初中数学沪科版（2024）八年级上册14.1 全等三角形同步练习题

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级上册14.1 全等三角形同步练习题，共42页。

考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·八年级课时练习）下列四个图形中，通过旋转和平移能够全等图形的是( )
A．③和④B．②和③C．②和④D．①②④
2．（3分）（2023春·内蒙古通辽·八年级校考期中）如果△ABC的三边长分别为3、5、7，△DEF的三边长分别为3，3x-2，2x-1，若这两个三角形全等，则x的值为( )
A．73B．4C．3D．5
3．（3分）（2023春·四川南充·八年级校考期中）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C'D//EB'//BC，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105°B．110°C．100°D．120°
4．（3分）（2023春·山西忻州·八年级统考期中）如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O=∠D=90°，记∠OAD=α，∠ABO=β，∠ABC=∠ACB，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（ ）
A．α=βB．α=2βC．α+β=90°D．α+2β=180°
5．（3分）（2023春·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是( )
A．AD＝BEB．BE⊥AC
C．△CFG为等边三角形D．FG∥BC
6．（3分）（2023春·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图所示的4×4的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的值是（ ）
A．225°B．270°C．315°D．360°
7．（3分）（2023春·重庆江北·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，BD交AC于点D，CE交AB于点E，若已知△ABC周长为20，BC=7，AE:AD=4:3，则AE长为（ ）
A．187B．247C．267D．4
8．（3分）（2023春·全国·八年级期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC的平分线BE交于点E，若∠BEC=40°，则∠CAE的度数为（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
9．（3分）（2023春·全国·八年级期中）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC<60°，三条角平分线AD、BE、CF交于O，OH⊥BC于H．下列结论：①∠BOC=120°；②∠DOH=∠OCB−∠OBC；③OD平分∠BOC；④BF+CE=BC．其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（3分）（2023春·山东德州·八年级统考期中）在△ABC和△A'B'C'中，∠A+∠B=∠C，∠B'+∠C'=∠A'，b−a=b'−c'，b+a=b'+c'，则这两个三角形的关系是（ ）
A．不一定全等B．不全等C．根据“ASA”全等D．根据“SAS”全等
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·辽宁鞍山·八年级校考期中）在△ABC中，AB=AC，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE=AD，∠EAD=∠BAC，若∠ACB=∠ABC=70°，∠AED=∠ADE，则∠BDC的度数为 ．
12．（3分）（2023春·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，三角形ABC中，BD平分∠ABC,AD⊥BD，若AB:BC=4:7,S△ADC=6，则S△ABD= ．
13．（3分）（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校联考期末）如图，在四边形ABCD中，AC是四边形的对角线，∠CAD=30°，过点C作CE⊥AB于点E，∠B=2∠BAC，∠ACD+∠BAC=60°，若AB的长度比CD的长度多2，则BE的长为 ．
14．（3分）（2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）已知，如图，AC=AE=3，AD=AB，∠ACB=90°，AE∥CB，∠BAE=∠DAC，DE与AC的延长线交于点F，若BC=10，求CF= ．

15．（3分）（2023春·山东泰安·八年级东平县实验中学校考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠A的平分线AD与BC相交于点D，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E．分别延长BE，AC 相交于点F．判断BE，AD的数量关系．BE=____AD.

