初中数学沪科版（2024）八年级上册15.1 轴对称图形同步达标检测题

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级上册15.1 轴对称图形同步达标检测题，共66页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc26211" 【题型1 两点之间线段最短】 PAGEREF _Tc26211 \h 1
\l "_Tc27960" 【题型2 垂线段最短】 PAGEREF _Tc27960 \h 2
\l "_Tc30887" 【题型3 平行线之间的距离最短】 PAGEREF _Tc30887 \h 3
\l "_Tc5892" 【题型4 将军饮马（两定一动）】 PAGEREF _Tc5892 \h 4
\l "_Tc22693" 【题型5 三点共线（两定一动最大值）】 PAGEREF _Tc22693 \h 5
\l "_Tc24968" 【题型6 双对称周长最小】 PAGEREF _Tc24968 \h 6
\l "_Tc12728" 【题型7 两定两动】 PAGEREF _Tc12728 \h 8
\l "_Tc17418" 【题型8 两定一定长】 PAGEREF _Tc17418 \h 9
\l "_Tc31265" 【题型9 两动一定】 PAGEREF _Tc31265 \h 10
\l "_Tc28588" 【题型10 费马点】 PAGEREF _Tc28588 \h 11
【题型1 两点之间线段最短】
【例1】（2023春·福建宁德·八年级校考期中）如图，平地上A，B两点位分别位于一条排水沟的两旁，其上用钢梁覆盖，位于A处的蚂蚁从第 号钢梁上通过到达B处，才能使得全程路程最短．

【变式1-1】（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）在同一平面内，线段AB=5cm，C为任意一点，则AC+BC的最小值为 ．
【变式1-2】（2023春·山西运城·八年级统考期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）．
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023春·全国·八年级课堂例题）[应用意识]如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直．设两条河的宽度相同且保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短？（保留作图痕迹，不写作法）

【题型2 垂线段最短】
【例2】（2023春·四川成都·八年级校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在线段BC上，CD=3.3，点E是AC边上一动点，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，当BF有最小值时，写出AE的值为 .

【变式2-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，边长为4的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是 ．

【变式2-2】（2023春·全国·八年级课堂例题）如图，OB平分∠MON,A为OB的中点，AE⊥ON，垂足为E,AE=3,D为OM上的一个动点，BC∥OM,C是DA的延长线与BC的交点，求线段CD的最小值．

【变式2-3】（2023春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为AC上一动点，连接BD，以AD，BD为邻边作▱ADBE，连接DE，则DE长的最小值为 ．

【题型3 平行线之间的距离最短】
【例3】如图，直线，且a，b之间相距．点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段的最小值是 ．

【变式3-1】如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式3-2】（2023春·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）直线，对平面内不在上，且不在上的任意一点，若到，的距离分别为，，则记．
(1)若，则线段与的公共点个数可能为______；
(2)若取最小值且，则的取值范围是______．
【变式3-3】（2023春·八年级课时练习）如图，直线，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，于点C，交射线AB于点E，，，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．
（1）当时，有最小值，求m的值；
（2）当（m为（1）中的取值）时，探究、与的关系，并说明理由；
（3）当（m为（1）中的取值）时，直接写出、与的关系．
【题型4 将军饮马（两定一动）】
【例4】（2023春·广东揭阳·八年级统考期末）△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2， P为线段AB上一动点，D为BC边的中点，则PC+PD的最小值为 ．
【变式4-1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

【变式4-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是 ．
【变式4-3】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE=3，
(1)求BC的长；
(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为_________．
【题型5 三点共线（两定一动最大值）】
【例5】（2023春·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA−PB的最大值为 .
【变式5-1】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．
（2）在直线MN上找点P，使|PB﹣PA|最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出|PB﹣PA|的最大值．
【变式5-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB=6，则BP−PE的最大值是 ．
【变式5-3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，AB=AC=5，∠BAC=110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD=25°，P为AD上一动点，则PB−PC的最大值是 ．
【题型6 双对称周长最小】
【例6】（2023春·福建福州·八年级统考开学考试）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=105°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一个点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM= °

【变式6-1】（2023春·辽宁辽阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A−2,3，B−3,1，C1,−2．
(1)请在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A的对应点A1的坐标；
(2)△ABC的面积是________；
(3)在y轴上有一点P，使得△ABP的周长最小，请直接写出点P的坐标及△ABP的周长最小值．
【变式6-3】（2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=8．如图1在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点．

(1)求点E的坐标及折痕DB的长；
(2)如图2，在OC、CB边上选取适当的点F、G，将△FCG沿FG折叠，使点C落在OA上，记为H点，设OH=x，GC=y，写出y关于x的关系式以及x的取值范围；
(3)在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且MN=5，取线段BA段的中点为F，当点M运动到哪里时，四边形BMNF的周长最小？请画出示意图并求出周长最小值．
【题型7 两定两动】
【例7】（2023春·福建泉州·八年级校考期末）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
解法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为线段A'B的长．

(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；
(2)应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于点O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；
②如图3，∠AOB=20°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=ON=2，点P，Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是________．
【变式7-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是 ．
【变式7-2】（2023春·安徽芜湖·八年级芜湖市第二十九中学校考期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式7-3】（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）如图，在等边△ABC中，AC=12，AD是BC边上的中线，点P是AD上一点，且AP=5．如果点M、N分别是AB和AD上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为 ．

