2023-2024学年北京交大附中高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年北京交大附中高一（下）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sin120°的值为( )
A. 32B. 12C. − 32D. −12
2.若角α的终边过点(4,3)，则sin(α+π2)=( )
A. 45B. −45C. 35D. −35
3.已知扇形的弧长为4cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( )
A. 4cm2B. 6cm2C. 8cm2D. 16cm2
4.向量a,b,c正方形网格中的位置如图所示．若向量c=λa+b，则实数λ=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是( )
A. f(x)=cs2xB. f(x)=tanx2C. f(x)=tan(−x)D. f(x)=sin|x|
6.在△ABC中，AB=4，AC=3，且|AB+AC|=|AB−AC|，则AB⋅BC=( )
A. 16B. −16C. 20D. −20
7.函数f(x)=csx⋅|tanx|在区间(π2,32π)上的图象为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)=sin(2x+π4)，则“α=π8+kπ(k∈Z)”是“f(x+α)是偶函数，且f(x−α)是奇函数”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.已知向量a，b，c共面，且均为单位向量，a⋅b=0，则|a+b+c|的最大值是( )
A. 2B. 3C. 2+1D. 3+1
10.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一，在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图1).已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均在正方形ABCD各边的中点(如图2)，若点P在BC的中点，则(PA+PB)⋅PO=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.与向量a=(−3,4)平行的单位向量是______．
12.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(π3)=______．
13.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象过点(0,12)，则φ= ______，若将函数f(x)图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为______．
14.已知边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=π3，点E满足BE=3EC，点F为线段BD上一动点，则AF⋅BE的最大值为______．
15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y=Asinωt.音有四要素，音调、响度、音长和音色.它们都与函数y=Asinωt及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是y=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x+…..给出下列四个结论：
①函数y=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x+…+110sin10x不具有奇偶性；
②函数f(x)=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x在区间[−π8,π8]上单调递增；
③若某声音甲对应的函数近似为g(x)=sinx+12sin2x+13sin3x，则声音甲的响度一定比纯音ℎ(x)=12sin2x的响度小；
④若某声音乙对应的函数近似为φ(x)=sinx+12sin2x，则声音乙一定比纯音ℎ(x)=12sin2x更低沉．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
如图，在△ABC中，BD=2DC，E是AD的中点，设AB=a，AC=b．
(1)试用a，b表示AD，BE；
(2)若|a|=|b|=1，a与b的夹角为60°，求AD⋅BE．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=3sin(2x+π4)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)若函数f(x)在区间[0,a]内只有一个零点，直接写出实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知A(4,0)，B(0,4)，C(csα,sinα)，(0<α<π)．
(1)若|OA+OC|= 21(O为坐标原点)，求OB与OC的夹角；
(2)若AC⊥BC，求sinα−csα的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)，且f(x)图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
(1)确定f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)= 2sin(2x+π4)，则是否存在实数m，使得对于任意x1∈[0,π2]，存在x2∈[0,π2]，m=g(x1)−f(x2)成立？若存在，求实数m的取值范围：若不存在，请说明理由．
条件①：f(x)的最小值为−2；
条件②：f(x)图像的一个对称中心为(5π12,0)；
条件③：f(x)的图像经过点(5π6,−1)．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
20.(本小题14分)
对于定义在R上的函数f(x)和正实数T，若对任意x∈R，有f(x+T)−f(x)=T，则f(x)为T−阶梯函数．
(1)分别判断下列函数是否为1−阶梯函数(直接写出结论)：
①f(x)=x2；②f(x)=x+1．
(2)若f(x)=x+sinx为T−阶梯函数，求T的所有可能取值；
(3)已知f(x)为T−阶梯函数，满足：f(x)在[T2,T]上单调递减，且对任意x∈R，有f(T−x)−f(x)=T−2x.若函数F(x)=f(x)−ax−b有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为x1，x2，x3，⋅⋅⋅直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在b∈R，使得F(x)在[0,2023T]上有4046个零点，且x2−x1=x3−x2=⋅⋅⋅=x4046−x4045．
