2024年浙江省宁波市效实中学强基招生数学试卷（含答案）

这是一份2024年浙江省宁波市效实中学强基招生数学试卷（含答案），共5页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知x0是关于x的方程x2−ax−1=0的根.当a=−32时，x0= ______，x03−1x03= ______．
2.已知实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则ab+bc+ca的最小值为______，此时a2+b2+ab= ______．
3.对实数m，n，定义运算“⊗”为：m⊗n=mn+n.已知关于x的方程x⊗(a⊗x)=−14，若该方程有两个相等的实数根，则实数a的值是______；若该方程有两个不等负根，则实数a的取值范围是______．
4.如图，AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，∠DPB=60°，D是BC的中点，则ACAB= ______．
5.记Axy=(1−x2)(1−y2)xy.若a+b+c=abc，则A=Aab+Abc+Aca= ______．
6.若一条直线过△ABC的内心，且平分△ABC的周长，则该直线分△ABC所成的两个图形的面积之比为______．
7.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙.在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有______人.
8.如果直角三角形的三边都是200以内的正整数，且较长的两边长相差1，那么这样的直角三角形有______个.
9.用S(n)表示自然数n的数字和，例如：S(10)=1+0=1，S(909)=9+0+9=18.若对任意自然数n，都有n+S(n)≠x，则满足这个条件的最大的两位整数x的值是______．
10.把一副扑克牌从上到下按照大王、小王、黑桃A、红桃A、方块A、梅花A、黑桃2、红桃2、方块2、梅花2，…、黑桃K、红桃K、方块K、梅花K的顺序依次叠成一叠，然后执行步骤①：把整叠牌最上面一张丢掉，再执行步骤②：把整叠牌最上面一张移到整叠牌的最下面，再执行步骤①，再执行步骤②，……，步骤①和步骤②依次执行直至整叠牌只剩下一张，则最后剩下的这张牌是______．
11.若实数a，b满足a+b=2 a−b，则a的取值范围为______．
12.已知f(x)=ax2−1(x∈R)，若关于x的方程f(x)=x与f(f(x))=x都有解，且两个方程的解完全相同，则实数a的取值范围是______．
二、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题15分)
已知函数f(x)=−2x2+bx+c在x=1时有最大值1．
(1)求实数b，c的值；
(2)设014.(本小题15分)
如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，K为AD上一点，连结BK并延长交AC于E，连结CK并延长交AB于F.求证：∠ADE=∠ADF．
15.(本小题15分)
设a>b>c>0，已知关于a的方程x2−(a+b+c)x+ab+bc+ca=0．
(1)若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；
(2)若方程有实根x0，求证：b+c(3)当方程的两个实根分别为6，9时，求正整数a，b，c的值．
16.(本小题15分)
如果有理数m可以表示成2x2−6xy+5y2(其中x、y是任意有理数)的形式，我们就称m为“世博数”．
(1)两个“世博数”a、b之积也是“世博数”吗？为什么？
(2)证明：两个“世博数”a、b(b≠0)之商也是“世博数”．
参考答案
1.−2或−12 −638
2.−12 12
3.0 a>0
4.12
5.4
6.1：1
7.100
8.9
9.97
10.红桃J
11.[0,+∞)
12.−14≤a≤34
13.解：(1)x=1时函数有最大值，
∴x=−b2×(−2)=1，
∴b=4，
又x=1时有最大值1，代入得−2+4+c=1，
∴c=−1，
故b=4，c=−1．
(2)f(x)=−2x2+4x−1=−2(x−1)2+1，
∴f(x)≤1，
又0∴1m≤1，
∴m≥1．
∵m≤x≤n，
∴f(m)=−2(m−1)2+1=1m，
f(n)=−2(n−1)2+1=1n，
∴m、n是关于x的方程−2(x−1)2+1=1x的两个根，
∴(x−1)(2x2−2x−1)=0，
∴x=1或1+ 32或1− 32，
∵1≤m∴m=1，n=1+ 32．
14.证明：如图，过A作BC的平行线GH，分别交CF、DF、DE、BE的延长线于点G、M、N、H，

∵GH//BC，
∴AMBD=AFFB=AGBC，
∴AM=BD⋅AGBC，
∵ANCD=AEEC=AHBC，
∴AN=CD⋅AHBC，
∴AMAN=BD⋅AGCD⋅AH，
∵AHBD=KAKD=AGCD，
∴BD⋅AG=CD⋅AH，
∴AMAN=1，
∴AM=AN，
∵AD⊥BC，点M、N在直线GH上，
∴MN//BC，
∴AD⊥AM，
∴∠MAD=∠NAD=90°，又AD=AD，
∴△ADM≌△ADN(SAS)，
∴∠ADN=∠ADM，即∠ADE=∠ADF．
15.解：(1)由方程有实根得，Δ=(a+b+c)2−4(ab+bc+ca)≥0即0≤a2+b2+c2−2ab−2bc−2ca=a(a−b−c)−b(a+c−b)−c(a+b−c)由a>0，得a−b−c>0，即a>b+c.所以，a，b，c不能成为一个三角形的三边．(2)设f(x)=x2−(a+b+c)x+ab+bc+ca，则f(b+c)=bc>0，f(a)=bc>0，且f(a+b+c2)<0由(1)知b+cx0>b+c.(3)由根与系数关系有a+b+c=15，ab+bc+ca=54，得a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)=225−108=117<112．
由(2)知a>9，故得92∴a=10．
∴b+c=5，bc=4，
由b>c，
解得b=4，c=1，∴a=10，b=4，c=1．
16.解：∵m=2x2−6xy+5y2=(x−2y)2+(x−y)2，其中x、y是有理数，
∴“世博数”m=p2+q2(其中p、q是任意有理数)，只须p=x−2y，q=x−y即可．(3分)
∴对于任意的两个两个“世博数”a、b，不妨设a=j2+k2，b=r2+s2，其中j、k、r、s为任意给定的有理数，(3分)则
(1)ab=(j2+k2)(r2+s2)=(jr+ks)2+(js−kr)2是“世博数”；(3分)
(2)ab=j2+k2r2+s2=(j2+k2)(r2+s2)(r2+s2)2(3分)
=(jr+ks)2+(js−kr)2(r2+s2)2=(jr+ksr2+s2)2+(js−krr2+s2)2也是“世博数”.(3分)