16．（3分）（2023春·甘肃定西·八年级统考期中）已知AB=AC,AD为∠BAC的平分线，D、E、F…为∠BAC的平分线上的若干点．如图1，连接BD、CD，图中有1对全等三角形；如图2，连接BD、CD、BE、CE，图中有3对全等三角形；如图3，连接BD、CD、BE、CE、BF，CF，图中有6对全等三角形，依此规律，第2023个图形中有 对全等三角形．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·山西临汾·八年级统考期中）如图，在△ABC和△AED中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD，且点E，A，B在同一直线上，点C，D在BE同侧，连结BD，CE交于点M，CE与AD交于点N．

(1)求证：BD=CE；
(2)若∠DME=25°，求∠EAD的度数．
18．（6分）（2023春·湖北武汉·八年级校联考期中）规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，回答下列问题：
(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．
(2)取BD的中点P，连接OP，请证明AC=2OP．
19．（8分）（2023春·吉林松原·八年级统考期末）【课本习题】如图①，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E．求证：BE=CD；
【改编】在图①中的边AD上取一点F，使DF=CD，连接BF交DE于点G，连接AG（如图②）．

（1）求证：△FDG≌△BEG；
（2）若AD=5，BE=2，请直接写出△AFG的面积．
20．（8分）（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，在长方形ABCD中，AB=CD=8cm，BC=AD=14cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
(1)BP= cm．（用t的代数式表示）
(2)当t为何值时，△ABP≌△DCP？
(3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
21．（8分）（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）（1）【特例探究】
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=100°，∠EAF=50°，猜想并写出线段BE，DF，EF之间的数量关系，证明你的猜想；
（2）【迁移推广】
如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，∠BAD=2∠EAF．请写出线段BE，DF，EF之间的数量关系，并证明；
（3）【拓展应用】
如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（O处）北偏东20°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C，D处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．
22．（8分）（2023春·山西大同·八年级统考期中）综合与实践
如图1所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外部作等腰直角△CAD和等腰直角△CBE，∠CAD＝∠CBE＝90°，过点D作DF⊥l于点F，过点E作EG⊥l于点G．
（1）如图2，当点E恰好在直线l上时（此时G与E重合），试证明：DF=AB；
（2）在图1中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DF、EG、AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DF、EG、AB之间的数量关系．（不需要证明）
23．（8分）（2023春·湖北荆门·八年级湖北荆门外语学校校考期中）已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．
第14章 全等三角形章末拔尖卷
【沪科版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·八年级课时练习）下列四个图形中，通过旋转和平移能够全等图形的是( )
A．③和④B．②和③C．②和④D．①②④
【答案】D
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案
【详解】①、②和④都可通过平移或旋转完全重合．
故选D．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．
2．（3分）（2023春·内蒙古通辽·八年级校考期中）如果△ABC的三边长分别为3、5、7，△DEF的三边长分别为3，3x-2，2x-1，若这两个三角形全等，则x的值为( )
A．73B．4C．3D．5
【答案】C
【分析】根据全等三角形的对应边相等分类讨论，分别求出x值判断即可．
【详解】此题需要分类讨论．
①若3x−2=5，则x=73，
所以2x−1=113≠7
所以此种情况不符合题意；
②若3x−2=7，则x=3，
所以2x−1=5．
所以此种情况符合题意．
综上所述：x=3
故选C．
【点睛】此题考查的是根据全等三角形的性质求字母的值，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键．
3．（3分）（2023春·四川南充·八年级校考期中）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C'D//EB'//BC，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105°B．110°C．100°D．120°
【答案】C
【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′＋∠AHC′，再求出∠C′＋∠AHC′即可解决问题．
【详解】解：如图延长C′D交AB′于H．
∵△AEB≌△AEB′，
∴∠ABE＝∠AB′E，
∵C′H∥EB′，
∴∠AHC′＝∠AB′E，
∴∠ABE＝∠AHC′，
∵△ADC≌△ADC′，
∴∠C′＝∠ACD，
∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD，
∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC，
∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°，
∴∠C′AH＝120°，
∴∠C′＋∠AHC′＝60°，
∴∠BFC＝60°＋40°＝100°，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
4．（3分）（2023春·山西忻州·八年级统考期中）如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O=∠D=90°，记∠OAD=α，∠ABO=β，∠ABC=∠ACB，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（ ）
A．α=βB．α=2βC．α+β=90°D．α+2β=180°
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质得到∠OAB=∠DAC，再根据平行线的性质，得到∠OAB=∠ABC=90°−β，利用∠OAD+∠DAC+∠ACB=180°，即可解答．
【详解】解：∵△AOB≌△ADC，∠O=∠D=90°，
∴∠DAC=∠OAB=90°−∠OBA=90°−β，
∵BC∥OA，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=∠OAB=90°−β，∠OAC+∠ACB=180°，
∵∠OAC=∠OAD+DAC，
∴ α+90°−β+90°−β=180°，
化简得：α=2β．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，结合图形和题意找到角之间的关系是解题的关键．
5．（3分）（2023春·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是( )
A．AD＝BEB．BE⊥AC
C．△CFG为等边三角形D．FG∥BC
【答案】B
【详解】试题解析：A.∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=60°，
在△ACD与△BCE中，
{AC=BC∠ACD=∠BCECD=CF，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，正确.
