2024-2025学年北京四十四中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京四十四中九年级（上）开学数学试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 3B. a2C. 12D. 27
2.以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是( )
A. 2，2，3B. 4，5，7C. 5，12，13D. 10，10，10
3.下列命题是真命题的是( )
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 四个角都相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4.在平面直角坐标系xOy中，点A(2,y1)，B(3,y2)在函数y=−3x的图象上，则( )
A. y1>y2B. y1=y2C. y15.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，则矩形对角线的长为( )
A. 4
B. 8
C. 4 3
D. 4 5
6.奥运会的跳水项目是优美的水上运动，中国跳水队被称为“梦之队”，在一次女子单人10米台跳水比赛中，甲、乙两名选手五轮得分的折线统计图如图所示.设甲、乙的平均分依次为x甲−，x乙−，方差依次为S甲2，S乙2.以下四个推断中，正确的是( )
A. x甲−>x乙−，S甲2>S乙2B. x甲−>x乙−，S甲2C. x甲−S乙2D. x甲−7.在直角坐标系中，点P在直线x+y−6=0上，O为原点，则OP的最小值为( )
A. −2B. 2 2C. 10D. 3 2
8.如图，在正方形ABCD中，P为边BC上一点(点P不与点B，C重合)，AH⊥DP于G，并交CD于点H，CF⊥AH交AH延长线于点F.给出下面三个结论：
①PC+AD=AH；
②FD< 2PC；
③ 3FA−FD>FB．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. 仅有②B. 仅有③C. ②③D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.要使式子 x−3有意义，则x的取值范围是______．
10.方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为______．
11.如果一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过(0,−1)，且y随x的增大而增大，那么这个一次函数的解析式可以是 (写出一个即可)．
12.菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD的长为6cm，则AC的长为 cm．
13.如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是______米.
14.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点(不与点A，B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB=4，∠BAD=60°，则EF的最小值为 ．
15.如图，正比例函数y1=ax与一次函数y2=12x+b的图象交于点P.下面四个结论：
①a>0；
②b<0；
③不等式ax>12x+b的解集是x>−2；
④当x>0时，y1y2<0．
其中正确的是______．
16.如图，在平面直角坐标系xOy中.四边形OABC为正方形，点A的坐标为(3,0).若直线l1：y=−x+b1和直线l2：y=−x+b2(b1≠b2)被正方形OABC的边所截得的线段长度相等，写出b1和b2满足的数量关系______．
三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
(1)( 12− 12)+( 2− 3)；
(2)(2 5+4)×(2 5−4)÷ 8；
(3)(x−5)2=9；
(4)x2−4x−1=0．
18.(本小题5分)
如图是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30°角的平行四边形”的尺规作图过程．
已知：矩形ABCD．
求作：▱AGHD，使∠GAD=30°．
作法：如图，
①分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点E，F；
②作直线EF；
③以点A为圆心，以AB长为半径作弧，交直线EF于点G，连接AG；
④以点G为圆心，以AD长为半径作弧，交直线EF于点H，连接DH．
则四边形AGHD即为所求作的平行四边形．
根据小明设计的尺规作图过程，填空：
(1)∠BAG的大小为______；
(2)判定四边形AGHD是平行四边形的依据是______；
(3)用等式表示平行四边形AGHD的面积S1和矩形ABCD的面积S2的数量关系为______．
19.(本小题5分)