参考答案
1.A
2.A
3.A
4.D
5.C
6.B
7.C
8.A
9.C
10.D
11.(−35,45)或(35,−45)
12.1
13.π6 83
14.3
15.②
16.解：(1)在△ABC中，BD=2DC，E是AD的中点，设AB=a，AC=b，
则AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC−AB)=13AB+23AC=13a+23b，
BE=AE−AB=12AD−AB=12(13AB+23AC)−AB=13AC−56AB=−56a+13b；
(2)已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为60°，
则a⋅b=1×1×12=12，
则AD⋅BE=(13a+23b)⋅(−56a+13b)=−518a2−49a⋅b+29b2=−518−49×12+29=−518．
17.解：(1)因为f(x)=3sin(2x+π4)，
所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π；
(2)由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，
可得kπ−3π8≤x≤kπ+π8，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ−3π8,kπ+π8](k∈Z)；
(3)由f(x)=3sin(2x+π4)=0可得，
2x+π4=kπ，k∈Z
所以x=kπ2−π8，k∈Z，
因为函数f(x)在区间[0,a]上有且只有一个零点，
所以3π8≤a<7π8，
所以实数a的取值范围为[3π8,7π8)．
18.解：(1)因为A(4,0)，B(0,4)，C(csα,sinα)，
所以OA=(4,0),OB=(0,4),OC=(csα,sinα)，
所以OA+OC=(4+csα,sinα)，
由|OA+OC|= 21，得(4+csα)2+sin2α=21，
结合sin2α+cs2α=1，解得csα=12，
又因为0<α<π，所以α=π3，即C(12, 32)，
设OB与OC的夹角为β(0≤β≤π)，
则csβ=OB⋅OC|OB||OC|=2 34= 32，
又因为0≤β≤π，故OB与OC的夹角为π6；
(2)由AC⊥BC，得AC⋅BC=0，
又因为A(4,0)，B(0,4)，C(csα,sinα)，
所以AC=(csα−4,sinα)，BC=(csα,sinα−4)，
所以(csα−4)csα+sinα(sinα−4)=0，
所以sinα+csα=14，
两边同时平方化简可得：2sinαcsα=−1516<0，
又因为0<α<π，所以π2<α<π，
所以(sinα−csα)2=1−−1516=3116，
所以sinα−csα= 314．
19.解：(1)由于函数f(x)图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，
所以f(x)的最小正周期T=2×π2=π，
所以ω=2πT=2，
此时f(x)=Asin(2x+φ)．
选条件①③：
因为f(x)的最小值为−A，
所以A=2．
因为函数f(x)的图象过点(5π6,−1)，
则f(5π6)=−1，
所以2sin(5π3+φ)=−1，即sin(5π3+φ)=−12．
因为|φ|<π2，所以7π6<φ+5π3<13π6，
所以φ+5π3=11π6，
所以φ=π6，
所以f(x)=2sin(2x+π6)．
选条件②③：
因为函数f(x)的一个对称中心为(5π12,0)，
所以2×5π12+φ=kπ(k∈Z)，
所以φ=kπ−5π6(k∈Z)．
因为|φ|<π2，所以φ=π6，此时k=1．
所以f(x)=Asin(2x+π6)．
因为函数f(x)的图象过点(5π6,−1)，
所以f(5π6)=−1，
所以Asin(5π3+π6)=−1，Asin11π6=−1，
所以A=2，
所以f(x)=2sin(2x+π6)．
选条件①②：
因为f(x)的最小值为−A，所以A=2．
因为f(x)图象的一个对称中心为(5π12,0)，
所以2×5π12+φ=kπ(k∈Z)，
所以φ=kπ−5π6，(k∈Z)，
因为|φ|<π2，所以φ=π6，此时k=1，
所以f(x)=2sin(2x+π6)．
综上，不论选哪两个条件，f(x)=2sin(2x+π6)．
(2)由(1)知，f(x)=2sin(2x+π6)，由x2∈[0,π2]得：2x2+π6∈[π6,7π6]，
sin(2x2+π6)∈[−12,1]，因此f(x2)∈[−1,2]，
由x1∈[0,π2]得：2x1+π4∈[π4,5π4]，sin(2x1+π4)∈[− 22,1]，
因此g(x1)∈[−1, 2]，从而g(x1)−m∈[−m−1,−m+ 2]，
由m=g(x1)−f(x2)得：f(x2)=g(x1)−m，
假定存在实数m，使得对∀x1∈[0,π2]，∃x2∈[0,π2]，m=g(x1)−f(x2)成立，
即存在实数m，使得对∀x1∈[0,π2]，∃x2∈[0,π2]，f(x2)=g(x1)−m成立，则[−m−1,−m+ 2]⊆[−1,2]，
于是得−m−1≥−1−m+ 2≤2，解得 2−2≤m≤0，
因此存在实数m，使得对∀x1∈[0,π2]，∃x2∈[0,π2]，m=g(x1)−f(x2)成立，
所以实数m的取值范围是[ 2−2,0]．
20.解：(1)①因为f(x)=x2，所以f(x+1)−f(x)=(x+1)2−x2=2x+1≠1，
所以f(x)=x2不是1−阶梯函数；
②因为f(x)=x+1，所以f(x+1)−f(x)=(x+1)+1−(x+1)=1，
所以f(x)=x+1是1−阶梯函数；
(2)因为f(x)为T−阶梯函数，
所以对任意x∈R有：
f(x+T)−f(x)=[x+T+sin(x+T)]−(x+sinx)=sin(x+T)−sinx+T，
所以，对任意x∈R，sin(x+T)=sinx，
因为y=sinx是最小正周期为2π的周期函数，
又因为T>0，所以T=2kπ，k∈N∗；
(3)a=1．
证明：函数F(x)=f(x)−x−b，则有：
F(x+T)=f(x+T)−(x+T)−b=f(x)+T−(x+T)−b=f(x)−x−b=F(x)，
F(T−x)=f(T−x)−(T−x)−b=f(x)+T−2x−(T−x)−b=f(x)−x−b=F(x)．
取b=f(3T4)−3T4，则有：
F(3T4)=f(3T4)−3T4−b=0，F(T4)=F(T−T4)=F(3T4)=0，
由于f(x)在[T2,T]上单调递减，因此F(x)=f(x)−x−b在[T2,T]上单调递减，
结合F(T−x)=F(x)，则有：F(x)在[0,T2]上有唯一零点T4，在[T2,T]上有唯一零点3T4．
又由于F(x+T)=F(x)，则对任意k∈Z，有：F(T4+kT)=F(T4)=0，F(3T4+kT)=F(3T4)=0，
因此，对任意m∈Z，F(x)在[mT,(m+1)T]上有且仅有两个零点：mT+T4，mT+3T4．
综上所述，存在b=f(3T4)−3T4，使得F(x)在[0,2023T]上有4046个零点：
x1=T4，x2=3T4，x3=5T4，x4=7T4，…，x4045=8089T4，x4046=8091T4，
其中，x2−x1=x3−x2=⋅⋅⋅=x4046−x4045=T2．