【题型8 两定一定长】
【例8】（2023春·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，A0,4，B8,0，C8,2，M，N是线段OB上的两个动点，且MN=2，则△AOM与△NCB周长和的最小值是 ．
【变式8-1】（2023春·河南安阳·八年级校考阶段练习）已知，如图，线段CD长为8，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，AC=4，BD=3，EF为线段CD上两动点，F在E右侧且EF=1，则由A到B的路径：AE+EF+FB的最小值为 ．
【变式8-2】（2023春·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，则GE+CF的最小值为（ ）

A．23B．22C．32D．33
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B（2，0），点C，D是y轴上两个动点（点D在点C下方）且CD=2，连接AC，BD，则AC+BD的最小值为
【题型9 两动一定】
【例9】（2023春·湖南衡阳·八年级校联考期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为 ．

【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示，在等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB，AC上，则线段DE+DF的最小值是（ ）
A．BC边上高的长B．线段EF的长度
C．BC边的长度D．以上都不对
【变式9-2】（2023春·江苏淮安·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8，AC=10，点P、Q分别是边BC、AC上的动点，则AP+PQ的最小值等于（ ）

A．4B．245C．5D．485
【变式9-3】（2023春·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、AD上的动点，则MN+BN的最小值是 ．

【题型10 费马点】
【例10】（2023春·全国·八年级专题练习）【问题提出】
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM，CM．若连接MN，则△BMN的形状是________．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB+AC=10，求BC的最小值．
【问题解决】
（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABCD，AB+BC=6千米，∠ABC=60°，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条AE,BE,CE，求三条路的长度和（即AE+BE+CE）最小时，平行四边形公园ABCD的面积．
【变式10-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
【变式10-2】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ．
【变式10-3】（2023春·全国·八年级专题练习）【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”．
如图，点P是△ABC内的一点，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AP'C'，则可以构造出等边△APP'，得AP=PP'，CP=CP'，所以PA+PB+PC的值转化为PP'+PB+P'C'的值，当B，P，P'，C四点共线时，线段BC的长为所求的最小值，即点P为△ABC的“费马点”．
(1)【拓展应用】
如图1，点P是等边△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，将△PAC绕点A逆时针旋转60°得到△AP'C'．
①若PA=3，则点P与点P'之间的距离是______；
②当PA=3，PB=5，PC=4时，求∠AP'C的大小；
(2)如图2，点P是△ABC内的一点，且∠BAC=90°，AB=6，AC=23，求PA+PB+PC的最小值．
专题15.7 轴对称图形中的最值问题十大考点
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc26211" 【题型1 两点之间线段最短】 PAGEREF _Tc26211 \h 1
\l "_Tc27960" 【题型2 垂线段最短】 PAGEREF _Tc27960 \h 4
\l "_Tc30887" 【题型3 平行线之间的距离最短】 PAGEREF _Tc30887 \h 9
\l "_Tc5892" 【题型4 将军饮马（两定一动）】 PAGEREF _Tc5892 \h 14
\l "_Tc22693" 【题型5 三点共线（两定一动最大值）】 PAGEREF _Tc22693 \h 18
\l "_Tc24968" 【题型6 双对称周长最小】 PAGEREF _Tc24968 \h 22
\l "_Tc12728" 【题型7 两定两动】 PAGEREF _Tc12728 \h 29
\l "_Tc17418" 【题型8 两定一定长】 PAGEREF _Tc17418 \h 36
\l "_Tc31265" 【题型9 两动一定】 PAGEREF _Tc31265 \h 41
\l "_Tc28588" 【题型10 费马点】 PAGEREF _Tc28588 \h 45
【题型1 两点之间线段最短】
【例1】（2023春·福建宁德·八年级校考期中）如图，平地上A，B两点位分别位于一条排水沟的两旁，其上用钢梁覆盖，位于A处的蚂蚁从第 号钢梁上通过到达B处，才能使得全程路程最短．

【答案】4
【分析】将点A向右移动两个钢梁之间的距离长度，得到点A'，再连接A'B，与哪个钢梁相交，就从哪个钢梁上通过．
【详解】解：将点A向右移动两个钢梁之间的距离长度，得到点A'，再连接A'B，如下图：

线段A'B与4号钢梁相交，则从4号钢梁上通过时，全程路程最短，
故答案为：4
【点睛】此题考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，先对A点进行平移．
【变式1-1】（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）在同一平面内，线段AB=5cm，C为任意一点，则AC+BC的最小值为 ．
【答案】5cm
【分析】分三种情况讨论∶ 当点C在线段AB上时， 当点C在线段AB的延长线或反向延长线上时， 点C在线段AB外时，结合两点之间，线段最短，即可求解．
【详解】解：当点C在线段AB上时， AC+BC=AB=5cm，
当点C在线段AB的延长线或反向延长线上时，
∴AC+BC>AB=5cm，
点C在线段AB外时，
∵两点之间，线段最短，
∴AC+BC>AB=5cm，
综上所述，AC+BC的最小值为5cm．
故答案为：5cm．
【点睛】本题主要考查了线段之间的数量关系，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·山西运城·八年级统考期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题利用轴对称的性质，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题，结合三角形的三边关系解题即可．
【详解】解：如图：作点A关于街道的对称点A'，连接A'B交街道所在直线于点C，
∴ A'C=AC，
∴ AC+BC=A'B，
在街道上任取除点C以外的一点C'，连接A'C'，BC'，AC'，
∴ AC'+BC'=A'C'+BC'，
在ΔA'C'B中，两边之和大于第三边，
∴ A'C'+BC'>A'B，
∴ AC'+BC'>AC+BC，
∴点C到两小区送奶站距离之和最小．

