2024-2025学年上海市宝山区大同中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市宝山区大同中学高三（上）开学数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.事件A与B独立，A−、B−分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是( )
A. P(A∪B)=P(A)P(B)B. P(A∪B)=P(A)+P(B)
C. P(AB−)=P(A)P(B−)D. P(A∪B−)=P(A)+1−P(B)
2.已知等差数列{an}中，|a6|=|a15|，且公差d<0，则其前n项和取得最大值时n的值为( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
3.经过点P(1,−2)可以作与曲线2x3−3x−y=0相切的不同直线共有( )
A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条
4.如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E、F分别为线段DM的三等分点，点N为线段AF的中点，过点N的平面α与棱AB、AC、AD分别交于O、P、Q，设四面体AOPQ的体积为V′，则V′V的最小值为( )
A. 14
B. 18
C. 116
D. 127
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.不等式|x2−2|>1的解集为______．
6.i为虚数单位，若复数z=4i1−i，则Imz= ______．
7.( x+2 x)6的二项展开式中的常数项为______．
8.若双曲线x2+y2b=1的离心率为2，则b= ______．
9.设a∈R，若抛物线y=14x2+a的焦点为坐标原点，则a= ______．
10.下表中是某公司一年中每月的广告投入费用与销售额的情况，设广告投入费用为x(单位：万元)，销售额为y(单位：万元)，则y关于x的回归方程为______.(回归系数精确到0.01)
11.设x∈R，若(3+x)5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a3(1+x)3+a4(1+x)4+a5(1+x)5，则a1−a2+a3−a4+a5= ______．
12.在△ABC中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2，则PB⋅PC+BC2的最小值是______．
13.将由曲线x|x|+y|y|=1、y=−1、x=0所围成的封闭区域绕y轴旋转一周后得到的旋转体记为Ω，则该旋转体Ω的体积为______．
14.某医药研究所将在7天时间内检测3种不同抗生素类药品、3种不同抗过敏类药品、1种降压类药品.若每天只能检测1种药品，且降压类药不在第1天或第7天检测，3种不同抗生素类药品中恰有2种在相邻两天被检测，则不同的检验时间安排方案的个数为______．
15.如图，半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(x<0)组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a>0，b>c>0.“果圆”与x轴的交点分别为A1、A2，若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得∠A1PA2=π2，则ca的取值范围为______．
16.已知三角形ABC的面积为2024，AC=110，34tanA+11tanB=23，则AB= ______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)其中ω>0，|φ|<π2．
(1)若csπ4csφ−sin3π4sinφ=0.求φ的值；
(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象象左平移m个单位所对应的函数是偶函数．
18.(本小题14分)
如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是线段BC上的动点．

(1)求证：平面EMN⊥平面PBC；
(2)当三棱锥M−EBN与四棱锥P−EBCD的体积之比为VM−EBNVP−EBCD=16时，求直线EN与平面PBC所成角的正弦值．
19.(本小题14分)
某网站规定：一个邮箱在一天内出现3次密码尝试错误，该邮箱将被锁定24小时.小王发现自己忘记了邮箱密码，但是可以确定该邮箱的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该邮箱被锁定．
(1)求当天小王的该邮箱被锁定的概率；
