2024-2025学年山东省滨州市北镇中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省滨州市北镇中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在空间直角坐标系中，点A(2,−1,4)关于平面Oxy对称的点坐标是( )
A. (2,−1,−4)B. (−2,−1,−4)C. (2,1,−4)D. (−2,1,4)
2.已知向量a=(1,−4,3),b=(2,4x,y+1)分别是直线l1，l2的一个方向向量，若l1//l2，则x+y=( )
A. −3B. −4C. 3D. 4
3.已知圆x2+y2+2x−4y+1=0关于直线x−y+t=0对称，则实数t=( )
A. −3B. 1C. −1D. 3
4.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA1= 2，则异面直线AC1与BC所成角的余弦值为( )
A. 33B. − 33C. 66D. − 66
5.已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1内有一内切球O，点P在球O的表面上运动，则PA⋅PC的取值范围为( )
A. [−2,2]B. [0,2]C. [−2,4]D. [0,4]
6.若圆x2+y2−2x−6y+1=0上恰有三点到直线y=kx的距离为2，则k的值为( )
A. 12或2B. 34或43C. 2D. 43
7.已知曲线y=1+ 4−x2与直线y=k(x−2)+4有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是( )
A. (512,43]B. (512,34]C. [14,712)D. [16,712)
8.已知点P在直线x+y=4上，过点P作圆O：x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，点M在圆G：(x−4)2+(y−5)2=1上，则点M到直线AB距离的最大值为( )
A. 4B. 6C. 10−1D. 13−1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中正确的命题是( )
A. 若直线l的方向向量为e=(1,0,3)，平面α的法向量为n=(−2,0,23)，则直线l//α
B. 若对空间中任意一点O，有OP=14OA+14OB+12OC，则P、A、B、C四点共面
C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D. 已知向量a=(9,4,−4)，b=(1,2,2)，则a在b上的投影向量为(1,2,2)
10.下列四个选项中，说法错误的是( )
A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B. 直线ax+2y+6=0与直线x+(a−1)y+a2−1=0互相平行，则a=−1
C. 过(x1,y1)，(x2,y2)两点(x1≠x2,y1≠y2)的所有直线的方程为y−y1y2−y1=x−x1x2−x1
D. 经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2=0．
11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前262～前190)发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知A(−1,0)，B(2,0)，动点P满足|PA||PB|=12，直线l：mx−y+m+1=0，则( )
A. 直线l过定点(−1,1)
B. 动点P的轨迹方程为(x+2)2+y2=4
C. 动点P到直线l的距离的最大值为 2+1
D. 若点D的坐标为(−1,1)，则|PD|+2|PA|的最小值为 10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1各条棱长均为1，∠BAA1=∠DAA1=60°，∠BAD=90°，则线段AC1的长度为______．
13.当直线l：ax−y+2−a=0被圆C：(x−3)2+(y−1)2=9截得的弦长最短时，实数a的值为______．
14.已知点P为直线l：x+y−2=0上的动点，过点P作圆C：x2+2x+y2=0的切线PA，PB，切点为A，B，当|PC|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知空间中三点A(2,0,−2)，B(1,−1,−2)，C(3,0,−4)，设a=AB，b=AC．
(1)已知(a+kb)⊥b，求k的值；
(2)若|c|=6，且c//BC，求c的坐标．
16.(本小题15分)
已知两直线l1：3x−y−1=0，l2：x+2y−5=0．
(1)求过两直线的交点，且垂直于直线3x+4y−5=0的直线方程；
(2)已知两点A(−1,1)，B(0,2)，动点P在直线l1上运动，求|PA|+|PB|的最小值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD=2，AD=1，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．
(1)求证：PA//平面MNC；
(2)求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；
(3)求点B到平面MNC的距离．
18.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x(x≥0)上，且|OC|=2 2．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l过点P(1,0)，且与圆C相切，求直线l的方程；