一个一次函数的图象经过(0,2)和(4,−2)两点．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)作出该一次函数的图象；
(3)结合图象回答：当y<0时，x的取值范围是______．
20.(本小题5分)
数学课上老师提出一个命题：如果四边形ABCD和BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD也是平行四边形．
下面是某同学根据自己画出的图形给出的证明过程．
证明：因为ABCD是平行四边形，
所以AD=BC，AB=CD．
又因为BEFC也是平行四边形，
所以BC=EF，BE=CF．
所以AD=EF，AB+BE=DC+CF．
即AE=DF．
所以四边形AEFD是平行四边形．
讨论后大家发现这个证明过程存在问题．
(1)请说明该同学证明中出现的问题；
(2)给出正确的证明．
21.(本小题5分)
关于x的一元二次方程x2−mx+2m−4=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
22.(本小题5分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx与y=6−x的图象交于点A．
(1)若点A的横坐标为2，求k的值；
(2)若关于x的不等式kx<6−x有且只有2个正整数解，直接写出k的取值范围．
23.(本小题6分)
如图，△ABC中，AB=BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点，连接EO，若EO=2 5，DE=4，求CE的长．
24.(本小题6分)
某校举办了一场游泳比赛，9年级初选出10名学生代表.将10名学生代表200米自由泳所用时间数据整理如下：
a.10名学生代表200米自由泳所用时间(单位：秒)：
260，255，255，250，248，246，246，246，220，205
b.10名学生代表200米自由泳所用时间的平均数、中位数、众数(单位：秒)；
(1)写出表中m，n的值；
(2)部分同学因客观原因没有参加选拔，学校决定，若5次日常训练的平均用时低于10名学生代表中的一半同学，且发挥稳定，就可以加入代表团．
①甲乙两位同学5次日常训练的用时如表，请你判断，两位同学更有可能加入代表团的是______(填“甲”或“乙”)；
②丙同学前4次训练的用时为270，255，249，240，他也想加入代表团，若从日常训练平均用时的角度考虑，则第5次训练的用时t的要求为：______．
25.(本小题6分)
我们已经历了“一次函数”的学习过程，请你根据已有的经验和方法结合假期的预习尝试完成下列问题：已知：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足如表：
(1)可求得m的值为______；
(2)求出这个二次函数的解析式；
(3)画出函数图象；
(4)当−126.(本小题6分)
在正方形ABCD中，P是射线CB上的一个动点，过点C作CE⊥AP于点E，射线CE交直线AB于点F，连接BE．
(1)如图1，当点P在线段CB上时(不与端点B，C重合)．
①求证：∠BCF=∠BAP；
②求证：EA=EC+ 2EB；
(2)如图2，当点P在线段CB的延长线上时(BP27.(本小题7分)
已知点M和图形W，Q为图形W上一点，若存在点P，使得点M为线段PQ的中点(P,Q不重合)，则称点P为图形W关于点M的倍点．
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(−1,1)，B(−1,−1)，C(1,−1)，D(1,1)．
(1)若点M的坐标为(2,0)，则在P1(3,0)，P2(4,2)，P3(5,1)中，是正方形ABCD关于点M的倍点的是______；
(2)点N的坐标为(2,t)，若在直线y=x上存在正方形ABCD关于点N的倍点，直接写出t的取值范围；
(3)点G为正方形ABCD边上一动点，直线y=x+b与x轴交于点E，与y轴交于点F，若线段EF上的所有点均可成为正方形ABCD关于点G的倍点，直接写出b的取值范围．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.A
5.B
6.B
7.D
8.C
9.x≥3
10.2
11.y=x−1(答案不唯一)
12.8
13.5
14. 3
15.④
16.b1+b2=6
17.解：(1)原式=2 3− 22+ 2− 3
= 3+ 22．
(2)原式=[(2 5)2−42]÷ 8
=4× 24
= 2．
(3)(x−5)2=9，
x−5=±3，
所以x1=8，x2=2．
(4)x2−4x−1=0，
x2−4x=1，
x2−4x+4=1+4，
(x−2)2=5，
则x−2=± 5，
所以x1=2+ 5,x2=2− 5．
18.解：
(1)连接BG，
由作图知，EF是线段AB的垂直平分线，
∴AG=BG，
∵AB=AG，
∴AB=AG=BG，
∴△ABG是等边三角形，
∴∠BAG=60°；
故答案为：60°；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵EF⊥AB，
∴GH//AD，