B.据已知不能推出F是AC中点，即AC和BF不垂直，所以AC⊥BE错误，故本选项符合题意.
C.△CFG 是等边三角形，理由如下：
∠ACG=180°−60°−60°=60°=∠BCA，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD，
在△ACG 和△BCF 中，{∠CAG=∠CBFAC=BC∠BCF=∠ACG，
∴△ACG≌△BCF，
∴CG=CH， 又∵∠ACG=60°
∴△CFG是等边三角形，正确.
D.∵△CFG 是等边三角形，
∴∠CFG﹦60°=∠ACB，
∴FG∥BC. 正确.
故选B.
6．（3分）（2023春·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图所示的4×4的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的值是（ ）
A．225°B．270°C．315°D．360°
【答案】C
【分析】由全等三角形的判定和性质，得到∠1=∠BAC，，则有∠1+∠7=90°，，同理可证∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°，，又∠4=45°，，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，如图：
∵AC=DE，BC=AE，∠ACB=∠DEA=90°
∴△ABC≌△DAE，
∴∠1=∠BAC，
∵∠7+∠BAC=90°，
∴∠1+∠7=90°，
同理可证∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°，
∵∠4=45°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=90°+90°+90°+45°=315°；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等．
7．（3分）（2023春·重庆江北·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，BD交AC于点D，CE交AB于点E，若已知△ABC周长为20，BC=7，AE:AD=4:3，则AE长为（ ）
A．187B．247C．267D．4
【答案】B
【分析】证明△BOE≌△BOH得出∠EOH=∠BOH=60°，证明△COD≌△COH得出CD=CH，进而即可求解．
【详解】解：如图，在BC上截取BH=BE，连接OH
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CDB,∠ACE=∠BCE，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠DBC+∠BCE=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BOE=∠COD=60°，
在△BOE和△BOH中，
BE=BH∠ABD=∠CBDBO=BO，
∴△BOE≌△BOH(SAS)，
∴∠EOB=∠BOH=60°，
∴∠COH=∠BOC−∠BOH=60°，
∴ ∠COD=∠COH=60°，
在△COD和△COH中，
∠ACE=∠BCEOC=OC∠COD=∠COH，
∴△COD≌△COH(ASA)，
∴CD=CH，
∴BE+CD=BH+CH=BC=7，
∵ △ABC周长为20，
∴AB+AC+BC=20，
∴AE+AD=6，
∵AE:AD=4:3，
∴AE=67×4=247．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角分线的定义，构造全等三角形是解题的关键．
8．（3分）（2023春·全国·八年级期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC的平分线BE交于点E，若∠BEC=40°，则∠CAE的度数为（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
【答案】D
【分析】过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，设∠ECD=x°，根据角平分线的性质定理，可得EF = EM，再由三角形外角的性质，可得∠BAC = 80°，从而得到∠CAF = 100°，再由Rt△EFA≌Rt△EMA，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，
设∠ECD=x°，∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE = ∠ECD = x°，EM = EN，
∵BE平分ABC，
∴ ∠ABE =∠EBC，EF = EN，
∴EF = EM，
∵∠BEC= 40°，
∴ ∠ABE =∠EBC =∠ECD–∠BEC=(x-40)°，∴ ∠BAC =∠ACD–∠ABC = 2x°- (x° - 40°) - (x° - 40°) = 80°，∴∠CAF = 100°，
在Rt△EFA和Rt△EMA中，∵EA=EA，EM = EF，
∴ Rt△EFA≌Rt△EMA (HL)，
∴∠FAE = ∠EAC = 50°．
故选：D
