2024-2025学年江苏省镇江外国语学校八年级（上）第一次月考数学试卷(含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省镇江外国语学校八年级（上）第一次月考数学试卷(含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，将三角形纸片ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE.若∠B=80°，∠BAE=26°，则∠EAD的度数为( )
A. 36°B. 37°C. 38°D. 45°
2.如用，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=24，DE=4，AB=5，则AC的长是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
3.如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，ED⊥B，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，AB=11，AC=5，则BE的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
4.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为( )
A. 48B. 96C. 84D. 42
5.在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD：DB=3：5，则点D到AB的距离等于( )
A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9cm
6.如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O=∠D=90°，记∠OAD=α，∠ABO=β，当BC/​/OA时，α与β之间的数量关系为( )
A. α=βB. α=2βC. α+β=90°D. α+2β=180°
7.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG的周长为16，且GE=1，则AC的长为( )
A. 16B. 15C. 14D. 13
二、填空题：本题共11小题，每小题3分，共33分。
8.如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=______．
9.如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，ED′与BC交于点为G，点D、点C分别落在点D′、点C′的位置上，若∠1=110°，则∠GFC′=______．
10.已知点P为∠AOB内一点，且∠AOB=30°，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若OP=6，则△PMN的周长为______．
11.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是______．
12.如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=28°，∠2=30°，则∠3= ______．
13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处．若∠A=24°，则∠CDE=______°.
14.如图，AB⊥CD，且AB=CD，E，F是AD上两点，CF⊥AD，BE⊥AD.若CF=8，BE=6，AD=10，则EF的长为______．
15.如图，AD垂直平分BC于点D，EF垂直平分AB于点F，点E在AC上，BE+CE=20cm，则AB=______．
16.△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是_______________．
17.如图，已知△ABC的面积为18，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是______．
18.如图，在锐角△ABC中，∠ACB=50°；边上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.如图，在△ABC中，ABEF．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BC=5，高AD、BE相交于点O，BD=23CD，且AE=BE．
(1)求线段AO的长；
(2)动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△POQ的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；
(3)在(2)的条件下，点F是直线AC上的一点且CF=BO.是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
22.(本小题8分)
如图，AD//BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，AF=AD，AB=AD+BC．
(1)AE与BE垂直吗？说明你的理由；
(2)若AE=5，BE=3，试求出四边形ABCD的面积．
23.(本小题8分)
如图1，AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t(s)．

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
(2)如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
24.(本小题8分)
定义：如图，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
如图①，在△ABC中，D，E分别是AB、AC上的点，AB=AC，AD=AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图②，延长CE交BA的延长线于点N，延长BD至点M，使DM=EN，连接AM，得到图③，请解答下列问题：
(1)在图②中，BD与CE的数量关系是______；
(2)在图③中，求证：点A为点C，M关于直线BN的“等角点”．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵∠B=80°，∠BAE=26°，
∴∠AEB=180°−(∠B+∠BAE)=180°−(80°+26°)=74°，
∵将△ABC折叠点C与点A重合，
∴AE=CE，
∴∠EAD=∠C，
由三角形的外角性质得，∠AEB=∠EAD+∠C，
∴2∠EAD=74°，
∴∠EAD=37°．
故选：B．
利用三角形的内角和等于180°求出∠AEB，再根据翻折变换的性质可得AE=CE，根据等边对等角可得∠EAD=∠C，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AEB=∠EAD+∠C，最后计算即可得解．
本题考查了翻折变换的性质，三角形的内角和定理，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】·解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=4，
∵S△ADB+S△ADC=S△ABC，
∴12×5×4+12·AC·4=24，
∴AC=7．
故选：D．
作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE=DF=4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC=S△ABC得到12×5×4+12·AC·4=8，然后解一元一次方程即可．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3.【答案】A
【解析】解：如图，连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
CD=BDDF=DE，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)，
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=11，AC=5，
∴BE=12×(11−5)=3．
故选：A．
连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形ABEO的面积相等是解题的关键．
根据平移的性质得出BE=6，DE=AB=10，则OE=6，则阴影部分面积=S四边形ODFC=S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．
【解答】