(2)设当天小王尝试该邮箱的密码次数为X，求X的分布及E[X]，D[X]的值．
20.(本小题18分)
已知双曲线Γ：x2−y2=1的左、右顶点分别为点A、B，M为双曲线Γ上的动点，点Q(0,2)．
(1)求点M到Γ的两条渐近线的距离之积；
(2)求经过点Q的双曲线Γ的切线方程；
(3)设点P在第一象限，且在渐近线的上方，直线PA，PB分别与y轴交于点C，D.过点P作Γ的两条切线，分别与y轴交于点E，F(E在F的上方)，证明：|CE|=|DF|．
21.(本小题18分)
设a(1)当a=0时，求函数y=f(x)的最小值；
(2)证明当a∈(−∞,0]时函数f(x)至多有两个零点；
(3)如果函数y=f(x)有3个不同的零点，分别设为x1、x2、x3，求实数a的取值范围；如果x1⋅x3<0，进一步证明存在唯一的实数a，使得x1、x2、x3成等差数列．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.C
5.(−1,1)∪(−∞,− 3)∪( 3,+∞)
6.2
7.160
8.−3
9.−1
10.y =17.68x+284.98
11.31
12.2 3
13.2π
14.2016
15.(12, 5−12)
16.46或184 2
17.解：(1)由csπ4csφ−sin3π4sinφ=0得csπ4csφ−sinπ4sinφ=0．
即cs(π4+φ)=0又|φ|<π2，∴φ=π4．
(2)解法一：由(1)得f(x)=sin(ωx+π4)，依题意，T2=π3，又T=2πω，故ω=3，
∴f(x)=sin(3x+π4)，
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin[3(x+m)+π4]
又g(x)是偶函数当且仅当3m+π4=kπ+π2(k∈Z)，即m=kπ3+π12(k∈Z)，
从而，最小正实数m=π12．
解法二：由(1)得f(x)=sin(ωx+π4)，依题意，T2=π3，又T=2πω，故ω=3，
∴f(x)=sin(3x+π4)．
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin[3(x+m)+π4]，
又g(x)是偶函数当且仅当g(−x)=g(x)对x∈R恒成立．
亦即sin(−3x+3m+π4)=sin(3x+3m+π4)对x∈R恒成立．
∴sin(−3x)cs(3m+π4)+cs(−3x)sin(3m+π4)=sin3xcs(3m+π4)+cs3xsin(3m+π4)．
即2sin3xcs(3m+π4)=0对x∈R恒成立．∴cs(3m+π4)=0．
故3m+π4=kπ+π2(k∈Z)，∴m=kπ3+π12(k∈Z)．
从而，最小正实数m=π12．
18.解：(1)证明：由题意可知，四边形EBCD是正方形，AE⊥DE(折叠后PE⊥DE)，
因为PE⊥EB，DE∩EB=E，DE，EB⊂平面EBCD，所以PE⊥平面EBCD，
因为BC⊂平面EBCD，所以PE⊥BC，
因为BC⊥EB，PE∩EB=E，PE，EB⊂平面PBE，所以BC⊥平面PBE，
因为EM⊂平面PBE，所以BC⊥EM，
因为PE=EB，M是PB的中点，所以EM⊥PB，
又BC∩PB=B，BC，PB⊂平面PBC，所以EM⊥平面PBC，
因为EM⊂平面EMN，所以平面EMN⊥平面PBC；
(2)设AB=2DC=2BC=4，由(1)得EM⊥平面PBC，所以∠MNE是直线EN与平面PBC所成角，
依题意得：VM−EBNVP−EBCD=13S△EBN⋅12PE13SEBCD⋅PE=12⋅2⋅BN⋅122⋅2=18BN=16，
则BN=43，所以EN= 22+(43)2=2 133，EM= 2，
所以直线EN与平面PBC所成角的正弦值为 22 133=3 22 13=3 2626．
19.解：(1)设“当天小王的该邮箱被锁定”为事件A，
则P(A)=56×45×34=12．
(2)由题意，X可能取到1，2，3，
则P(X=1)=16，P(X=2)=56×15=16，P(X=3)=56×45×1=23，
所以X的分布列为：
所以E[X]=1×16+2×16+3×23=52，
D[X]=(1−52)2×16+(2−52)2×16+(3−52)2×23=712．
20.解：(1)设点M(x1,y1)，所以x12−y12=1，两个渐近线方程为x±y=0，
所以点M到Γ的两条渐近线的距离之积为|x1−y1||x1+y1| 2× 2=|x12−y12|2=12；
(2)由题意得切线方程斜率存在，设经过点Q的切线方程为y=kx+2，
联立x2−y2=1y=kx+2，消去y得(1−k2)x2−4kx−5=0，
因为直线与双曲线相切，所以Δ=−4k2+20=0，
所以k=± 5，所以切线方程为y=± 5x+2；
(3)证明：设P(x2,y2)，x2−y2<0，因为A(−1,0)，B(1,0)，

所以直线PA的方程为y=y2x2+1(x+1)，直线PB的y=y2x2−1(x−1)，