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
9．（3分）（2023春·全国·八年级期中）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC<60°，三条角平分线AD、BE、CF交于O，OH⊥BC于H．下列结论：①∠BOC=120°；②∠DOH=∠OCB−∠OBC；③OD平分∠BOC；④BF+CE=BC．其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由∠BAC=60°得∠ABC+∠ACB=120°，即可求得∠BOC=120°，可判断①正确；
由∠DOH=90°−∠ODH=90°−∠BAD−∠ABC，而∠BAD=12∠BAC=12180°−∠ABC−∠ACB，可推导出∠DOH=∠OCB−∠OBC，可判断②正确；
由∠BAC=60°，∠ABC<60°得∠ABC<∠ACB，再由∠OAB=∠OAC推导出∠OBA+∠OAB<∠OCA+∠OAC，即可证明∠BOD<∠COD，可判断③错误；
在BC上截取BI=BF，连接OI，由∠EOF=∠BOC=120°得∠AFO+∠AEO=180°，即要证明∠CEO=∠AFO，再证明△OBI≌△OBF，得∠OIB=∠OFB，则∠CIO=∠AFO，所以∠CIO=∠CEO，即可证明△CIO≌△CEO，得CI=CE，所以BF+CE=BC，可判断④正确．
【详解】解：∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴12∠ABC+12∠ACB=60°，
∵∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠BOC=180°−∠OBC+∠OCB=180°−12∠ABC−12∠ACB=120°，
故①正确；
∵OH⊥BC于H，
∴∠OHD=90°，
∴∠DOH=90°−∠ODH=90°−∠BAD+∠ABC=90°−∠BAD−∠ABC，
∵∠BAD=12∠BAC=12180°−∠ABC−∠ACB，
∴∠DOH=90°−12180°−∠ABC−∠ACB−∠ABC=12∠ACB−∠ABC，
∵∠OCB−∠OBC=12∠ACB−12ABC，
∴∠DOH=∠OCB−∠OBC，
故②正确；
∵∠BAC=60°，∠ABC<60°，
∴∠ACB>60°，
∴∠ABC<∠ACB，
∵12∠ABC<12ACB，
∴∠ABO=12∠ABC，∠OCA=12∠ACB，
∴∠OBA<∠OCA，
∵∠OAB=∠OAC，
∴∠OBA+∠OAB<∠OCA+∠OAC，
∴∠BOD<∠COD，
故③错误；
如图，在BC上截取BI=BF，连接OI，
∵∠EOF=∠BOC=120°，∠BAC=60°，
∴∠AFO+∠AEO=180°，
∵∠CEO+∠AEO=180°，
∴∠CEO=∠AFO，
在△OBI和△OBF中，
BF=BI∠OBI=∠OBFOB=OB，
∴△OBI≌△OBF，
∴∠OIB=∠OFB，
∴180°−∠OIB=180°−∠OFB，
∴∠CIO=∠AFO，
∴∠CIO=∠CEO，
在△CIO和△CEO中，
OC=OC∠ICO=∠ECO∠CIO=∠CEO，
∴△CIO≌△CEO，
∴CI=CE，
∵BF+CE=BI+CI=BC，
故④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键
10．（3分）（2023春·山东德州·八年级统考期中）在△ABC和△A'B'C'中，∠A+∠B=∠C，∠B'+∠C'=∠A'，b−a=b'−c'，b+a=b'+c'，则这两个三角形的关系是（ ）
A．不一定全等B．不全等C．根据“ASA”全等D．根据“SAS”全等
【答案】D
【分析】由角度数量关系与三角形内角和定理可得∠C=90°，∠A'=90°，由线段的数量关系可得b=b'，a=c'，进而可证明三角形全等．
【详解】解：∵∠A+∠B=∠C，∠B'+∠C'=∠A'
∴∠C=90°，∠A'=90°
∵b−a=b'−c'①b+a=b'+c'②
①+②得b=b'
②-①得a=c'
∴在△ABC和△C'B'A'中，
∵b=b'∠C=∠A'a=c'
∴ △ABC≌△C'B'A'SAS
故选D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定．解题的关键在于找出三角形全等的条件．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·辽宁鞍山·八年级校考期中）在△ABC中，AB=AC，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE=AD，∠EAD=∠BAC，若∠ACB=∠ABC=70°，∠AED=∠ADE，则∠BDC的度数为 ．
【答案】40°
【分析】根据SAS证明△ABE≌△ACD，再利用全等三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．
【详解】解：∵∠EAD=∠BAC，
∴∠BAC−∠EAC=∠EAD−∠EAC，
即：∠BAE=∠CAD；
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABD=∠ACD，
∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，
∴∠BOC=∠ABD+∠BAC，∠BOC=∠ACD+∠BDC，
∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC，
∴∠BAC=∠BDC，
∵∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−70°−70°=40°，
∴∠BDC=∠BAC=40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点．
12．（3分）（2023春·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，三角形ABC中，BD平分∠ABC,AD⊥BD，若AB:BC=4:7,S△ADC=6，则S△ABD= ．
【答案】8
【分析】延长AD交BC与点E，证ΔABD≅ΔEBDASA可得SΔABD=SΔEBD，由AB:BC=4:7可得SΔEBD：SΔECD=4:3，进而即可求解；
【详解】解：如图，延长AD交BC与点E，
∵BD平分∠ABC,AD⊥BD
∴∠ABD=∠EBD，∠ADB=∠EDB
∵BD=BD
∴ΔABD≅ΔEBDASA
∴AB=BE
∴SΔABD=SΔEBD
∵AB:BC=4:7
∴BE:EC=4:3
∴SΔEBD：SΔECD=4:3
∵AD=DE，S△ADC=6
∴SΔECD=S△ADC=6
∴SΔABD=43⋅S△ADC=8
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、角平分线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13．（3分）（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校联考期末）如图，在四边形ABCD中，AC是四边形的对角线，∠CAD=30°，过点C作CE⊥AB于点E，∠B=2∠BAC，∠ACD+∠BAC=60°，若AB的长度比CD的长度多2，则BE的长为 ．
【答案】1
【分析】在AE上截取EF=BE，连接CF，则CE垂直平分BF，结合题意推出AF=CF，过点F作FM⊥AC，交AC于点M，过点C作CN⊥AD，交AD的延长线于点N，则有∠AMF=∠N=90°，AC=2AM，进而得出AM=CN，根据题意及三角形外角性质推出∠MAF=∠NCD，利用ASA判定△AFM≌△CDN，根据全等三角形的性质得到AF=CD，结合题意即可得解．
【详解】解：在AE上截取EF=BE，连接CF，
∵CE⊥AB，
∴CE垂直平分BF，
∴BC=FC，
∴∠B=∠BFC，
∵∠B=2∠BAC，
∴∠BFC=2∠BAC，
∵∠BFC=∠BAC+∠ACF，
∴∠ACF=∠BAC，
∴AF=CF，
过点F作FM⊥AC，交AC于点M，过点C作CN⊥AD，交AD的延长线于点N，则有∠AMF=∠N=90°，AC=2AM，
∵∠CAD=30°，∠N=90°，
∴AC=2CN，
∴AM=CN，
∵∠ACD+∠BAC=60°，
∴∠ACD=60°-∠BAC，
∴∠CDN=∠ACD+∠CAD=60°-∠BAC+30°=90°-∠BAC，
∴∠NCD=90°-∠CDN=90°-（90°-∠BAC）=∠BAC，
∴∠MAF=∠NCD，
在△AFM和△CDN中，∠MAF=∠NCDAM=CN∠AMF=∠N，
∴△AFM≌△CDN（ASA），
∴AF=CD，
∵AB的长度比CD的长度多2，
∴AB-CD=AB-AF=2BE=2，
∴BE=1，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
14．（3分）（2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）已知，如图，AC=AE=3，AD=AB，∠ACB=90°，AE∥CB，∠BAE=∠DAC，DE与AC的延长线交于点F，若BC=10，求CF= ．

【答案】2
【分析】过点D作DH⊥AC，交AC的延长线于点H，通过证明△ABC≌△ADH，△AFE≌△HFD，利用全等三角形的性质分析计算．
【详解】解：过点D作DH⊥AC，交AC的延长线于点H，

∵∠ACB=90°，
∴∠H=∠ACB=90°，
∵AE∥BC，
∴∠BAE=∠ABC，
∵∠BAE=∠DAC
∴∠ABC=∠DAC
又∵AB=AD，
∴△ABC≌△ADH，
∴DH=AC,AH=BC，
∵AE=AC，
∴DH=AE，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB=90°，
∴∠EAC=∠H=90°，
又∵∠AFE=∠HFD，
∴△AFE≌△HFD，
∴AF=HF=12AH=12BC=5，
∴CF=AF−AC=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，本题综合性较强，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
15．（3分）（2023春·山东泰安·八年级东平县实验中学校考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠A的平分线AD与BC相交于点D，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E．分别延长BE，AC 相交于点F．判断BE，AD的数量关系．BE=____AD.