故选：C．
【点睛】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．本题还会有变式：请你找出点C的位置．
【变式1-3】（2023春·全国·八年级课堂例题）[应用意识]如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直．设两条河的宽度相同且保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短？（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【分析】根据两点之间线段最短，利用平移思想进行作图即可．
【详解】解：如图所示：

（1）过点P作PA⊥l1，垂足为A，过点Q作QB⊥l4，垂足为B；
（2）分别在PA和QB上截取PC=QD=河的宽度；
（3）连接CD，分别交l2和l3于点E和M；
（4）过点E和M分别作l1和l4的垂线段，垂足分别为F和N；
（5）连接PF和QN．则桥建在FE和MN处才能使两村之间的路程最短．
【点睛】本题考查最短路径问题．解题的关键是掌握两点之间线段最短，利用平移思想进行转化求解．
【题型2 垂线段最短】
【例2】（2023春·四川成都·八年级校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在线段BC上，CD=3.3，点E是AC边上一动点，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，当BF有最小值时，写出AE的值为 .

【答案】1.3
【分析】过D作BD垂线且使得B' D=BD，连接B' E，构造△ B' DE≌△BDF得BF= B' E，根据点到直线垂线段最短知B' E⊥AC时，B' E取最小值，求出此时AE即可．
【详解】解：如图，过D作BD垂线且使得B' D=BD，连接B' E，

∵∠EDF=∠ B' DB=90°，
∴∠BDF+∠ B' DF=∠ B' DF+∠ B' DE，
∴∠BDF=∠ B' DE，
在△ B' DE与△BDF中，
B'D=BD∠B'DE=∠BDFDE=DF，
∴△ B' DE≌△BDFSAS，
∴BF= B' E，
∵点到直线垂线段最短，
∴ B' E⊥AC时，B' E取最小值，
过点B'作B' G⊥AC交AC于G，
∵∠C=∠CD B' =∠CG B' =90°，
∴ AC∥BD,B'G∥CD，
∴ B' G=CD=3.3，CG= B' D=BD=8−3.3=4.7，
∴BF取最小值时AE=AG=AC−CG=1.3，
故答案为：1.3．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，点到直线垂线段最短，平行线之间的距离相等，作出辅助线构造△ B' DE≌△BDF是本题的关键．
【变式2-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，边长为4的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是 ．

【答案】1
【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．
【详解】解：取BC的中点G，连接MG，如图所示：

∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的高线，
∴HB=12AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
BG=BH∠MBG=∠NBHMB=NB，
∴△MBG≌△NBH(SAS)，
∴MG=NH，
根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，此时即HN最短，
∵∠BCH=12×60°=30°，CG=12AB=12×4=2，
在Rt△CGM中，∠MCG=30°，∠CMG=90°，MG=12CG=12×2=1，
∴HN=MG=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，含30°的直角三角形等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
【变式2-2】（2023春·全国·八年级课堂例题）如图，OB平分∠MON,A为OB的中点，AE⊥ON，垂足为E,AE=3,D为OM上的一个动点，BC∥OM,C是DA的延长线与BC的交点，求线段CD的最小值．

【答案】6
【分析】根据BC∥OM，OA=AB，可以证明△OAD≌△BAC，得到AD=AC继而得到CD=2AD，故线段CD的最小值转化为线段DA得最小值，根据垂线段最短，结合角的平分线的性质定理计算即可．
【详解】∵BC∥OM，
∴∠DOA=∠CBA，
∵点A为OB的中点
∴OA=AB，
∵∠DOA=∠CBAOA=BA∠DAO=∠CAB，
∴△OAD≌△BACASA，
∴AD=AC，
∴CD=2AD，
∴线段CD的最小值转化为线段DA得最小值，
根据垂线段最短，
∴DA⊥OM，
∵AE⊥ON，OB平分∠MON，
∴AE=AD，
∵AE=3，
∴AD=3，
∴CD=2AD=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了角的平分线性质定理，三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理，熟练掌握角的平分线性质定理，三角形全等，垂线段最短是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为AC上一动点，连接BD，以AD，BD为邻边作▱ADBE，连接DE，则DE长的最小值为 ．

【答案】9.6
【分析】过B作BF⊥AC于点F，利用勾股定理建立方程便可求得BF，由垂线段最短可知，当DE⊥AC时，DE有最小值，由于平行线间的距离处处相等，故这个最小值也就是BF的长度．
【详解】解：过B作BF⊥AC于点F，

∵平行四边形ADBE中，AD∥BE，即AC∥BE，
∵AB=AC=10，BC=12，
设CF=x，则AF=10−x，
∵BF2=CB2−CF2=AB2−AF2，
即122−x2=102−10−x2，
解得，x=7.2，
∴CF=3.6，
∴BF= BC2−CF2=122−7.22=9.6.，
由垂线段最短可知，当DE⊥AC时，DE有最小值，
由于平行线间的距离处处相等，AC∥BE，故这个最小值也就是BF的长度．
∴DE的最小值为9.6．
故答案为：9.6．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识；构造直角形求出BF是解题的关键．
【题型3 平行线之间的距离最短】
【例3】如图，直线，且a，b之间相距．点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段的最小值是 ．

