八年级上册1.3 探索三角形全等的条件导学案及答案

这是一份八年级上册1.3 探索三角形全等的条件导学案及答案，共27页。学案主要包含了知识点归纳，知识点一，知识点二，知识点三，题型展示与方法点拨，操作探索，应用拓展，中考链接与拓展延伸等内容，欢迎下载使用。
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】三角形全等的判定方法——边边边（SSS）
（1）基本事实：三条边分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
（2）书写格式：
如图，在△ABC和△中，

（3）书写强调：在书写两个三角形全等时的条件“边角边”时，要按照边角边的顺序来书写，即要把夹角写在中间，以突出两边及其夹角分别相等；在列举三角形全等时，一般把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧，并用大括号将其括起来
【知识点二】三角形全等的判定方法——边角边（SAS）
（1）基本事实：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
（2）书写格式：
如图，在△ABC和△中，


（3）重点强调：有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【知识点三】找等角和等边常用途径
（1）找等角的常用途径：①公共角相等；②对顶角相等；③等角加（减）等角，其和（差）相等；④同（等）角的余（补）角相等；⑤平行线的性质得到相相等等.
（2）找等角的常用途径：①公共边相等；②对顶角相等；③等边加（减）等边，其和（差）相等；④由中线得到的线段相等等等.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用SSS证明三角形全等
【例1】（23-24八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：．
【变式1】如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（ ）
A．30°B．60°C．70°D．80°
【变式2】已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形．
【题型2】用SSS证明三角形全等与三角形全等性质综合求值
【例2】（21-22七年级下·宁夏中卫·期末）如图所示，，，，是上两点，且．
（1）试说明；
（2）请你判断与的位置关系，并说明理由．
【变式1】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在的上方有一点，连接，，，，，则的度数为 ．
【题型3】用SAS证明三角形全等
【例3】如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连．
（1）求证：；
（2）若，连接，平分，平分，求的度数．
【变式1】（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（ ）

A．6B．5C．4D．3
【变式2】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到．
【题型4】用SAS证明三角形全等与三角形性质综合
【例4】（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：平分，为中点，，求证：．
证明：延长至点，使，连接，
为中点，
（______）
在和中
，
（______）
______，
，
（______）
，
平分
（______）
（______）
，
．
【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，把两个角的直角三角板放在一起，点B在上，A、C、D三点在一条直线上，连接延长线交于点F．若，则的面积为（ ）
A．16B．12.8C．6.4D．5.6
【变式2】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）和的位置如图所示，交于点F，，，，，则的度数为 °．

【题型5】通过用SSS和SAS证明三角形全等进行求值
【例5】（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）综合与探究
【操作探索】
在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程．小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操作：
如图1，已知四边形，，．
（1）操作一：沿所在的直线对折，如图1．你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说明理由；
（2）操作二：对折后，将风筝纸片剪成两个三角形（和），摆成如图2所示的图形，与相交于点，与相交于点．试说明．
【应用拓展】
（3）如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上，，，若的面积为24，求与的面积之和．

【变式1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在四边形中，，，若连接、相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【变式2】（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，．
求证：．

【例2】（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，，
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知E、C是线段上两点，满足，A，D为线段上方两点，连接，满足．
（1）求证：；
（2）若五边形的面积为10，的面积为4，请直接写出四边形的面积：________．
【例2】（23-24八年级上·四川广元·期末） 如图①，连接和的顶点A、B和C、D交于点P，和交于点E，其中，，．
（1）求证：；
（2）在（1）的条件下， 如图②，若A，O，D三点在同一条直线上，求证：
专题1.3 探索三角形全等的条件（SSS与SAS）
（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】三角形全等的判定方法——边边边（SSS）
（1）基本事实：三条边分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
（2）书写格式：
如图，在△ABC和△中，

（3）书写强调：在书写两个三角形全等时的条件“边角边”时，要按照边角边的顺序来书写，即要把夹角写在中间，以突出两边及其夹角分别相等；在列举三角形全等时，一般把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧，并用大括号将其括起来
【知识点二】三角形全等的判定方法——边角边（SAS）
（1）基本事实：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
（2）书写格式：
如图，在△ABC和△中，