【答案】12
【分析】由∠ACB=∠AEB=90°，∠ADC=∠BDE，∠FBC=∠CAD，通过ASA可证△ACD≌△BCF，可得BF=AD，再证明△BAE≌△FAE，可得BE=12BF=12AD．
【详解】解：∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AEB=∠ACB，
∵∠ADC=∠BDE，
∴∠CAD=∠CBF，
在△ACD和△BCF中
∠CAD=∠CBFAC=BC∠ACD=∠BCF
∴△ACD≌△BCF(ASA)；
∴BF=AD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
在△BAE和△FCE中
∠BAE=∠FAEAE=AE∠AEB=∠AEF
△BAE≌ △FCE(ASA)，
∴BE=EF=12BF=12AD；
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，角平分线的性质，熟练掌握三角形判定定理是解决本题的关键．
16．（3分）（2023春·甘肃定西·八年级统考期中）已知AB=AC,AD为∠BAC的平分线，D、E、F…为∠BAC的平分线上的若干点．如图1，连接BD、CD，图中有1对全等三角形；如图2，连接BD、CD、BE、CE，图中有3对全等三角形；如图3，连接BD、CD、BE、CE、BF，CF，图中有6对全等三角形，依此规律，第2023个图形中有 对全等三角形．
【答案】2047276
【分析】根据题意，图1中，除点A外，当有一个点时，图中有1对全等三角形；除点A外，当有2个点时，
图中有1+2=3对全等三角形；除点A外，当有3个点时，图中有1+2+3=6对全等三角形；由
此得到规律即可计算出结果．
【详解】根据题意，图1中，除点A外，当有一个点时，图中有1对全等三角形；除点A外，当有2个点时，
图中有1+2=3对全等三角形；除点A外，当有3个点时，图中有1+2+3=6对全等三角形；由
此得到规律，除点A外，当有2023个点时，
图中有1+2+3+…+2023=1+2023×20232=2047276对全等三角形．
故答案为：2047276．
【点睛】本题考查了图形中的规律探索，正确找到规律是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·山西临汾·八年级统考期中）如图，在△ABC和△AED中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD，且点E，A，B在同一直线上，点C，D在BE同侧，连结BD，CE交于点M，CE与AD交于点N．

(1)求证：BD=CE；
(2)若∠DME=25°，求∠EAD的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)25°
【分析】（1）利用 “SAS”证明△ABD≌△ACESAS，进而即可证明结论；
（2）根据全等三角形的性质，得到∠ADM=∠AEM，再利用三角形内角和定理，得到∠EAD=∠DME，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC，
∴△ABD≌△ACESAS．
∴BD=CE；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADM=∠AEM，
∵∠ADM+∠DME+∠DNM=180°，∠AEM+∠EAD+∠ANE=180°，∠DNM=∠ANE，
∴∠EAD=∠DME=25°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
18．（6分）（2023春·湖北武汉·八年级校联考期中）规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，回答下列问题：
(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．
(2)取BD的中点P，连接OP，请证明AC=2OP．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据OA=OB，OC=OD，∠AOC+∠BOD=180°即可证明；
（2）延长OP至E，使PE=OP，先证△BPE≌△DPO，推出BE=OD，∠E=∠DOP，进而推出BE∥OD，再证△EBO≌△COA，即可推出OE=AC，由此可证AC=2OP．
【详解】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=360°−∠AOB−∠COD=360°−90°−90°=180°，
又∵AO=OB，OC=OD，
∴△OAC和△OBD是兄弟三角形．
（2）证明：延长OP至E，使PE=OP，
∵P为BD的中点，
∴ BP=PD，
∵在△BPE和△DPO中，
PE=PO∠BPE=∠DPOBP=DP，
∴ △BPE≌△DPOSAS，
∴ BE=OD，∠E=∠DOP，
∴ BE∥OD，
∴ ∠EBO+∠BOD=180°，
又∵ ∠BOD+∠AOC=180°，
∴ ∠EBO=∠AOC，
∵ BE=OD，OD=OC，
∴ BE=OC，
在△EBO和△COA中，
OB=AO∠EBO=∠AOCBE=OC
∴ △EBO≌△COASAS，
∴ OE=AC，
又∵ OE=2OP，
∴ AC=2OP．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．
19．（8分）（2023春·吉林松原·八年级统考期末）【课本习题】如图①，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E．求证：BE=CD；
【改编】在图①中的边AD上取一点F，使DF=CD，连接BF交DE于点G，连接AG（如图②）．

（1）求证：△FDG≌△BEG；
（2）若AD=5，BE=2，请直接写出△AFG的面积．
【答案】【课本习题】见解析；【改编】（1）见解析；（2）94
【分析】课本习题：先证明∠ACD=∠CBE，结合∠ADC=∠CEB=90°，AC=BC，从而可得结论；
改编：（1）先证明CD=BE，可得BE=FD，结合∠BEG=∠FDG，∠EGB=∠DGF，从而可得结论；
（2）先证明DF=BE=2，DG=EG，可得AF=5−2=3，再证明CE=AD=5，CD=BE=2，可得DE=5−2=3，DG=EG=32，再利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】课本习题：
