初中数学苏科版（2024）八年级上册1.2 全等三角形课后练习题

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级上册1.2 全等三角形课后练习题，共40页。
【考点1】平移中的全等三角形问题； 【考点2】全等三角形中的动点问题；
【考点3】全等三角形中的最值问题； 【考点4】全等三角形中的折叠问题；
【考点5】全等三角形中的旋转问题.
单选题
【考点1】平移中的全等三角形问题；
1．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，正方形的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段的长得到直线m，直线m分别交，于点E，F，若求的周长，则只需知道（ ）
A．的长B．的长C．的长D．的长
2．如图，已知于点，平分，平移恰好到，连接，则下列结论：①；②；③平分平分；④．其中正确的结论个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
【考点2】全等三角形中的动点问题；
3．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）题目：“如图，直线，平分，过点作交于点，且．动点从点出发，沿射线运动，作，交直线于点．关于和的关系，下列说法正确的是（ ）
A．点只有在线段上运动时，和才相等
B．点只有在线段的延长线上时，和才相等
C．点在运动过程中，和一直相等
D．无法判断
4．（21-22八年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，D为x轴正半轴上一点，A为第一象限内一动点，且，于M．下列说法正确的是（ ）
①；②平分；③；④
A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④
【考点3】全等三角形中的最值问题；
5．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，中，，M、N分别为、上动点，且，连、，当最小时，（ ）．
A．2B．C．D．1
【考点4】全等三角形中的折叠问题；
7．（21-22八年级上·河南平顶山·期末）勾股定理是一个古老的定理，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，数学家曾建议用图1作为与“外星人”联系的信号．如图1，以的各边为边分别向外作正方形，再把最大的正方形纸片按图2的方式向上折叠，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．正方形的面积B．四边形的面积
C．正方形的面积D．的面积
8．（2022·重庆铜梁·模拟预测）如图，在正方形纸片中，点为正方形边上的一点不与点，点重合，将正方形纸片折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，折痕为，连接、，交于点下列结论：①是等腰三角形；②；③平分；④；⑤，其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
【考点5】全等三角形中的旋转问题.
9．（23-24八年级下·海南海口·期中）如图，点P在的平分线上，且与互补，将绕点P旋转，在旋转过程中，有以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于点、，当在内绕点旋转时，下列结论正确的有
①EF=AP； ②△EPF为等腰直角三角形； ③AE=CF； ④S四边形AEPF＝S△ABC
A．1个B．2个C．3个D．4个
填空题
【考点1】平移中的全等三角形问题；
11．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，沿方向平移得到，连接交于F，的面积为3，则的面积为 ．

12．（21-22八年级下·安徽宿州·期末）如图，点，，，在一条直线上，若将的边沿方向平移，平移过程中始终满足下列条件：，于点，于点，且．则当点，不重合时，与的关系是 ．
【考点2】全等三角形中的动点问题；
13．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等．
14．如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动 秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等．
【考点3】全等三角形中的最值问题；
15．（23-24八年级上·陕西商洛·期中）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ．

16．（23-24八年级上·北京西城·期末）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 ，的面积的最大值为 ．

【考点4】全等三角形中的折叠问题；
17．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，将沿折叠，点落在点处，连接，若平分，平分，且，则的度数为 ．

18．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，，将沿过点B的直线折叠，使点C落在点处，折痕是，延长交边于点M，若是的中点，则图中的的度数为 ．

【考点5】全等三角形中的旋转问题.
19．（2018·江苏南通·一模）如图，点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于D，GA=5cm，GC=4cm，GB=3cm，将△ADG绕点D旋转180°得到△BDE，△ABC的面积= cm2．

20．一副三角板如图摆放，点F是 45°角三角板△ABC的斜边的中点，AC＝4．当 30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点 M， N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②CF与MN可能相等吗；③MN 长度的最小值为 2；④四边形CMFN的面积保持不变； ⑤△CMN面积的最大值为 2．其中正确的个数是 .（填写序号）.