【答案】8
【分析】根据垂线段最短进行求解即可
【详解】解：∵直线，点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，
∴根据垂线段最短可知，在运动过程中，当时，线段有最小值，
∵a，b之间相距，
∴线段的最小值为，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了平行线之间的距离的定义和垂线段最短，牢记平行线之间距离的定义和垂线段最短是本题的关键．
【变式3-1】如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．
【详解】解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，
此时，AD=CD，∠ABC=90°，
∴BD=AD=BD=AC=2，
∴BD的最小值为2．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．
【变式3-2】（2023春·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）直线，对平面内不在上，且不在上的任意一点，若到，的距离分别为，，则记．
(1)若，则线段与的公共点个数可能为______；
(2)若取最小值且，则的取值范围是______．
【答案】(1)0或1
(2)
【分析】（1）分两种情况进行讨论：当点A和B均在直线上方且到的距离相等时；当点A和B在直线，之间时，作出相应图形即可求解；
（2）根据题意得出，分两种情况分析：当点P在上方或下方时，当点P在，之间时，结合图形求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，当点A和B均在直线上方且到的距离相等时，
此时线段与的公共点个数为0；

当点A和B在直线，之间时，如图所示：
此时线段与的公共点个数为1；

故答案为：0或1；
（2）当取最小值且时，如图所示：
此时点A恰好在，的中间直线上，
∴，之间的距离为2，即，

当点P在上方或下方时，如图所示：

此时即为，之间的距离为2；
当点P在，之间时，如图所示：

∵，
∴当点P在，的中间直线上时，，
当点P不在，的中间直线上时，；
综上可得：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查垂线的定义及点到直线的距离，理解题意，作出相应图形求解是解题关键．
【变式3-3】（2023春·八年级课时练习）如图，直线，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，于点C，交射线AB于点E，，，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．
（1）当时，有最小值，求m的值；
（2）当（m为（1）中的取值）时，探究、与的关系，并说明理由；
（3）当（m为（1）中的取值）时，直接写出、与的关系．
【答案】（1）10；（2），见解析；（3）或
【分析】（1）根据P、C、D三点共线时，即点P与点E重合时PC+PD的值最小，解答即可；
（2）当t＜m时，过P在AE上，过点P作PH∥a∥b，根据平行线的性质可得结论；
（3）分两种情况讨论，当点P在线段BE上时，当点P在线段AB的延长线上时，然后仿照第（2）问的证明方法，作出辅助线，根据平行线的性质可得结论．
【详解】解：（1）当点P与E不重合时，在中，，
当点P与E重合时，此时最小，
∴．
∵，，
∴．
∴．
故时，值最小；
（2），理由如下：
如图，当即时，点P在AE上，过点P作，
∵，
∴．
∴，，
∴．
∵，
∴；
（3）当m＜t≤15即10＜t≤15时，点P在线段BE上，过点P作PHa，如图：
又∵ab，
∴PHab，
∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，
∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，
又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，
∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，
即当10＜t≤15时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°；
当t＞15时，点P在线段AB的延长线上，过点P作PGa，如图：
又∵ab，
∴PGab，
∴∠PCM+∠CPG＝180°，∠PDA+∠DPG＝180°，
∴∠CPG＝180°－∠PCM， ∠DPG＝180°－∠PDA，
又∵∠CPD＝∠DPG－∠CPG，
∴∠CPD＝（180°－∠PDA）－（180°－∠PCM）
＝180°－∠PDA－180°＋∠PCM
＝∠PCM－∠PDA，
∴∠PCM＝∠CPD+∠PDA．
综上所述，当t＞10时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质及正确作出辅助线是解题的关键．
【题型4 将军饮马（两定一动）】
【例4】（2023春·广东揭阳·八年级统考期末）△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2， P为线段AB上一动点，D为BC边的中点，则PC+PD的最小值为 ．
【答案】5
【分析】作C点关于AB的对称点C'，连接C'D交AB于P点，连接C'B，根据勾股定理即可求出C'D的长，即 PC+PD的值最小值.
【详解】
解：如图，作C点关于AB的对称点C'，连接C'D交AB于P点，则PC+PD=PC'+PD=C'D，根据“两点之间线段最短”可知此时PC+PD的值最小，
连接C'B，
∵∠ACB=90°,AC=BC=2,
∴∠ABC=45°，
∵C点与C'关于AB对称，
∴C'B=CB=2,∠C'BA=∠CBA=45°,
∴∠C'BC=90°,
∵BC=2, D为BC边的中点，
∴BD=1,
∴C'D=C'B2+BD2=22+12=5,
∴PC+PD的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了轴对称以及求最短路径问题，熟练掌握将军饮马模型是解题的关键.
【变式4-1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

【答案】17km
【分析】如图（见详解），将小河看成直线MN，由题意先作A关于MN的对称点A'，连接A'B，构建直角三角形，则A'B就是最短路线；在Rt△A'DB中，∠A'DB=90°，BD=8km，A'D=AD+A'A，利用勾股定理即可求出A'B．
【详解】如图，做出点A关于小河MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，则A'B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．