证明：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，
∴∠ECB+∠ACD=90°，∠ECB+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE，
∴CD=BE
改编：
（1）证明：∵△ACD≌△CBE，
∴CD=BE，
∵DF=CD，
∴BE=FD，
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠BEG=∠FDG，
∵∠EGB=∠DGF，
∴△FDG≌△BEG．
（2）解：∵△FDG≌△BEG，BE=2，
∴DF=BE=2，DG=EG，
∵AD=5，
∴AF=5−2=3，
∵△ACD≌△CBE，
∴CE=AD=5，CD=BE=2，
∴DE=5−2=3，DG=EG=32，
∴△AFG的面积为12×3×32=94．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．
20．（8分）（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，在长方形ABCD中，AB=CD=8cm，BC=AD=14cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
(1)BP= cm．（用t的代数式表示）
(2)当t为何值时，△ABP≌△DCP？
(3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2t
(2)72
(3)存在，2或167
【分析】（1）根据P点的运动速度可得BP的长；
（2）根据全等三角形的性质即可得出BP=CP即可；
（3）此题主要分两种情况①△ABP≌△PCQ得到BP=CQ，AB=PC，②△ABP≌△QCP得到BA=CQ，PB=PC，然后分别计算出t的值，进而得到v的值．
【详解】（1）点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，点P的运动时间为t秒：
∴BP=2t,
故答案案为：BP=2t；
（2）当t=72时，△ABP≌△DCP．
理由：∵BP=2t，CP=14−2t，
∵△ABP≌△DCP，
∴BP=CP，
∴2t=14−2t，
∴t=72，
（3）①当△ABP≌△PCQ时，
∴BP=CQ，AB=PC，
∵AB=8，
∴PC=8，
∴BP=BC−PC=14−8=6，
2t=6，
解得：t=3，
CQ=BP=6，
v×3=6，
解得：v=2；
②当△ABP≌△QCP时，
∴BA=CQ，PB=PC
∵PB=PC，
∴BP=PC=12BC=7，
2t=7，
解得：t=72 ，
CQ=BA=8，
v×72=8，
解得：v=167
综上所述：当v=2 或167时，△ABP与△PQC全等．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是全等三角形性质的掌握．
21．（8分）（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）（1）【特例探究】
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=100°，∠EAF=50°，猜想并写出线段BE，DF，EF之间的数量关系，证明你的猜想；
（2）【迁移推广】
如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，∠BAD=2∠EAF．请写出线段BE，DF，EF之间的数量关系，并证明；
（3）【拓展应用】
如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（O处）北偏东20°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C，D处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）EF=BE+DF，理由见解析；（2）EF=BE+DF，理由见解析；（3）85海里
【分析】（1）延长CD至点G，使DG=BE，连接AG，可证得△ABE≌△ADG，可得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再由∠BAD=100°，∠EAF=50°，可证得△AEF≌△AGF，
从而得到EF=FG，即可求解；
（2）延长CD至点H，使DH=BE，连接AH，可证得△ABE≌△ADH，可得到AE=AH，∠BAE=∠DAH，再由∠BAD=2∠EAF，可证得△AEF≌△AHF，从而得到EF=FH，即可求解；
（3）连接CD，延长AC、BD交于点M，根据题意可得∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，再由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD，即可求解．
【详解】解：（1）EF=BE+DF，理由如下：
如图，延长CD至点G，使DG=BE，连接AG，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ADG=∠ABC=90°，
∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADG，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=100°，∠EAF=50°，
∴∠BAE+∠DAF=50°，
∴∠FAG=∠EAF=50°，
∵AF=AF，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF，
∴EF=DG+DF=BE+DF；
（2）EF=BE+DF，理由如下：
如图，延长CD至点H，使DH=BE，连接AH，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADH=180°，
∴∠ADH=∠ABC，
∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADH，
∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，
∵∠BAD=2∠EAF
∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH，
∴∠EAF=∠HAF，
∵AF=AF，
