2024-2025学年河北省邯郸市永年实验中学八年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省邯郸市永年实验中学八年级（上）开学数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知mn≠0，则与nm的积为1的是( )
A. mnB. nmC. −mnD. −nm
2.要使分式x+3x−2有意义，则x的取值应满足( )
A. x≠2B. x≠−3C. x=−3D. x=2
3.若等式□a2+7a=1a+7成立，则“□”内的是( )
A. a2+7aB. 7C. a+7D. a
4.用整式x+1，4，π组成的代数式有4x+1，x+14，πx+1，x+1π，4π，π4(所有式子中的x≠−1)，其中属于分式的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
5.x=2是分式方程ax=1x−3的解，则a=( )
A. 2B. −2C. 4D. −4
6.下列分式中，是最简分式的是( )
A. 22a−4B. a2a2−2aC. a+1a2+1D. a−1a2−1
7.与分式a−ba+b相等的是( )
A. −a+b−a−bB. −a+ba−bC. −a−ba+bD. b−ab+a
8.计算(−ba)3⋅a4的结果是( )
A. ab3B. −ab3C. b7aD. −b7a
9.分式3aa2−b2的分母经过通分后变成2(a−b)2(a+b)，那么分子应变为( )
A. 6a(a−b)2(a+b)B. 2(a−b)C. 6a(a−b)D. 6a(a+b)
10.某商店有A、B两箱水果，A箱水果重量为(a+1)2千克，B箱水果重量为(a2−1)千克(其中a>1)，两箱水果均卖了120元，那么A箱水果的单价是B箱水果单价的( )
A. a+1a−1B. 1a+1C. 1a−1D. a−1a+1
11.表格第一列是王江化简分式x2−4x2−4x+4⋅2x−x2x2+4x+4的部分计算过程，则在化简过程中的横线上依次填入的表格第二列内容的序号为( )
A. ④①②B. ③①②C. ③②①D. ④②①
12.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为( )
A. 900x+1=900x+3×2B. 900x+1×2=900x+3
C. 900x+1×2=900x−3D. 900x+1=900x−3×2
13.如图，若ab=2，则表示a2−b2ab−a2的值的点落在( )
A. 段①B. 段②C. 段③D. 段④
14.下列命题的逆命题是真命题的有( )
①对顶角相等；
②不相交的两条直线一定平行；
③等角的补角相等；
④如果|a|>|b|，那么a>b
A. ①和②B. ①和③C. ②和③D. ③和④
15.题目：若关于x的方程ax3x−9=123x−9+1无解，求a的值.“”嘉嘉和淇淇的做法如下：
( )
A. 嘉嘉对，淇淇错B. 嘉嘉错，淇淇对
C. 两人都错D. 两人的答案合起来才对
16.根据分式的性质，可以将分式M=m2−2m+1m2−1(m为整数)进行如下变形：M=m2−2m+1m2−1=m−1m+1=(m+1)−2m+1=1−2m+1，其中m为整数．
结论Ⅰ：依据变形结果可知，M的值可以为0；
结论Ⅱ：若使M的值为整数，则m的值有3个.( )
A. Ⅰ和Ⅱ都对B. Ⅰ和Ⅱ都不对C. Ⅰ不对Ⅱ对D. Ⅰ对Ⅱ不对
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：______．
18.观察下面的等式：第1个等式：11=12+12；第2个等式：12=13+16；第3个等式：13=14+112；第4个等式：14=15+120；……
(1)写出第5个等式：15=16+ ______；
(2)写出第n个等式：______(用含n的式子表示)．
19.已知关于x的分式方程xx−1−2=m1−x．
(1)若原分式方程有增根，则m= ______；
(2)若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为______．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题9分)
如图是某同学分式求值的错误过程．
(1)求原式正确的化简结果；
(2)老师说：“虽然该过程有错误，但最后所求的值是正确的.”求图中被污染的x的值．
21.(本小题9分)
已知正整数a，b，c满足1a=1b+1c．
(1)当a=2，b=3时，求c的值；
(2)当b=a+1时，用含a的代数式表示c．
22.(本小题9分)
将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为ab(b>a>0)．
发现再往杯中加入m(m>0)克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为a+mb+m ______ab(填“>”“0).某同学将甲和丙卡片的一个直角重叠在一起拼成图2，其阴影部分面积记为S1；图3为乙卡片，其面积记为S2．

(1)化简式子S1S2，并求当a=10时，该式子的值；
(2)当S1S2=73时，求a的值．
24.(本小题10分)
嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分(■+2a2−2a+1)÷a+1a−1．
(1)嘉淇猜被墨水遮住的式子是1a−1，请代入原式化简，然后从−1，0，1中选取一个你喜欢的作为a值代入求值；
(2)若这道题的答案是2aa2−1，则被墨水遮住的式子是多少？
25.(本小题12分)
图1和图2是冀教版七年级下册“第九章三角形”教材片段．
(1)对于图1的练习题，嘉淇将其改为证明格式如下，请帮她补充完整；
(2)定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.请结合图2证明上述定理，要求写出求证和证明过程．
26.(本小题13分)