由题意知：A'D=4+4+7=15km，BD=8km，∠D=90°，
在Rt△A'DB中，由勾股定理求得A'B=A'D2+BD2=17km，
则他要完成这件事情所走的最短路程是17km．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是 ．
【答案】4
【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC=∠A'BC'=60°，A'B=AB=BC=2，证明△CBD≌△A'BD，得到CD=A'D，推出当A、D、A'三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=A'B+AB=4．
【详解】解：如图，连接A'D，
∵正△ABC的边长为2，△ABC与△A′BC′关于直线l对称，
∴∠ABC=∠A'BC'=60°，A'B=AB=BC=2，
∴∠CBC'=60°，
∴∠CBC'=∠A'BC'，
∵BD=BD，
∴△CBD≌△A'BD，
∴CD=A'D，
∴AD+CD=A'D+CD，
∴当A、D、A'三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=A'B+AB=4，
故答案为：4．
．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【变式4-3】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE=3，
(1)求BC的长；
(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为_________．
【答案】(1)9
(2)9
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可证△ABE为等腰三角形，由角度可证△ACE为30°直角三角形，再由线段之间的关系即可求出BC的长；
（2）根据将军饮马原理即可得出PA+PC的最小值为BC的长度．
【详解】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=12(180°−∠BAC)=30°
∵AB边的垂直平分线交AB于点D，
∴BE=AE=3，
∴∠BAE=∠B=30°
∴∠CAE=∠BAC−∠BAE=120°−30°=90°
在Rt△CAE中，∠C=30°
∴CE=2AE=6
∴BC=BE+CE=3+6=9
（2）解：如图，
取点A关于直线DE的对称点，即点B；连接B,C两点，与直线DE交于点P(E)，
∵ PA=PB
∴ PA+PC=PB+PC
根据两点之间线段最短
则BC即为PA+PC的最小值，最小值为9
【点睛】本题考查了图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分利用是解题关键．
【题型5 三点共线（两定一动最大值）】
【例5】（2023春·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA−PB的最大值为 .
【答案】8cm
【分析】根据垂直平分线的性质得到MA=MC，再利用三角形两边之差小于第三边解答即可．
【详解】解：∵MN垂直平分AC，
∴MA=MC，
又∵C△BMC=BM+MC+BC=20cm，BM+MA=AB=12cm，
∴BC=20−12=8cm，
在MN上取点P，连接PA、PB、PC，
∵MN垂直平分AC，
∴PA=PC，
∴PA−PB=PC−PB，
在△PBC中PC−PB当P、B、C共线时，即P运动到与P'重合时，(PC−PB)有最大值，
此时PC−PB=BC=8cm．
故答案为：8cm．
【点睛】本题考查了线段之差的最大值，熟练运用三角形边角关系与垂直平分线的性质是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．
（2）在直线MN上找点P，使|PB﹣PA|最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出|PB﹣PA|的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，|PB﹣PA|的最大值为3．
【分析】（1）利用网格特点，先画出A、B、C关于直线MN的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可；
（2）由于PA=PA1，则|PB﹣PA|=|PB﹣PA1|，而由三角形的三边关系可得|PB﹣PA1|≤A1B，当P、A1、B三点共线时取等号，从而可得答案．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，点P为所作，|PB﹣PA|的最大值是A1B的长，为3．
【点睛】本题考查了作图—轴对称变换、轴对称的性质和三角形的三边关系，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB=6，则BP−PE的最大值是 ．
【答案】3
【分析】连接PC，则BP=CP，BP−PE=CP-PE，当点P与点A重合时，CP-PE=CE，进而即可求解．
【详解】解：连接PC，
∵在等边△ABC中，AB=6，P是△ABC的中线AD上的动点，
∴AD是BC的中垂线，
∴BP=CP，
∴BP−PE=CP-PE，
∵在△CPE中，CP-PE＜CE，
∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE，
∵E是AC边的中点，
∴BP−PE的最大值=6÷2=3．
故答案是：3．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP，得到BP−PE=CP-PE，是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，AB=AC=5，∠BAC=110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD=25°，P为AD上一动点，则PB−PC的最大值是 ．
【答案】5
【分析】作点B关于射线AD的对称点B'，连接AB'、CB'、B'P．则AB=AB'，PB'=PB，△AB'C是等边三角形，在△PB'C中，PB'−PC≤B'C，当P、B'、C在同一直线上时，PB'−PC取最大值B'C，即为5．所以PB'−PC的最大值是5．
【详解】解：如图，
作点B关于射线AD的对称点B'，连接AB'、CB'，B'P．
则AB=AB'，PB'=PB，∠B'AD=∠BAD=25°，∠B'AC=∠BAC−∠BAB'=110°−25°−25°=60°．
∵ AB=AC=5，
∴AB'=AC=5，
∴ △AB'C是等边三角形，
∴B'C=5，
在△PB'C中，PB'−PC≤B'C，
当P、B'、C在同一直线上时，PB'−PC取最大值B'C，即为5．
∴PB'−PC的最大值是5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键．
【题型6 双对称周长最小】
【例6】（2023春·福建福州·八年级统考开学考试）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=105°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一个点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM= °

