a−52，此时(−2a−52)−(1−a)=−a−72<0，∴(−2a−52)<(1−a)
∴−2a−52≤b≤1−a．
(ⅱ)若1<1 a<2，即14此时，[g(x)]min=g(1 a)≥−2⇒2 a+b≥−2⇒b≥−2−2 a，
只要g(1)=a+1+b≤2g(2)=2a+12+b≤2b≥−2 a−2⇒b≤1−ab≤32−2ab≥−2 a−2，(1−a)−(32−2a)=a−12
当12≤a<1时，1−a≥32−2a，−2 a−2≤b≤32−2a
当14综上得：①0②14③12≤a<1时，−2 a−2≤b≤32−2a．