2023年杭州第19届亚运会的吉祥物由琮琮、莲莲、宸宸三个可爱的机器人组成，他们的成团出道的组合名叫“江南忆”，出自诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”.某校准备举行亚运会知识竞赛活动，购买30套吉祥物作为竞赛奖品，某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元，若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同．
(1)求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，并且总费用不得超过2400元，试求该校一共有哪几种购买方案？
(3)在(2)的条件下，直接写出该校购买30套吉祥物的最低费用．
参考答案
1.A
2.A
3.D
4.A
5.B
6.C
7.A
8.B
9.C
10.D
11.C
12.C
13.A
14.C
15.D
16.C
17.两直线平行，同位角相等
18.130 1n=1n+1+1n(n+1)
19.(1)−1；
(2)m≥−2且m≠−1．
20.解：(1)3−xx−4−x−44−x
=3−xx−4+x−4x−4
=−1x−4；
(2)由题意得，−1x−4=−1，
∴−1=4−x，
解得x=5，
经检验，x=5是原方程的解．
21.解：(1)当a=2，b=3时，
12=13+1c，
解得c=6，
经检验，c=6是方程的解，
∴c的值为6；
(2)当b=a+1时，
1a=1a+1+1c，
∴1c=1a−1a+1=a+1−aa(a+1)=1a(a+1)，
∴c=a(a+1)．
22.(1)>；
(2)证明：a+mb+m−ab=b(a+m)b(b+m)−a(b+m)b(b+m)=bm−amb(b+m)=m(b−a)b(b+m)，
∵m>0，b>a>0，
∴b−a>0，b+m>0，
即m(b−a)b(b+m)>0，
∴a+mb+m−ab>0，
∴a+mb+m>ab．
23.解：(1)由题意可知，S1=(2a+3)2−(a+1)2，S2=(a+2)2，
∴S1S2=(2a+3)2−(a+1)2(a+2)2=3a2+10a+8(a+2)2=(3a+4)(a+2)(a+2)2=3a+4a+2，
当a=10时，S1S2=3a+4a+2=3×10+410+2=176．
(2)∵S1S2=3a+4a+2=73，
∴3(3a+4)=7(a+2)，
解得，a=1，
经检验，a=1是原分式方程的解．
24.解：(1)(1a−1+2a2−2a+1)÷a+1a−1
=a−1+2(a−1)2÷a+1a−1
=a+1(a−1)2⋅a−1a+1
=1a−1，
∵a−1≠0，a+1≠0，
∴a≠1，a≠−1，
∴从−1，0，1中选取0作为a值代入求值，
原式=10−1=−1；
(2)∵(■+2a2−2a+1)÷a+1a−1=2aa2−1，
∴■=2aa2−1⋅a+1a−1−2a2−2a+1
=2a(a+1)(a−1)2(a+1)−2(a+1)(a−1)2(a+1)
=2(a+1)(a−1)(a+1)2(a−1)
=2a+1，
则被墨水遮住的式子是2a+1．
25.(1)证明：∵DE//AB(已知)，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE(两直线平行，内错角相等)，
∵∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°(平角的定义)，
∴∠A+∠ACB+∠B=180°(等量代换)．
(2)∠A+∠B=∠ACD．
26.解：(1)设甲规格吉祥物每套x元，则乙规格吉祥物每套(x+20)元，
根据题意，得：700x=900x+20，
解得：x=70，
经检验，x=70是原方程的解且符合题意，
∴70+20=90(元)，
答：甲规格吉祥物每套70元，乙规格吉祥物每套90元；
(2)设乙规格吉祥物购买m套，总费用为w元，
根据题意，得：30−m≤2m，
解得：m≥10，
又∵w=70(30−m)+90m=20m+2100≤2400，
解得：m≤15，
∴10≤m≤15，
∵m为正整数，
∴m取10，11，12，13，14，15，
∴该校一共有6种方案，分别为：甲规格吉祥物购买20套，乙规格吉祥物购买10套；甲规格吉祥物购买19套，乙规格吉祥物购买11套；甲规格吉祥物购买18套，乙规格吉祥物购买12套；甲规格吉祥物购买17套，乙规格吉祥物购买13套；甲规格吉祥物购买16套，乙规格吉祥物购买14套；甲规格吉祥物购买15套，乙规格吉祥物购买15套；
(3)由(2)知：w=20m+2100，
∵k=20>0，
∴w随m的增大而增大，
又10≤m≤15，
∴当m=10时，w取得最小值，最小值为20×10+2100=2300(元)，
∴该校购买30套吉祥物的最低费用为2300元．
原式=(x+2)(x−2)( )⋅x(2−x)(x+2)2
①x+2
=x+2x−2⋅x(2−x)(x+2)2
②x−2
=1x−2⋅−x( )x+2
③(x−2)2
=−x( )
④(x+2)2
嘉嘉
淇淇
去分母得：ax=12+3x−9，
移项得：ax−3x=12−9，
合并同类项得：(a−3)x=3，
∵原方程无解，
∴该整式方程无解，
∴a−3=0，
解得a=3．
去分母得：ax=12+3x−9，
移项，合并同类项得：(a−3)x=3，
当a≠3时，解得：x=3a−3，
∵原方程无解，∴x为增根，
∴3x−9=0，解得x=3，
∴3a−3=3，解得a=4．
先化简，再求值：3−xx−4−x−44−x，其中x=解：原式=3−xx−4⋅(x−4)−x−44−x⋅(x−4)
=3−x+x−4
=−1
请根据图1给出的图示(过点C作ED//AB)，对“三角形内角和等于180°”说理．
作平行线是把角从一个位置“转移”到另一个位置的重要手段．图1
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角(exterirangle)
如图2，∠ACD是△ABC的一个外角．
图2
已知：在△ABC中，直线DE经过点C，且DE/​/AB.求证：∠A+∠B+∠ACB=180°．
证明：∵DE//AB(已知)，
∴∠A= ______，
∠B=∠BCE(______)，
∵∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°(______)，
∴ ______+∠ACB+ ______=180°(等量代换)．
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角.求证：______．
证明：