解：由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10，
∴OE=DE−DO=10−4=6，
∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=12(AB+OE)⋅BE=12(10+6)×6=48．
故选：A．
5.【答案】A
【解析】解：∵BC=16，DC：DB=3：5，
∴CD=33+5×16=6，
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=6，
即点D到AB的距离是6cm．
故选：A．
根据比例求出CD的长，再过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，即可得解．
本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作出点D到AB的距离并求出CD的长度是解题的关键，是基础题，比较简单．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
根据全等三角形对应边相等可得AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO=∠CAD，然后求出∠BAC=α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．
【解答】
解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB=AC，∠BAO=∠CAD，
∴∠BAC=∠OAD=α，
在△ABC中，∠ABC=12(180°−α)，
∵BC/​/OA，
∴∠OBC=180°−∠O=180°−90°=90°，
∴β+12(180°−α)=90°，
整理得，α=2β．
故选B．
7.【答案】C
【解析】解：∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EB=EA，
∵FG是BC边的垂直平分线，
∴GB=GC，
∵△BEG的周长为16，
∴GB+GE+EB=16，
∴AE+GE+GC=16，
∴AC+GE+GE=16，
∵GE=1，
∴AC=16−2=14，
故选：C．
根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EA、GB=GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8.【答案】55°
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△CAE．
求出∠BAD=∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2=∠ABD=30°，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】
解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△BAD和△CAE中，
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠2=∠ABD=30°．
∵∠1=25°，
∴∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55°．
故答案为：55°．
9.【答案】70°
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠AEG=180°−∠1=70°，∠DEF+∠EFC=180°，
由翻折可得，∠DEF=∠GEF，∠EFC=∠EFC′，
∴∠DEF=55°，
∴∠EFC=180°−55°=125°，
∴∠GFC′=∠EFC′−∠EFG=∠EFC−∠DEF=125°−55°=70°，
故答案为：70°．
根据平行线的性质得出∠AEG=70°，再根据翻折的性质得出∠DEF=55°，进而利用平行线的性质解答即可．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
10.【答案】6
【解析】解：∵P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点，
∴∠P1OA=∠AOP，∠P2OB=∠BOP，PM=P1M，PN=P2N，P1O=PO=P2O，
∴∠P1OP2=∠P1OA+∠AOP+∠P2OB+∠BOP=2∠AOB，
∵∠AOB=30°，
∴∠P1OP2=2×30°=60°，
∴△OP1P2是等边三角形，
又∵△PMN的周长=PM+MN=PN=P1M+MN+P2N=P1P2，
∴△PMN的周长=P1P2=P1O=PO=6．
故答案为：6
根据轴对称的性质可得∠P1OA=∠AOP，∠P2OB=∠BOP，PM=P1M，PN=P2N，P1O=PO=P2O，从而求出△OP1P2是等边三角形，△PMN的周长等于P1P2，从而得解．
本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质得到相等的边与角是解题的关键．
11.【答案】485
【解析】解：作F关于AD的对称点F′，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴点F′在AB上，
∴EF=EF′，
∴当CF′⊥AB时，EC+EF的最小值为CF′，
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC×AD=12AB×CF′，
∴12×8=10×CF′，
∴CF′=485，
∴EC+EF的最小值为485，
故答案为：485．
作F关于AD的对称点F′，由角的对称性知，点F′在AB上，当CF′⊥AB时，EC+EF的最小值为CF′，再利用面积法求出CF′的长即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称−最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握将军饮马的基本模型是解题的关键．
12.【答案】58°
【解析】解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠1=∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠2=∠ABD=30°，
∵∠1=28°，
∴∠3=∠1+∠ABD=28°+30°=58°，
故答案为：58°．
求出∠BAD=∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2=∠ABD=30°，根据三角形的外角性质求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△CAE．
13.【答案】69
【解析】解：∵∠ACB=90°，将△CBD沿直线CD翻折180°，得到△CED，点E恰好落在边AC上，
∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=45°，
由三角形的外角性质得，∠CDB=∠A+∠ACD=24°+45°=69°，
由据翻折的性质得，∠CDE=∠CDB=69°．
故答案为：69．
根据翻折的性质可得∠ACD=∠BCD=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CDB，然后根据翻折的性质可得∠CDE=∠CDB．
本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
14.【答案】4
【解析】解：∵AB⊥CD，CF⊥AD，BE⊥AD，
∴∠C+∠D=90°，∠A+∠D=90°，∠AEB=∠CFD=90°，
∴∠A=∠C，
在△ABE和△CDF中，
∠A=∠C∠AEB=∠CFDAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE=DF=6，AE=CF=8，
∵AF=AD−DF=10−6=4，
∴EF=AE−AF=8−4=4，
故答案为：4．
证△ABE≌△CDF，可得BE=DF=6，AE=CF=8，可求EF的长．
本题考查了全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15.【答案】20cm
【解析】解：∵EF垂直平分AB于点F，
∴AE=BE，
∵BE+CE=20cm，
∴AE+CE=20cm，
即AC=20cm，
∵AD垂直平分BC于点D，
∴AB=AC=20cm，
故答案为：20cm．
根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，AB=AC，求出AC=20cm即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，能熟记线段垂直平分线的性质是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
16.【答案】1