∵GH=AD，
∴四边形AGHD是平行四边形，
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(3)设EF与AB交于M，
∵S2=AD⋅AB，S1=HG⋅AM=AD⋅12AB=12AD⋅AB，
∴S2=2S1，
故答案为：S2=2S1．
19.解：(1)设一次函数解析式为y=kx+b，
把(0,2)和(4,−2)分别代入得b=24k+b=−2，
解得k=−1b=2，
所以一次函数解析式为y=−x+2；
(2)如图，
(3)x>2．
20.(1)解：∵题中没有指明A、B、E三点共线，C、D、F三点共线，
∴由AB+BE=DC+CF，不能得到AE=DF；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵四边形BEFC也是平行四边形，
∴BC=EF，BC//EF，
∴AD=EF，AD//EF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
21.(1)证明：∵a=1，b=−m，c=2m−4，
∴△=b2−4ac
=(−m)2−4(2m−4)
=m2−8m+16
=(m−4)2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
(2)解：∵△=(m−4)2≥0，
∴x=−b± b2−4ac2a=m±|m−4|2．
∴x1=m−2，x2=2．
∵此方程有一个根小于1．
∴m−2<1．
∴m<3．
22.解：(1)当x=2时，y=6−2=4，
∴A(2,4)，
∵函数y=kx经过A，
∴2k=4，
∴k=2；
(2)设A(a,6−a)，
由图象得：kx<6−x的解集为x∴2∴当A(2,4)时，k=2，
当A(3,3)时，k=1，
∴k的取值范围为：1≤k<2．
23.(1)证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD，
∵AB=BC，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO，
∵DE⊥BC，
∴OE=12BD=2 5，
∴BD=4 5，
∴BE= BD2−DE2= (4 5)2−42=8，
设CE=x，则BC=BE−CE=8−x，
∴CD=BC=8−x，
在Rt△CDE中，CD2=CE2+DE2，
∴(8−x)2=x2+42，
解得：x=3，
∴CE的长为3．
24.(1)m=248+2462=247，n=246．
(2)①乙．
②设丙同学第5次训练的用时为t．
根据题意，得270+255+249+240+t5<248，即1014+t5<248，解得t<226．
25.(1)3．
(2)由题意，设抛物线解析式为y=a(x−1)(x−3)，
把(0,3)代入得3=a×(0−1)×(0−3)，
解得a=1，
∴y=(x−1)(x−3)．
∴抛物线解析式为y=x2−4x+3．
(3)由(2)的关系式y=x2−4x+3，可以作图如下，
(4)−1≤y<8．
26.(1)证明：①∵AP⊥CE，
∴∠CEP=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠CEP，
∵∠CPE=∠APB，
∴∠BCF=∠BAP；
②如图1，过点B作BM⊥BE于B，

∴∠EBM=∠ABP=90°，
∴∠ABM=∠CBE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
由(1)知：∠BAM=∠BCE，
∴△ABM≌△CBE(ASA)，
∴BM=BE，AM=CE，
∵∠EBM=90°，BE=BM，
∴EM= 2BE，
∵AE=AM+EM，
∴AE=EC+ 2BE；
(2)解：线段EA，EC，EB之间的数量关系为：CE=AE+ 2BE，理由如下：
如图2，过点B作BM⊥BE于B，

∴∠EBM=∠ABP=90°，
∴∠ABE=∠CBM，
∴AB=BC，
由(1)同理得：∠BAE=∠BCM，
∴△ABE≌△CBM(ASA)，
∴BM=BE，AE=CM，
∵CE=CM+EM，
∴CE=AE+ 2BE；
27.解：(1)设Q(x,y)是正方形ABCD上一点，则有，
x+32=2y+02=0，解得：x=1y=0，
∵(1,0)在正方形ABCD上，
∴P1是正方形ABCD关于点M的倍点；
同理可得：P2不满足条件，P3满足条件，
∴正方形ABCD关于点M的倍点为P1，P3，
故答案为：P1，P3；
(2)设直线y=x上存在的点的坐标为(a,b)，正方形上的点的坐标为(x,y)，
则x+a2=2b+y2=t，解得：a=4−xb=2t−y，
∵点(a,b)在直线y=x上，则a=b，
∴y−x=2t−4，
∵−2≤y−x≤2，即−2≤2t−4≤2，
解得：1≤t≤3；
(3)−3≤b≤−2或2≤b≤3．
平均数
中位数
众数
243
m
n
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲同学日常训练用时
246
255
227
266
236
乙同学日常训练用时
246
255
239
240
250
x
⋯
0
1
2
3
4
5
⋯
y
⋯
3
0
−1
0
m
8
⋯