【答案】150
【分析】要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A'，A″，即可得出∠A'+∠A″=75°，进而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA'M+∠A″)，即可得出答案．
【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A'，A″，连接A'A″，交BC于M，交CD于N，则A'A″即为△AMN的周长最小值．

∵∠DAB=105°，
∴∠A'+∠A''=180°−∠BAD=180°−105°=75°，
∵∠A'=∠MAA'，∠NAD=∠A″，且∠A'+∠MAA'=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠A'+∠MAA'+∠NAD+∠A″=2(∠A'+∠A″)=2×75°=150°
故答案为：150．
【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
【变式6-1】（2023春·辽宁辽阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A−2,3，B−3,1，C1,−2．
(1)请在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A的对应点A1的坐标；
(2)△ABC的面积是________；
(3)在y轴上有一点P，使得△ABP的周长最小，请直接写出点P的坐标及△ABP的周长最小值．
【答案】(1)画图见解析，A12，3
(2)5.5
(3)P（0，115），29+5
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点并顺次连接A1、B1、C1，进而求出A1的坐标即可；
（2）利用割补法计算△ABC的面积即可；
（3）如图，连接A1B交y轴于点P'，连接P'A，PA1，根据轴对称的性质可推出当A1、B、P三点共线时，PA1+PB最小，即△ABP的周长最小，此时点P与点P'重合，最小值为AB+A1B，据此求解即可．
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1为所求；
∴A12，3；

（2）解：△ABC的面积=4×5−12×1×2−12×3×4−12×3×5=5.5；
（3）解：如图，连接A1B交y轴于点P'，连接P'A，PA1，
∴PA=PA1，
∴△ABP的周长=PA+PB+AB=PA1+PB+AB，
∴当A1、B、P三点共线时，PA1+PB最小，即△ABP的周长最小，此时点P与点P'重合，最小值为AB+A1B，
设直线A1B解析式为y=kx+b，
∴−3k+b=12k+b=3，
解得k=25b=115，
∴直线A1B解析式为y=25x+115，
在y=25x+115中，当x=0时，y=115，
∴P'0，115，
∵A1B=2−−32+3−12=29，AB=−2−−32+3−12=5，
∴点P的坐标为0，115，△ABP的周长最小值29+5．

【点睛】本题考查了，一次函数与坐标轴的交点问题，割补法求面积，坐标与图形变化——轴对称：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了最短路径问题．
【变式6-2】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得△PMQ的周长最小．
【答案】见解析．
【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作出点M关于OA和OB的对称点M′和M″，连接M′M″交OA于P，交OB于点Q，则M′M″即为△PMQ最小周长．
【详解】解：如图，
作出点M关于OA和OB的对称点M′和M″，
连接M′M″交OA于P，交OB于点Q，
则M′M″即为△PMQ最小周长．
所以点P，点Q即为所求．
【点睛】此题主要考查对称性的应用，解题的关键是根据题意找到对称点．
【变式6-3】（2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=8．如图1在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点．

(1)求点E的坐标及折痕DB的长；
(2)如图2，在OC、CB边上选取适当的点F、G，将△FCG沿FG折叠，使点C落在OA上，记为H点，设OH=x，GC=y，写出y关于x的关系式以及x的取值范围；
(3)在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且MN=5，取线段BA段的中点为F，当点M运动到哪里时，四边形BMNF的周长最小？请画出示意图并求出周长最小值．
【答案】(1)E4,0；DB=125
(2)y=x2+32x4≤x≤8
(3)图见解析，周长最小值为22
【分析】（1）根据矩形的性质得到BC=OA=10，AB=OC=8，再根据折叠的性质得到BC=BE=10，DC=DE，易得AE=6，则OE=10−6=4，即可得到E点坐标；在Rt△ODE中，设DE=x，则OD=OC−DC=OC−DE=8−x，利用勾股定理可计算出x，再在Rt△BDE中，利用勾股定理计算出BD；
（2）过点H作HM⊥BC于M，则MG=HG−x，从而在Rt△HMG中可用x表示出HG的长，利用梯形的面积公式可用x表示出y，点F与点O重合时是OH取得最大值的点；
（3）如图所示，过点B作BB'∥MN，且BB'=MN=5，作F关于x轴的对称点F'，从而推出四边形BMNF的周长=BM+MN+NF+BF=B'N+MN+NF+BF=B'N+NF+9，则要使四边形BMNF的周长最小，即B'N+NF最小，即B'N+NF'最小，故当B'，N，F'三点共线时，B'N+NF'有最小值，即B'F'，根据两点距离公式即可求出B'F'，然后求出直线B'F'的解析式，即可求出N点坐标，从而得到M点坐标．
【详解】（1）解：∵四边形OABC为矩形，
∴BC=OA=10，AB=OC=8，
∵△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边E点上，
∴BC=BE=10，DC=DE，

在Rt△ABE中，BE=10，AB=8，
∴AE=BE2−AB2=6，
∴OE=10−6=4，
∴E点坐标为(4,0)；
在Rt△ODE中，设DE=x，则OD=OC−DC=OC−DE=8−x，
∵DE2=OE2+OD2
∴x2=42+8−x2，
解得x=5，
∴DE=5
在Rt△BDE中，BD=BC2+CD2=55；
（2）解：过点H作HM⊥BC于M，
∵BC∥OA,MH⊥BC，
∴∠CMH=∠HMG=∠MHO=∠MHA=90°，
又∵∠OCH=90°，
∴四边形OCMH是矩形
∴CM=OH，MH=OC=8，
∵△GCF沿GF折叠得到△GHF，
∴HG=CG，
∴MG=CG−CM=CG−OH=CG−x，
在Rt△HMG中，HG2=MG2+MH2，即HG2=CG−x2+64，
解得：CG=64+x22x，
即y=x2+32x4≤x≤8；

