初中数学苏科版（2024）八年级上册第二章 轴对称图形2.5 等腰三角形的轴对称性学案及答案

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级上册第二章 轴对称图形2.5 等腰三角形的轴对称性学案及答案，共31页。学案主要包含了知识点归纳，知识点一，要点提示，知识点二，知识点三，题型展示与方法点拨，中考链接与拓展延伸，基础巩固等内容，欢迎下载使用。
【知识点一】等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

【要点提示】等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
【知识点二】等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
【知识点三】等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
【要点提示】等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】等腰三角形的定义
【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知等腰三角形的两边，，满足，求此等腰三角形的周长．
【变式1】（22-23八年级上·河南商丘·开学考试）若一等腰三角形周长为16，则该等腰三角形的腰长x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是，则它顶角的度数为 ．
【题型2】“等边对等角”进行求值与证明
【例2】（22-23七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知，与交于点F，求证：平分．
【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，D、E分别是，边上的点，连接、相交于点F，若，，下列等量关系不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，为等腰直角三角形，，点在延长线上，连接，以为边作等腰直角，连接交于点，则 ．

【题型3】“三线合一”进行求值与证明
【例3】（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，已知平分，，，垂足分别为，．求证：

(1)平分：（2）是的垂直平分线．
证明：（1）平分
①
∵
∠OAP=∠OBP=90°（② ）
在和中
（④ ）
（⑤ ）
平分
(2)平分
⑥

⑦ ⑧ （三线合一）
是的垂直平分线
【变式1】（2024·甘肃陇南·三模）如图，在中， ，点在上，且，点和点分别是和的中点，则的长是（ ）

A．3B．4C．5D．6
【变式2】（23-24七年级下·山东枣庄·期末）是等边三角形，点是边的中点，点在边上，且，连接，则 ．
【题型4】“等角对等边”进行求值与证明
【例4】（21-22八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，垂足分别为E、F，再过点D作，交于点G，且．

求证：（1)； (2)．
【变式1】在中，平分，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，中，、分别平分和，过点平行于的直线分别交、于点、，已知，，的周长为 ．
【题型5】利用等腰三角形的性质与判定进行证明与求值
【例5】（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图，在中，，，点D为边上一动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作，射线交边于点E．
（1）求证：；
（2）试探究当的长为多少时，？请给出你的结论，并说明理由；
（3）过点A在右侧作，交射线于点F，连接．当为等腰三角形时，求的度数．
【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，中，，，为的中点，，分别在，上，且，若，，则（ ）

A．B．C．D．
【变式2】（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，，点P是内的一定点，点M、N分别在、上移动，当的周长最小时， ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，．
（1）求证：是等腰三角形； (2）连接，则与l的位置关系是________．
【例2】（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，则的度数为 ；

2、拓展延伸
【例1】（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，，．将一个含角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示．

（1）求证：；
（2）连接，，如图所示，求证：；
（3）延长交于点P，交于点Q．猜想并证明和的位置关系．
【例2】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）
【基础巩固】（1）如图 1，在 与 中， ，求证： ；
【尝试应用】（2）如图 2，在 与 中， 三 点在一条直线上， 与 交于点 ，若点 为 中点，
① 求 的大小； ，求 的面积；
【拓展提高】（3）如图 3， 与 中， 与 交于点 的面积为 32，求的长．
专题2.6 等腰三角形的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