∴△AEF≌△AHF，
∴EF=FH，
∵FH=DH+DF，
∴EF=DH+DF=BE+DF；
（3）如图，连接CD，延长AC、BD交于点M，
根据题意得： ∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB，
∴∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，
∵OA=OB，
∴由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD，
∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45，
∴CD=40+45=85海里．
即此时两舰艇之间的距离85海里．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形，解答时，注意类比思想的应用．
22．（8分）（2023春·山西大同·八年级统考期中）综合与实践
如图1所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外部作等腰直角△CAD和等腰直角△CBE，∠CAD＝∠CBE＝90°，过点D作DF⊥l于点F，过点E作EG⊥l于点G．
（1）如图2，当点E恰好在直线l上时（此时G与E重合），试证明：DF=AB；
（2）在图1中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DF、EG、AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DF、EG、AB之间的数量关系．（不需要证明）
【答案】（1）见解析；（2）AB＝DF＋EG；证明见解析；（3）AB＝DF﹣EG
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和同角的余角相等证明△DFA≌△ABC，根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）过C作CM⊥AB于M，仿照（1）方法分别证明△DFA≌△AMC和△CMB≌△BGE，则有DF＝AM，BM＝EG，即可得出三线段的关系；
（3）过C作CH⊥直线l于H，类比（2）中方法，可证得AB＝DF﹣EG．
【详解】证明：（1）∵∠DAC＝∠CBE＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝90°，
∴∠DAF＋∠CAB＝180°﹣∠DAC＝90°，∠ACB＋∠CAB＝90°，
∴∠DAF＝∠ACB，
∵DF⊥AB，
∴∠DFA＝∠ABC＝90°，
∵AD＝AC，
∴△DFA≌△ABC，
∴DF＝AB；
（2）AB＝DF＋EG；
证明：过C作CM⊥AB于M，
∵DF⊥AB，
∴∠DFA＝∠AMC＝90°，又∠CAD＝90°
∴∠ADF＋∠DAF=90°，∠CAM＋∠DAF＝90°，
∴∠ADF＝∠CAM，
∵AD＝AC，∠DFA＝∠AMC＝90°，
∴△DFA≌△AMC，
∴DF＝AM，
同理：△CMB≌△BGE，可得BM＝EG，
∴AB＝AM＋BM＝DF＋EG；
（3）AB＝DF﹣EG．理由为：
如图3，过点C作CH⊥直线l于H，
∴∠DFA＝∠AHC＝90°，又∠CAD＝90°
∴∠ADF＋∠DAF=90°，∠CAH＋∠DAF＝90°，
∴∠ADF＝∠CAH，
∴AD＝AC，∠DFA＝∠AHC＝90°，
∴△DFA≌△AHC，
∴DF＝AH，
同理：BH＝EG，
∴AB＝AH﹣BH＝DF-EG．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等，难度适中，利用类比和数形结合的思想，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
23．（8分）（2023春·湖北荆门·八年级湖北荆门外语学校校考期中）已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．
【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°．
【分析】(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交AN于点C，得出∠MCN=90°,因此有BM⊥AN；
(2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN；
(3) 取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数.
【详解】解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．
理由：如图1中，
∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，
∴△MBP≌△ANP（SAS），
∴MB＝AN．
延长MB交AN于点C．
∵△MBP≌△ANP，
∴∠PAN＝∠PMB，
∵∠PAN+∠PNA＝90°，
∴∠PMB+∠PNA＝90°，
∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，
∴BM⊥AN．
（Ⅱ）结论成立
理由：如图2中，
∵△APM，△BPN，都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°
∴∠MPB＝∠APN＝120°，
又∵PM＝PA，PB＝PN，
∴△MPB≌△APN（SAS）
∴MB＝AN．
（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．
∵△APM，△PBN都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN
∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，
∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，
∵∠APC＝60°，
∴△APC为等边三角形，
∴∠PAC＝∠PCA＝60°，
又∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．
【点睛】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.