（3）解：如图所示，过点B作BB'∥MN，且BB'=MN=5，作F关于x轴的对称点F'，
∴四边形BB'NM是平行四边形，NF'=NF
∴BM=B'N，
∵OA=10,AB=8，F为AB中点，
∴B点坐标为10,8，F坐标为10,4，BF=4，
∴F'的坐标为10,−4，B'的坐标为15,8，
∴四边形BMNF的周长=BM+MN+NF+BF=B'N+MN+NF+BF=B'N+NF+9，
∴要使四边形BMNF的周长最小，即B'N+NF最小，即B'N+NF'最小，
∴当B'，N，F'三点共线时，B'N+NF'有最小值，即B'F'，
∵B'的坐标为15,8，F'的坐标为10,−4，
∴B'F'=10−152+−4−82=13，
∴四边形BMNF的周长的最小值=13+9=22，
设直线B'F'的解析式为y=kx+b，
∴10k+b=−415k+b=8，
解得k=125b=−28，
∴直线B'F'的解析式为y=125x−28，
令y=0，x=353，
∴N点坐标为353,0，
∴M点坐标为203,0，
∴当M运动到203,0时，四边形BMNF的周长最小，最小值为22．

【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质及最短路径的知识，综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，在求自变量范围的时候，要注意寻找极限点，不要想当然的判断．
【题型7 两定两动】
【例7】（2023春·福建泉州·八年级校考期末）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
解法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为线段A'B的长．

(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；
(2)应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于点O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；
②如图3，∠AOB=20°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=ON=2，点P，Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是________．
【答案】(1)见解析
(2)①12；②2
【分析】（1）根据模型作出图形；
（2）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，交OA、OB于C、D，则△PCD的周长最小，进而根据轴对称的性质推出△MON为等边三角形，进一步得出结果；②作点M关于OB的对称点M'，点N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OB于P，交OA于Q，连接PM、NQ，此时MP+PQ+QN的值最小，最小值为M'N'，进而推出△M'ON'为等边三角形，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，

（2）①如图2，

作法：（Ⅰ）作P关于OA的对称点M，
（Ⅱ）作点P关于OB的对称点N，
（Ⅲ）连接MN，分别交OA于点C，交OB于D，
则△PCD的周长最小，
连接OM、ON，
∵点M和点P关于OA对称，
∴OM=OP=12，∠MOC=∠POC，
同理可得，ON=OP=12，∠POD=∠NOD，
∴OM=ON，
∠MOC+∠POC+∠POD+∠NOD=2∠POC+2∠POD=2(∠POC+∠POD)=2∠AOB=60°，
∴△MON为等边三角形，
∴MN=12，
∴△PCD的周长=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12；
②如图3，

作法：（Ⅰ）作点M关于OB的对称点M'，点N关于OA的对称点N'，
（Ⅱ）连接M'N'交OB于P，交OA于Q，
（Ⅲ）连接PM、NQ，
∵OM=OM'=2ON=ON'=2PM=PM'QN=QN'，
∴MP+PQ+QN=PM'+PQ+QN'=M'N'，
∴此时MP+PQ+QN的值最小，最小值为M'N'，
∵OM=OM'，ON=ON'，MM'⊥OB，NN'⊥OA，
∠M'OB=∠AOB=20°，∠N'OA=∠AOB=20°，
∴∠M'ON'=60°，
∴ △M'ON'为等边三角形，
∴M'N'=OM'=2，即MP+PQ+QN 的值最小为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．
【变式7-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是 ．
【答案】10
【分析】作A点关于BC的对称点A1，连接A1M，作E点关于DC的对称点E1，连接E1N，因此AM＋MN＋EN=A1M＋MN＋E1N，所以最小值为A1E1，用勾股定理算出即可．
【详解】解：如图，作A点关于BC的对称点A1，连接A1M，作E点关于DC的对称点E1，连接E1N，
∵∠B＝∠D＝90°，点A和点A1关于BC对称，点E和点E1关于DC对称，
∴AM=A1M，EN=E1N，
∴AM＋MN＋EN=A1M＋MN＋E1N≥A1E1，
∴AM＋MN＋EN的最小值是A1E1，
∵AD＝AB＝4，E是AD中点，
∴AB=A1B=4，ED=E1D=2，
∴AA1=8，AE1=6，
∵∠BAD＝90°，
∴A1E1=62+82=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了线段和的最值问题，勾股定理、轴对称性质，作出辅助线是本题的关键．
【变式7-2】（2023春·安徽芜湖·八年级芜湖市第二十九中学校考期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】分别作B、C关于AG和AH对称的点B'、C'，连接BP、CQ、B'C、C'Q，PQ，得出BP＋PQ＋CQ的最小值为B'C'，再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得B'P+PN和C'Q+QN即可求得．
【详解】解：分别作B、C关于AG和AH对称的点B'、C'，连接BP、CQ、B'C、C'Q，PQ
∵HC与GB关于y轴对称，
∴GO=HO,BO=CO,
∵x轴⊥y轴，
∴AG=AH，B'、C'关于y轴对称，
∴当B'、C'，P、Q在同一条直线上时，BP＋PQ＋CQ=B'P＋PQ＋C'Q=B'C'最小，此时B'C'//x轴，
∵∠GAH＝60°，
∴△AGH为等边三角形，
∴∠AGO=60°，
∵B'C'//x轴，B、B'关于AG对称，
∴∠BPG=∠B'PG=∠PGB=60°,B'P=BP，
∴△BPG为等边三角形，
过作PM⊥GO交x轴与M，
∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），
∴BG=1，BO=2，
∴PB'=PB=BG=1,BM=12BG=12，
∴B'P+PN=BP+MB+BO=1+12+2=72，
同理可得C'Q+QN=72,
即B'C'=7．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化．能借助轴对称的性质正确变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键．
【变式7-3】（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）如图，在等边△ABC中，AC=12，AD是BC边上的中线，点P是AD上一点，且AP=5．如果点M、N分别是AB和AD上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为 ．