(3)自点A(−3,3)发出的光线m射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C相切，求光线m所在直线的方程．
19.(本小题17分)
已知两个定点A(−4,0)，B(−1,0)，动点P满足|PA|=2|PB|.设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y=kx−4．
(Ⅰ)求曲线E的轨迹方程；
(Ⅱ)若l与曲线E交于不同的C，D两点，且∠COD=90°(O为坐标原点)，求直线l的斜率；
(Ⅲ)若k=12，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.C
5.A
6.D
7.B
8.B
9.BCD
10.AD
11.ABD
12. 5
13.2
14.3x+3y+1=0
15.解：(1)空间中三点A(2,0,−2)，B(1,−1,−2)，C(3,0,−4)，
设a=AB，b=AC，
由题知a=AB=(−1,−1,0)，b=AC=(1,0,−2)，
∴a+kb=(k−1,−1,−2k)，
∵(a+kb)⊥b，∴(a+kb)⋅b=k−1+4k=0，
解得k=15．
(2)∵c//BC，BC=(2,1,−2)，
∴c=λBC=(2λ,λ,−2λ)，
∵|c|=6，∴ (2λ)2+λ2+(−2λ)2=6，解得λ=±2，
∴c=(4,2,−4)或c=(−4,−2,4)．
16.解：(1)联立3x−y−1=0x+2y−5=0，解得x=1，y=2，
因为所求直线垂直于直线3x+4y−5=0，所以所求直线的斜率为43，
故所求直线方程为y=43(x−1)+2，即4x−3y+2=0；
(2)设点B(0,2)关于直线l1对称的点为C(x,y)，
y−2x=−13x2×3−y+22=1，解得x=95,y=75，
则|PA|+|PB|=|PA|+|PC|≥|AC|= (95+1)2+(75−1)2=2 2，
故|PA|+|PB|的最小值为2 2．
17.(1)证明：因为M，N分别为AD，PD的中点，
所以PA//MN，
又PA⊄平面MNC，MN⊂平面MNC，
故PA//平面MNC；
(2)解：由于PD⊥DA，PD⊥DC，AD∩DC=D，AD，DC⊂平面ABCD，
所以PD⊥平面ABCD，
以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，M(12,0,0)，N(0,0,1)，
所以PB=(1,1,−2),NC=(0,1,−1),MN=(−12,0,1)，
设平面MNC的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅MN=−12x+z=0n⋅NC=y−z=0，令y=1，则z=1，x=2，
故n=(2,1,1)，
PB⋅n=1×2+1×1+(−2)×1=1，|PB|= 12+12+(−2)2= 6，|n|= 22+12+12= 6，
所以cs=PB⋅n|PB|⋅|n|=1 6⋅ 6=16，
设直线PB与平面MNC所成角为θ，
所以sinθ=|cs|=16，
故直线PB与平面MNC所成角的正弦值为16；
(3)因为BC=(0,1,0)−(1,1,0)=(−1,0,0)，
又平面MNC的法向量为n=(2,1,1)，
所以点B到平面MNC的距离为d=|n⋅BC||n|=2 4+1+1= 63．
18.解：(1)设圆心C(a,a)，a⩾0，
由于|OC|=2 2，所以|OC|=2 2= 2a，所以a=2，
即圆心C的坐标为(2,2)，则圆C的方程为(x−2)2+(y−2)2=1；
(2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=1，
圆心C到直线x=1的距离d=2−1=1，此时满足直线l和圆C相切；
若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x−1)，
即kx−y−k=0，
因为直线l和圆C相切，
所以圆心C到直线l的距离d=|2k−2−k| 1+k2=|k−2| 1+k2=1，
即|k−2|= 1+k2，平方得k2−4k+4=1+k2，
即k=34，此时直线l的方程为34x−y−34=0，即3x−4y−3=0，
所以直线l的方程为x=1或3x−4y−3=0；
(3)如图所示，圆(x−2)2+(y−2)2=1关于x轴的对称方程是(x−2)2+(y+2)2=1，

设m的方程为y−3=k(x+3)，即kx−y+3k+3=0，由于对称圆心(2,−2)到m的距离为圆的半径1，
则|2k+2+3k+3| k2+1=1，
从而可得k1=−34,k2=−43，故光线m所在直线的方程是3x+4y−3=0或4x+3y+3=0．
19.解：(1)设点P坐标为(x,y)，
由|PA|=2|PB|，得： (x+4)2+y2=2 (x+1)2+y2，
平方可得x2+y2+8x+16=4(x2+y2+2x+1)，
整理得：曲线E的轨迹方程为x2+y2=4；
(2)直线l的方程为y=kx−4，
依题意可得三角形COD为等腰直角三角形，
圆心到直线的距离为12|CD|= 2，
则d=|4| 1+k2= 2，
∴k=± 7；
(3)由题意可知：O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，
设Q(t,12t−4)，
以OQ为直径的圆的方程为x(x−t)+y(y−12t+4)=0，
即：x2−tx+y2−(t2−4)y=0，
又M，N在曲线E：x2+y2=4上，
可得MN的方程为tx+(12t−4)y−4=0，
即(x+y2)t−4(y+1)=0，由x+y2=0y+1=0得x=12y=−1，
∴直线MN过定点(12,−1)．