（3）重点强调：有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【知识点三】找等角和等边常用途径
（1）找等角的常用途径：①公共角相等；②对顶角相等；③等角加（减）等角，其和（差）相等；④同（等）角的余（补）角相等；⑤平行线的性质得到相相等等.
（2）找等角的常用途径：①公共边相等；②对顶角相等；③等边加（减）等边，其和（差）相等；④由中线得到的线段相等等等.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用SSS证明三角形全等
【例1】（23-24八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的五种判定方法是解题关键．利用“”证明即可．
证明：，
，
.
在和中，
，
．
【变式1】如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（ ）
A．30°B．60°C．70°D．80°
【答案】C
【分析】由SSS证明△AED≌△CFB，得到∠BCF＝∠DAE，利用三角形的外角的性质得∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝70°．
解：∵BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
∴BF=DE
又∵AD＝BC，AE＝CF．
∴△AED≌△CFB（SSS），
∴∠BCF＝∠DAE，
∵∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝100°-30°=70°
∴∠BCF＝70°．
故选C．
【点拨】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和等知识．
【变式2】已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形．
【答案】3
【分析】由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3对．找寻时要由易到难，逐个验证．
解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
∴△ADB≌△ACB；
∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，
∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB
∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO．
∴图中共有3对全等三角形．
故答案为3．
【题型2】用SSS证明三角形全等与三角形全等性质综合求值
【例2】（21-22七年级下·宁夏中卫·期末）如图所示，，，，是上两点，且．
（1）试说明；
（2）请你判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）先证明，然后结合已知条件即可证明；
（2）根据，得出，根据内错角相等，两直线平行即可得证．
（1）证明：∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴；
（2）证明：，理由如下，
∵，
∴，
∴．
【变式1】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质：根据题意可得，再证明，可得，进而即可求解
解：∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在的上方有一点，连接，，，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意直接证明，即可得出，即可求解．
解：在中，
，
∴，
又，
∴，
故答案为：．
【题型3】用SAS证明三角形全等
【例3】如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连．
（1）求证：；
（2）若，连接，平分，平分，求的度数．
【答案】(1)见解析； (2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
（1）证出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可．
（1）证明：∵E为中点，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【变式1】（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（ ）

A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解.
在上截取连接,

，
，
∵点是平分线上的一点，
，
在和中,
，
，
，
，
解得
故选A.
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
【变式2】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到．
【答案】
【分析】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，根据两直线平行内错角相等推出，结合已知条件，若根据“”得到，则应添加的条件为．
解：∵，
∴，
若，则
在和中
∴，
故答案为：．
【题型4】用SAS证明三角形全等与三角形性质综合
【例4】（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：平分，为中点，，求证：．
证明：延长至点，使，连接，
为中点，
（______）
在和中
，
（______）
______，
，
（______）
，
平分
（______）
（______）
，
．
【答案】线段中点的定义，，，两直线平行，同位角相等，角平分线的定义，等量代换
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，延长至点，使，连接，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
证明：延长至点，使，连接，
为中点，
（线段中点的定义），
在和中，
，
，
，
，
（两直线平行，同位角相等），
，
平分
（角平分线的定义），
（等量代换），
，
．
故答案为：线段中点的定义，，，两直线平行，同位角相等，角平分线的定义，等量代换．
【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，把两个角的直角三角板放在一起，点B在上，A、C、D三点在一条直线上，连接延长线交于点F．若，则的面积为（ ）
A．16B．12.8C．6.4D．5.6
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先通过和都是等腰直角三角形，得出再证明，结合面积公式代入数值，进行计算，即可作答．
解：∵和都是等腰直角三角形，，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
故选：B．
【变式2】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）和的位置如图所示，交于点F，，，，，则的度数为 °．

【答案】30
【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质．由三角形内角和定理可得，由可证，可得，由三角形的外角性质可求．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：30．
【题型5】通过用SSS和SAS证明三角形全等进行求值
【例5】（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）综合与探究
【操作探索】
在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程．小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操作：
如图1，已知四边形，，．
（1）操作一：沿所在的直线对折，如图1．你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说明理由；
（2）操作二：对折后，将风筝纸片剪成两个三角形（和），摆成如图2所示的图形，与相交于点，与相交于点．试说明．
【应用拓展】
（3）如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上，，，若的面积为24，求与的面积之和．

【答案】（1）能完全重合，理由见解析；（2）证明见解析；（3）6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）通过三边分别相等得出，即可作答．
（2）同理得出，得出，，再结合，证明，即可作答．
（3）因为以及角的运算得出，再证明，则，因为，得出，即可作答．
解：（1）能完全重合．理由：在与中，
，
∴，
∴对折后能完全重合．
（2）同理得出，
∴，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（3）∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
【变式1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在四边形中，，，若连接、相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，首先证明，根据全等三角形的性质可得，，再证明，．解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
解：在和中
，
，
，，
在和中
，
，
在和中
，
，
综上，图中全等三角形共有3对，
故选：C．
【变式2】（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，连接，证明，可得，再证明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
解：连接，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．

第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，．
求证：．

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题．
证明：，
，即，
在和中，
，
．
【例2】（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，，
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键.
（1）先证明，再结合已知条件可得结论；
（2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论.
（1）证明：∵
∴，即
∵，
∴
（2）∵，，
∴，
∵，
∴
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知E、C是线段上两点，满足，A，D为线段上方两点，连接，满足．
（1）求证：；
（2）若五边形的面积为10，的面积为4，请直接写出四边形的面积：________．
【答案】(1)证明见解析； (2)3
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质．
（1）利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，利用五边形ABFDG的面积，求出，再根据四边形的面积求解即可．
（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵五边形的面积，
∴，
∴四边形的面积，
故答案为：3．
【例2】（23-24八年级上·四川广元·期末） 如图①，连接和的顶点A、B和C、D交于点P，和交于点E，其中，，．
（1）求证：；
（2）在（1）的条件下， 如图②，若A，O，D三点在同一条直线上，求证：
【分析】本题考查了全等三角形判定和性质等知识．
（1）由“”可证，可得；
（2）由得，，从而得出，，根据和进一步得出结论．
（1）证明：在和中，
，
，
∴；
（2）证明：由（1）知：，
，，
，，
，，
，
，
∴．