解答题
【考点1】平移中的全等三角形问题；
21．（22-23七年级下·山东青岛·期末）已知，在中，，．在内部作，交于点D．将一个含有45°角的三角板如图放置，使直角边与重合，三角板沿平移．
（1）如图1，当三角板的另一条直角边过点A时，试证明；
（2）将三角板沿平移至图2的位置，与交于点M，过点M作，垂足为点N，试判断线段之间的关系．
【考点2】全等三角形中的动点问题；
22．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，为直线上一动点，连接．在直线的右侧作，且．
观察发现：
（1）如图①，当点在线段上时，过点作的垂线，垂足为，判断线段与之间的关系，并说明理由；
探究迁移：
（2）将如图①中的，连接，交直线于点，我们很容易发现．如图②，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点，线段和线段之间的关系有没有变化？此时吗？说说理由．
拓展应用：
（3）如图③，当点在线段的延长线上时，当，时，求和的面积．
【考点3】全等三角形中的最值问题；
23．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知中，，，动点，分别在边和射线上，连接，．
（1）如图1，点在延长线上，且．
①若，求的长；
②判断和的关系，并证明；
（2）如图2，，，点在边上，且，当的值最小时，求的长．
【考点4】全等三角形中的折叠问题；
24．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图①，纸片，．
（1）将沿着折叠，使得与重合，为折痕，展开后如图②所示．试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，连接，过点M作，点E为垂足，如图③所示．
①将沿折叠，点B能与点C重合吗？请说明理由；
②图中与全等的三角形有______个；
（3）将图②中纸片沿剪开得，如图④所示，将另一张纸片与 拼接，边与边恰好重合（点O与点C重合），若，且的面积与的面积相等，试探索与的数量关系，并说明理由．
【考点5】全等三角形中的旋转问题.
25．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在 中， 射线 点P为射线上的动点（点P不与点A重合），连接，将线段绕点B顺时针旋转角度α后， 得到线段， 连接、．
（1）试说明 的理由；
（2）延长交射线于点D，在点P的移动过程中， 的大小是否发生变化？若改变请说明理由，若不改变，请求出 的大小(用含α的代数式表示）；
（3）当时， 过点Q作垂直射线， 垂足为E，那么 (用m、 n的代数式表示） ．
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，掌握平移的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．过作于，连接，，然后利用已知条件可以证明)，)，接着利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：过作于，连接，，
直线向上平移线段的长得到直线，
，
而，，
)，
，
同理)，
，
的周长为：．
求的周长，则只需知道的长．
故选：A．
2．D
【分析】根据平行线的判定和性质、角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、垂直的判定和性质、平角的定义、直角三角形两锐角互余等进行推理即可得解．
【详解】解：∵
∴，故说法①正确；
∵平移恰好到
∴，
∴
∵
∴
∴，故说法②正确；
∵
∴
∵，
∴
∴在四边形中，，故说法④正确；
∴
∵
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴平分
∵
∴
∴平分
同理，平分，故说法③正确．
故选：D
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、垂直的判定和性质、平角的定义、直角三角形两锐角互余等知识点，属于中档题型，体现了逻辑推理的核心素养．
3．C
【分析】此题考查了全等三角形的性质与判定，由，，得到，从而有，分两种情况：点E在线段上运动时，点E在线段的延长线上运动时，分别证明即可，熟练掌握判定与性质是解题的关键．
【详解】解：如图，点在线段上运动时，
∵，，
∴，即，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
点在线段的延长线上时，
∵，，，
∴，即，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
综上可知：点在运动过程中，和一直相等，
故选：．
4．D
【分析】①根据点B和点C的坐标可得，从而可知是的垂直平分线，可得，再利用等腰三角形的三线合一性质证明，易得，最后利用三角形内角和证明；
②要证明平分，想到利用角平分线性质定理的逆定理，所以过D作于F，只要证明即可，易证，根据全等三角形的性质得到；
③要使，就要使，由②得，而，，由①得，所以只要判断与是否相等即可；
④根据全等三角形的性质得到，易证，得到，由于，，于是得到，求得，于是得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故①正确，
过D作于F，如图：
∵，，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
故②正确，
③∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故③不正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故④正确，
故选D．
5．C
【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：连接，，，，
∵正五边形，
∴，，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小，
过点E作于H，交于，
同理可求，
∴，
即当的值最小时，．
故选：C．
6．D
【分析】过B点在下方作，且，链接，，先证明，即有，则，当A、M、H三点共线时，值最小，再证明，问题随之得解．
【详解】如图，过B点在下方作，且，链接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当A、M、H三点共线时，值最小，
如图，
此时∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线，构造全等三角形是解答本题的关键．
7．D
【分析】本题根据全等三角形的判定，可得，故可得
，即，可得答案．
【详解】依题意，在和中，，
在中，，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明及性质，熟练掌握三角形全等的证明方法，是解题的关键．
8．D
【分析】利用翻折的性质，正确；过点作于，设交于，证≌，判断正确；结合折叠判断正确、错误；证≌，判断正确．
【详解】解：根据翻折不变性可知：，
是等腰三角形，故正确；
如图，过点作于设交于．