【要点提示】等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
【知识点二】等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
【知识点三】等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
【要点提示】等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】等腰三角形的定义
【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知等腰三角形的两边，，满足，求此等腰三角形的周长．
【答案】11或13
【分析】本题考查的是偶次方的非负性、解二元一次方程组，等腰三角形的性质以及三角形三边之间的关系．根据偶次方和绝对值的非负性，建立关于a、b的二元一次方程，即可分别求出a、b，再根据三角形三边关系、等腰三角形的概念计算即可求得．
解：，
，
，
当这个等腰三角形的腰长为3时，则这个等腰三角形的三边长分别为3、3、5，
，
能构成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为：；
当这个等腰三角形的腰长为5时，则这个等腰三角形的三边长分别为3、5、5，
，
能构成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为：；
综上，这个等腰三角形的周长为：11或13．
【变式1】（22-23八年级上·河南商丘·开学考试）若一等腰三角形周长为16，则该等腰三角形的腰长x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，利用三角形的三边关系得到关于的不等式组是解题的关键．
由等腰三角形的周长是16，腰长为，可得底边长为：，然后由三角形三边关系可得，由底边大于0可得，继而求得答案．
解：等腰三角形的周长是16，腰长为，
底边长为：，
，
解得：．
故选：D．
【变式2】（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是，则它顶角的度数为 ．
【答案】30°或
【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的内角和，设等腰三角形两个内角度数分别为，根据三角形的内角和分两种情况列方程求解即可，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键
解：设等腰三角形两个内角度数分别为，
当顶角度数为时，可得，
解得，
∴顶角的度数为30°；
当顶角度数为时，可得，
解得
∴顶角度数为
故答案为30°或
【题型2】“等边对等角”进行求值与证明
【例2】（22-23七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知，与交于点F，求证：平分．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．根据，可得，可证明，从而得到，再由等腰三角形的性质，可得，即可求证．
解：证明：∵，
∴，
即，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即平分．
【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，D、E分别是，边上的点，连接、相交于点F，若，，下列等量关系不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边对等角和等角对等边性质，解题的关键是掌握以上知识点．
根据题意证明出，得到，，然后利用等边对等角和等角对等边性质求解即可．
解：∵，，
∴
∴，故A正确；
∴
∵
∴
∴
∴
∴，故D正确；
∵
∴
∴，故B正确；
由题意无法证明出．
∴不一定成立．
故选：C．
【变式2】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，为等腰直角三角形，，点在延长线上，连接，以为边作等腰直角，连接交于点，则 ．

【答案】
【分析】过点E作的垂线，交延长线于点H，过点C作交于点G，证明，得到，进而证明，得到，再证明，得到，进而推出，即点F是中点，即，由，得到，从而得出，即点A是中点，推出，即可求出．
解：过点E作的垂线，交延长线于点H，过点C作交于点G，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即点F是中点，即，
，，
，
，即点A是中点，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查三角形全等的综合问题，等腰三角形的性质，平行线性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键．
【题型3】“三线合一”进行求值与证明
【例3】（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，已知平分，，，垂足分别为，．求证：

(1)平分：（2）是的垂直平分线．
证明：（1）平分
①
∵
∠OAP=∠OBP=90°（② ）
在和中
（④ ）
（⑤ ）
平分
(2)平分
⑥

⑦ ⑧ （三线合一）
是的垂直平分线
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定以及性质．等腰三角形三线合一的性质．
（1）由角平分线的定义得出，由垂线的定义得出∠OAP=∠OBP=90°，再证明，由全等三角形的性质可得出，即可得出平分．
（2）由角平分线的性质定理可得出，由（1）知，由等腰三角形三线合一的性质可得出答案．
解：（1）证明：（1）平分
①，
∵
∠OAP=∠OBP=90°（②垂线的定义）
在和中
（④）
（⑤全等三角形对应角相等）
平分
（2）平分，，
⑥
，
⑦ ⑧（三线合一）
是的垂直平分线
【变式1】（2024·甘肃陇南·三模）如图，在中， ，点在上，且，点和点分别是和的中点，则的长是（ ）

A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，连接，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到答案．
解：连接，

∵，点F是的中点，
∴，
∵点E是的中点，，
∴，
故选：B．
【变式2】（23-24七年级下·山东枣庄·期末）是等边三角形，点是边的中点，点在边上，且，连接，则 ．
【答案】15
【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．先根据等边三角形的性质得出平分，，从而得，．由，得到，继而可求．
解：平分，，是等边三角形，
，
，．
，
，
，
故答案为：15．
【题型4】“等角对等边”进行求值与证明
【例4】（21-22八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，垂足分别为E、F，再过点D作，交于点G，且．

求证：(1)； (2)．
【分析】（1）连接，先根据，且， 可知，再根据即可得出，进而可得出，由等角对等边可知；
（2）先证明，得出，根据，，得出．
解：（1）证明：连接，如图所示：