所以C(0,y2x2+1)，D(0,−y2x2−1)，
设过P且与双曲线相切的直线方程为y=k(x−x0)+y0，
联立y=k(x−x2)+y2x2−y2=1，消去y得(1−k2)x2+(2k2x2−2ky2)x+2kx2y2−k2x22−y22−1=0，
所以Δ=(4x22−4)k2−8x2y2k+4y22+4=0，所以(x22−1)k2−2x2y2k+y22+1=0，
设直线PE，PF的斜率分别为k1，k2，所以k1+k2=2x2y2x22−1，
所以PE的方程为y=k1(x−x2)+y2，所以E(0,y2−k1x2)，
同理PF的方程为y=k2(x−x2)+y2，所以F(0,y2−k2x2)，
所以yC+yD=y2x2+1−y2x2−1=−2y2x22−1，
yE+yF=2y2−(k1+k2)x2=2y2−2x22y2x22−1=−2y2x22−1，
所以yC+yD=yE+yF，所以yE−yC=yD−yF，
所以|yE−yC|=|yD−yF|，所以|CE|=|DF|．
21.解：(1)当a=0时，f(x)=(x−2)ex+2，则f′(x)=(x−1)ex，
当x<1时，f′(x)<0，函数y=f(x)单调递减，
当x>1时，f′(x)>0，函数y=f(x)单调递增，
所以函数y=f(x)的最小值为f(1)=2−e；
(2)f(x)=(x−2)ex−a(x2−2x)+2，则f′(x)=(x−1)ex−2a(x−1)=(x−1)(ex−2a)，
a≤0时，ex−2a>0恒成立，
当x<1时，f′(x)<0，函数y=f(x)单调递减，
当x>1时，f′(x)>0，函数y=f(x)单调递增，
故当a∈(−∞,0]时函数f(x)至多有两个零点；
(3)f(x)=(x−2)ex−a(x2−2x)+2，
则f′(x)=(x−1)ex−2a(x−1)=(x−1)(ex−2a)，
由(2)可知，a∈(−∞,0]时不合题意，
当0f′(x)>0，解得x1，f′(x)<0，解得ln2a函数y=f(x)在(−∞,ln2a)和(1,+∞)上单调递增，在(ln2a,1)上单调递减，
由函数y=f(x)有3个不同的零点，则f(1)=2+a−e<0f(ln2a)>0，
又f(ln2a)=−a(ln2a−2)2+2=−eln2a2(ln2a−2)2+2，
令t=ln2a∈(−∞,1)，记f(ln2a)=ℎ(t)，
则ℎ(t)=−et(t−2)22+2，其中t<1，
则ℎ′(t)=−t(t−2)2et2，
当t∈(0,1)时，ℎ′(t)>0，函数ℎ(t)单调递增，
当t∈(−∞,0)时，ℎ′(t)<0，函数ℎ(t)单调递减，
所以ℎ(t)≥g(0)=0，即f(ln2a)≥0，当且仅当a=12时取等号，
故不等式组f(1)=2+a−e<0f(ln2a)>0的解集为(0,12)∪(12,e−2)，
因为f(2)=2>0，f(−1a)<0，
故当a∈(0,12)∪(12,e−2)时函数y=f(x)有3个不同的零点，
因为f(0)=0，f(2)=2，结合(2)中结论得x3∈(1,2)，
①当a∈(0,12)时，若存在符合题意的实数a，则由于x1x3<0，
因此x1<0因此，x1，x2，x3成等差数列可得出x3=−x1，
考虑(x−2)(ex−ax)+2=0(−x−2)(e−x+ax)+2=0，
即ex+e−x−2x+2+2x−2=0，
这等价于(ex+e−x)(x2−4)+8=0，
所以g′(x)=2x(ex+e−x)+(ex−e−x)(x2−4)，
令p(x)=2x(ex+e−x)+(ex−e−x)(x2−4)，
则p′(x)=(x2−2)(ex+e−x)+4x(ex−e−x)，
令φ(x)=(x2−2)(ex+e−x)+4x(ex−e−x)，
则φ′(x)=6x(ex+e−x)+(ex−e−x)(x2+2)，
当10，则φ(x)单调递增，即函数p′(x)单调递增，
所以p′(x)>p′(1)=3e−5e>0，则p(x)单调递增，故函数g(x)单调递增，
因为g′(1)=5e−e<0，g′(2)=4e2+4e2>0，所以g′(x)在(1,2)上存在唯一零点，记为x0，
当1当x00，即函数g(x)在(x0,2)上单调递增，
g(1)=(e+1e)×(−3)+8<0，g(2)−8>0，
因此g(x)在(1,x0)上无零点，在(x0,2)上存在唯一的零点x3，
所以存在唯一的实数α∈(0,12)使得x1，x2，x3成等差数列，
此时f(x3)=(x3−2)ex3−a(x32−2x3)+2=0，
得a=ex3x3+2x3(x3−2)，
②当a∈(12,e−2)时，ln2a>0，则x1=0综上所述，存在唯一的实数a=ex3x3+2x3(x3−2)使得x1，x2，x3成等差数列． 广告费用(万元)
30
26
21
17
11
18
13
16
17
23
25
29
销售额(万元)
843
725
621
587
485
608
523
554
600
703
728
792
X
1
2
3
P
16
16
23