，
四边形是矩形，
，
由折叠可知：，
，
，
，
，
≌，
，故正确；
，
，
由折叠可知：，
，
，
，
平分，故正确；
≌，
，
与不全等，
，故错误；
如图，过点作于点，

平分，
，
又，，
≌，
，，
，
，
，
≌，
，
，故正确．
综上所述：结论正确的有：，共个．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定；能够利用折叠构造全等三角形，并利用去等的性质是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．作于，于．只要证明，，即可一一判断．
【详解】解：如图作于，于，
，
，
，
，
，
平分，于，于，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，，故①正确，
，
定值，故③正确，
，
为定值，故②正确，
在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形，
的长度是变化的，
的长度是变化的，故④错误，
故选：C．
10．C
【分析】根据题意△PCF可看作△PAE顺时针旋转90°得到，根据旋转的性质，逐一判断正确性．
【详解】①、∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CP＝BP，
∴∠APC＝∠EPF＝90°，
∠APF＝90°−∠APE＝∠BPE，
又AP＝BP，∠FAP＝∠EBP＝45°，
∴△FAP≌△EBP，∴PE＝PF，
不能证明EF＝AP，错误；
②、由①可知△EPF为等腰直角三角形，正确；
③、由△FAP≌△EBP，可知AF＝BE，又AC＝AB，故AE＝CF，正确；
④、∵△FAP≌△EBP，∴S四边形AEPF＝S△FAP＋S△APE＝S△EBP＋S△APE＝S△APB＝S△ABC，正确；
故选C.
【点睛】本题结合等腰直角三角形考查了旋转的基本性质，要学会运用旋转的知识解答几何问题．
11．
【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，由平移的性质可得，，证明，得到，根据三角形中线平分三角形面积可得，则．
【详解】解：由平移的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．BD与EF互相平分
【分析】先根据DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求证△ABF≌△CDE，再求证△DEG≌△BFG，即可．
【详解】∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中， ，
∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），
∴ED=BF．
设EF与BD交于点G，
由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，
∴∠EDG=∠GBF，
∵∠EGD=∠FGB，ED=BF，
∴△DEG≌△BFG，
∴EG=FG，DG=BG，
∴BD与EF互相平分．
【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，此题难度并不大，但是需要证明多次全等，步骤繁琐，是一道综合性较强的中档题．
13．或
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为，动点M的速度为，则，进而得到，再分当时，当时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即可．
【详解】解：设运动的时间为，动点M的速度为，
由题意得，，
∴．
∵，
∴．
当时，则，
∴，
解得，
∴，
解得．
当时，则，
∴，
解得，
∴，
解得．
综上所述，动点M的速度为或，
故答案为：或．
14．0或4或8或12
【分析】本题考查三角形全等的判定方法．此题要分两种情况：①当P在线段上时，②当P在射线上，再分别分两种情况或进行计算即可．
【详解】解：①当P在线段上，时，与全等，
∵，
∴，
∴，
∴点P的运动时间为（秒）；
②当P在线段上，时，与全等，
这时，，因此时间为秒；
③当P在射线上，时，与全等，
∵，
∴，
∴，
∴点P的运动时间为（秒）；
④当P在射线上，时，与全等，
∵，
∴，
∴，
点P的运动时间为（秒），
故答案为：0或4或8或12．
15．/66度
【分析】在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果
【详解】解：在上截取，连接，如图所示：
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小，
∴当点A、P、E在同一直线上，且时，，
，
，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键．
16．
【分析】在中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知，代入数值即可确定的取值范围；延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质易知，确定面积的最大值，即可获得答案．
【详解】解：∵在中，，
∴，
解得；
如下图，延长交于点，

∵为的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
当时，的面积取最大值，
即，
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、解一元一次不等式、角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．
17．/度
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识．连接，先求出，再由平分，平分，可得平分，最后由三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：如图，连接，
平分，平分，，
，，
，
，
，
，
平分，平分，，
平分，
，
沿折叠，
，
，
故答案为：．
18．/度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠性质，全等三角形的性质与判定，先由三角形内角和定理求出，再由折叠的性质可得由折叠的性质可得，，证明，即可得到．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
∵是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
19．18
【分析】三角形的重心是三条中线的交点，根据中线的性质，S△ACD=S△BCD；再利用勾股定理逆定理证明BG⊥CE，从而得出△BCD的高，可求△BCD的面积．
【详解】∵点G是△ABC的重心，
∴
∵GB=3，EG=GC=4，BE=GA=5，
∴，即BG⊥CE，
∵CD为△ABC的中线，
∴
∴
故答案为18.
【点睛】考查三角形重心的性质，中线的性质，旋转的性质，勾股定理逆定理等，综合性比较强，对学生要求较高.
20．①②④⑤
【分析】利用两直角三角形的特殊角、性质及旋转的性质分别判断每一个结论，找到正确的即可．
【详解】解：①连接CF，
∵F为AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴AF=BF=CF，CF⊥AB，
∴∠AFM+∠CFM=90°．
∵∠DFE=90°，∠CFM+∠CFN=90°，
∴∠AFM=∠CFN．
同理，∵∠A+∠MCF=90°，∠MCF+∠FCN=90°，
∴∠A=∠FCN，
在△AMF与△CNF中，