∵，且，
∴平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在和中
，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的判定，等边对等角，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．
【变式1】在中，平分，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
在上截取，连接，证明，得到，再证明，进而代入数值解答即可．
解：在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，，
又，
，
而，
，
，
，
．
故选：．
【变式2】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，中，、分别平分和，过点平行于的直线分别交、于点、，已知，，的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据已知利用平行线的性质及等角对等边、角平分线的定义求解即可．证明三角形是等腰三角形是解题的关键．
解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
，
∴三角形的周长为．
故答案为：．
【题型5】利用等腰三角形的性质与判定进行证明与求值
【例5】（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图，在中，，，点D为边上一动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作，射线交边于点E．
(1)求证：；
(2)试探究当的长为多少时，？请给出你的结论，并说明理由；
(3)过点A在右侧作，交射线于点F，连接．当为等腰三角形时，求的度数．
【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)的度数为或
【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形外角性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题．
（1）根据，，即可证得；
（2）根据，可得，再结合，，可证得，从而求得的长；
（3）根据题意画出草图，利用等腰三角形性质证明，得到，根据为等腰三角形，分①当时， ②当时， ③，三种情况讨论，再结合等腰三角形性质以及三角形外角性质求解，即可解题．
解：（1）证明：由图可知：，
，
；
（2）解：时，理由如下：
，
为等腰三角形，，
又，
在与中：
，
，
此时；
（3）解：，，，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形，
①当时，
，
；
②当时，
，
，
，
③，
，
与点D为边上一动点产生矛盾，
故此类型不存在；
综上所述，的度数为或．
【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，中，，，为的中点，，分别在，上，且，若，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一定理，同角的余角相等，连接，由，为的中点，得，根据同角的余角相等得出，证明即可求解， 熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
解：连接，如图所示，

∵，为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，为的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【变式2】（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，，点P是内的一定点，点M、N分别在、上移动，当的周长最小时， ．
【答案】/80度
【分析】此题考查了轴对称的性质，等腰三角形性质，涉及了三角形和四边形的内角和性质，解题的关键是根据轴对称的性质构造出等腰三角形．要求的度数，可在中进行，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可证，，然后证明，利用四边形内角和可得答案．
解：作P关于、的对称点C、D，连接交、于N、M，如图所示：

∵P关于、的对称点C、D，
∴垂直平分，垂直平分，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当、、、在同一直线上时，此时最小，即周长最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴．
故答案为：．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，．
(1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定：
（1）证明，得到，即可得证；
（2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论．
解：（1）证明：在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，，

∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴．
【例2】（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，则的度数为 ；

【答案】/100度
【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差．
根据三角形的内角和可得，根据，得到，，从而，根据角的和差有，即可解答．
解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴
∴．
故答案为：
2、拓展延伸
【例1】（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，，．将一个含角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示．

(1)求证：；
(2)连接，，如图所示，求证：；
(3)延长交于点P，交于点Q．猜想并证明和的位置关系．
【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析
【分析】（1）在中，根据点D是的中点，得出，由，是直角三角尺，得出，从而得到，在和中，立即证明全等，由性质即可解答；
（2）根据，得出，，，从而得到，由于是含45°直角三角尺，推出，利用即可证明和全等，从而求解；
（3）猜想：，理由：根据和，得出，又根据，等量代换得到从而证明．
解：（1）证明：在中，∵，，
∴，
又∵点D是的中点，
∴，且，
∴，
又∵是直角三角尺，
∴，即，
∴
在和中
∴；
（2）证明：∵
∴，，
∴，且由于是含45°直角三角尺，
∴，
∴
即
在和中
∴，
∴；
（3）解：猜想：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了旋转的性质、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质．
【例2】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）
【基础巩固】（1）如图 1，在 与 中， ，求证： ；
【尝试应用】（2）如图 2，在 与 中， 三 点在一条直线上， 与 交于点 ，若点 为 中点，
① 求 的大小； ，求 的面积；
【拓展提高】（3）如图 3， 与 中， 与 交于点 的面积为 32，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）①，②；（3）
【分析】（1）由证即可；
（2）①同（1）得，得，即可得出结论；
②过点A作于点G，证，得，，再由等腰直角三角形的性质得，则，然后由三角形面积关系即可得出结论；
（3）连接，同（2）得，则，，得，再证，得，，然后证，得，进而由，得，则，即可得出结论．
解：（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：①，，
，
，
同（1）得：，
，
；
②如图2，过点A作于点G，

则，
由①可知，，
，
点F为中点，
，
又，
，
，，
，，
，
，
；
（3）解：如图3，连接，

同（2）得：，
，，
，
在和中，
，
，
∴，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，负值舍去，
即的长为8．
【点拨】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．