2024-2025学年河南省许昌高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省许昌高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z满足(2+3i)z=i2024+8i2025，则复数z−在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，若正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的球心是O1，三棱锥F−BCE的外接球的球心是O2，则O1O2的最大值是( )
A. 2B. 22C. 24D. 3 24
3.若α+β=3π4,tanα=2，则sin(α−β)cs(α−β)−sinαsinβ=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
4.底面圆周长为2π，母线长为4的圆锥内切球的体积为( )
A. 15π5B. 13π25C. 4 15π25D. 15π25
5.已知函数f(x)=acsωx(a≠0,ω>0)，若将函数y=f(x)的图象向左平移π6ω个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，若关于x的方程g(x)=0在[0,7π12]上有且仅有两个不相等的实根，则实数ω的取值范围是( )
A. [107,247)B. [167,4)C. [107,4)D. [167,247)
6.已知圆锥A1O在正方体ABCD−A1B1C1D1内，AB=2，且A1C垂直于圆锥A1O的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为( )
A. 3π
B. 2π
C. 3π2
D. 2 3π3
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanB=− 3，b= 3ac，则(a+c)2ac=( )
A. 6B. 4C. 3D. 2
8.三棱锥A−BCD满足BC+AC=BD+AD=4，二面角C−AB−D的大小为60°，CD⊥AB，AB=2 2，CD=1，则三棱锥A−BCD外接球的体积为( )
A. 7πB. 283πC. 28 21π27D. 28 7π3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=tan(ωx−π6) (ω>0)，则下列说法正确的是( )
A. 若f(x)的最小正周期是2π，则ω=12
B. 当ω=1时，f(x)的对称中心的坐标为(kπ+π6 , 0)(k∈Z)
C. 当ω=2时，f(−π12)0，且a≠1)是“同域函数”，求a的值．
16.(本小题15分)
如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2 2的菱形，AA1=2，∠BAD=π3，E，F分别为AB，AA1的中点．
(1)证明：B1E⊥平面DEF；
(2)求四棱柱ABCD−A1B1C1D1被平面CEF截得的截面周长；
(3)求直线DD1与平面CEF所成角的正切值．
17.(本小题14分)
已知f(x)=sin(x+π3)csx+12sin(2x+π3)− 34．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若g(x)=f(12x−π6)+f(x−π6)−csx，x∈[−π4,3π4]，求满足不等式g(x)≥1的x的取值范围．
18.(本小题18分)
《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，BC=1，AB= 3，CC1=2，P为棱AC的中点，Q为棱A1C1的中点．
(1)证明：平面PBC1//平面AB1Q；
(2)求二面角Q−AB1−A1的正切值；
(3)求CC1与平面PBC1所成角的正弦值．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.C
5.B
6.C
7.B
8.C
9.AD
10.BCD
11.ACD
12.4π3
13.(−1,3)
14.34
15.解：(1)函数y=x2−2x与y=2x−1不是“同域函数“，理由如下：
函数y=x2−2x的定义域为R，y=2x−1的定义域也为R，定义域相同；
由y=x2−2x=(x−1)2−1⩾−1，可知y=x2−2x的值域为[−1,+∞)，
由y=2x−1>−1，可知y=2x−1的值域为(−1,+∞)，
则两函数的值域不相同；
所以函数y=x2−2x与y=2x−1不是“同域函数“．
(2)由x∈(−1,3)，得|x|∈[0,3),π4|x|−π4∈[−π4,π2),
因为函数y=tanx在[−π4,π2)上单调递增，所以f(x)=tan(π4|x|−π4)∈[−1,+∞)，得g(x)的值域为[−1,+∞)．
由题意得−x2+mx+n>0的解集为(−1,3)，则−1，3是关于x的方程−x2+mx+n=0的两个解，
得−1+3=m,−1×3=−n,
解得m=2,n=3,所以g(x)=lga(−x2+2x+3)(a>0，且a≠1)．
易得01时，函数y=lgax是增函数，则g(x)=lga(−x2+2x+3)的值域为(−∞,lga4]，不符合题意．
当0