∴△AMF≌△CNF（ASA），
∴MF=NF．
故①正确；
∴②∵F是AB中点，△ABC是等腰直角三角形，
,
当M，N分别是AC，BC中点时，,
CF=MN，故正确；
③连接MN，当M为AC的中点时，CM=CN，根据边长为4知CM=CN=2，此时MN最小，最小值为，故③错误；
④当M、N分别为AC、BC中点时，四边形CMFN是正方形．
∵△AMF≌△CNF，
∴S△AMF=S△CNF
∴S四边形CDFE=S△AFC．
故④正确；
⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此当FM最小时，FN也最小；
即当DF⊥AC时，FM最小，此时，
，
当△CMN面积最大时，此时△FMN的面积最小．
此时S△CMN=S四边形CMFN-S△FMN=S△AFC-S△FMN=4-2=2，
故⑤正确．
【点睛】此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．
21．(1)见解析
(2)
【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
(2)过A作于P，于Q，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据平行线的性质得到，得到，由(1)知，，等量代换得到，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）.
理由：过A作于P，于Q，

则四边形是矩形
，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由(1)知，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了作图一平移变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
22．（1）且；理由见解析；（2） 它们的关系没有变化，此时；理由见解析；（3），
【分析】本题是全等综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是本题的关键．
（1）先证明，根据全等三角形的性质可得，从而得出结论；
（2）先证明，再证明，可证结论；
（3）由（2）可得，和仍然成立，可得，，再得，可得结论．
【详解】（1） 且
在与中
,
,
（2） 它们的关系没有变化，此时，
，
，
，
在与中
,,
在与中
（3） 由（2）可得，和仍然成立
23．(1)①8；②且，证明见详解
(2)3
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
（1）①利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后由，即可获得答案；②延长，交与，由全等三角形的性质可得，结合，，易得，即可证明；
（2）首先证明，由全等三角形的性质可得，易得，故当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，再证明，由全等三角形的性质可得，故，即可获得答案．
【详解】（1）解：①∵，动点，分别在边和射线上，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
②且，证明如下：
如下图，延长，交与，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
如下图，
当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
24．(1)，理由见解析
(2)①点B与点C重合，理由见解析；②3
(3)或，理由见解析
【分析】（1）根据折叠的性质可得，再根据得出，即可得出结论；
（2）①通过证明，得出，，进而推出，即可得出结论；②根据折叠的性质和①的证明过程，即可得出结论；
（3）根据题意进行分类讨论：①当为锐角三角形时，②当为钝角三角形时．
【详解】（1）解：∵与重合，为折痕，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
由（1）可得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵与重合，为折痕，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴将沿折叠，点B能与点C重合；
②∵与重合，为折痕，
∴，
由①可得，，
∴，，
综上：图中与全等的三角形有3个，
故答案为：3．
（3）解：①当为锐角三角形时，
过点B作于点G，过点Q作于点H，
∵，
∴，
∵与边恰好重合，即，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即；

②当为钝角三角形时，
过点B作于点S，过点作于点T，
∵，
∴，
∵与边恰好重合，即，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即．

【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质．全等三角形的判定方法有：．
25．(1)理由见解析
(2)不改变，
(3)
【分析】（1）先证明，再根据两条边相等，即可证得两个三角形全等；
（2）先证明，得到，，再计算出的值，再证明，最后根据三角形外角定理即可求得的大小；
（3）证明是的角平分线，根据角平分线定理得到，，再根据，，即可得到和，根据三角形面积公式进行计算即可．
【详解】（1）证明：根据旋转的性质得到，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如下图所示，连接，
∵，
∴,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴大小不改变，且；
（3）解：如下图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判断和性质、三角形外角定理、直角三角形的性质和角平分线定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定条件．