【答案】13
【分析】作点P关于AB的对称点P'，连接CP'，交AD于点N'，交AB于点M'，连接PM'，BN'，连接AP'，根据等边三角形的性质得出AC=AB，∠BAC=60°，根据三线合一得出AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=12×60°=30°，证明AD垂直平分BC，得出BN'=CN'，根据轴对称的性质得出AP'=AP=5，PM'=P'M'，∠P'AB=∠DAB=30°，证明△ACP'为直角三角形，得出P'C=AP'2+AC2=13，根据PM'+M'N'+BN'=P'M'+M'N'+CN'=P'C，由两点之间线段最短，得出当点M在M'处，点N在N'处时，PM+MN+NB最小，且最小值为P'C的长度，即最小值为5．
【详解】解：作点P关于AB的对称点P'，连接CP'，交AD于点N'，交AB于点M'，连接PM'，BN'，连接AP'，如图所示：

∵△ABC为等边三角形，
∴AC=AB，∠BAC=60°，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=12×60°=30°，
∴AD垂直平分BC，
∴BN'=CN'，
∵点P关于AB的对称点为P'，
∴AP'=AP=5，PM'=P'M'，∠P'AB=∠DAB=30°，
∴∠P'AC=60°+30°=90°，
∴△ACP'为直角三角形，
∴P'C=AP'2+AC2=13，
∴PM'+M'N'+BN'=P'M'+M'N'+CN'=P'C，
∵两点之间线段最短，
∴当点M在M'处，点N在N'处时，PM+MN+NB最小，且最小值为P'C的长度，即最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对称的性质．
【题型8 两定一定长】
【例8】（2023春·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，A0,4，B8,0，C8,2，M，N是线段OB上的两个动点，且MN=2，则△AOM与△NCB周长和的最小值是 ．
【答案】62+12
【分析】将点C项左平移2个单位得到C'，找出点A关于x轴的对称点A'，连接A'C'交x轴于一点即为最短距离点，根据勾股定理即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
C△AOM+C△NCB=OA+BC+OM+NB+AM+CN=OA+BC+OB−2+AM+CN，
∵A0,4，B8,0，C8,2，
∴当AM+CN最小即可得到答案，
点C项左平移2个单位得到C'，找出点A关于x轴的对称点A'，连接A'C'交x轴于一点即为最短距离点，如图所示，
根据勾股定理可得，
AM+CN=A'C'=62+62=62，
∴△AOM与△NCB周长和的最小值是：62+4+2+(8−2)=62+12，
故答案为：62+12．
【点睛】本题考查最短距离问题及勾股定理，解题的关键是根据轴对称的性质及两点间线段距离最短得到最小距离位置．
【变式8-1】（2023春·河南安阳·八年级校考阶段练习）已知，如图，线段CD长为8，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，AC=4，BD=3，EF为线段CD上两动点，F在E右侧且EF=1，则由A到B的路径：AE+EF+FB的最小值为 ．
【答案】72+1
【分析】过点A作AA'∥CD且AA'=EF=1，作A'关于CD的对称点A1，连接A'A1交CD于点O，连接A1B交CD于点F，过点A作AE∥A'F交CD于E，证明△ACE≌△A'OF，再根据全等三角形的性质，得出AE=A'F，再根据轴对称的性质，得出A'F=A1F，进而得出AE+FB=A1F+FB，再根据两点之间线段最短，得出AE+FB的最小值为A1B的长，此时，AE+EF+FB的值最小，过点A1作A1H⊥BD交BD的延长线于H，再根据线段之间的数量关系，得出A1H=7，BH=7，再根据勾股定理，得出A1B=72，进而即可得出答案．
【详解】解：过点A作AA'∥CD且AA'=EF=1，作A'关于CD的对称点A1，连接A'A1交CD于点O，连接A1B交CD于点F，过点A作AE∥A'F交CD于E，
∵AE∥A'F，
∴∠AEC=∠A'FO，
∵AC=A'O，∠C=∠AOF=90°，
∴△ACE≌△A'OFAAS，
∴AE=A'F，
∵A'关于CD的对称点A1，
∴A'F=A1F，
∴AE=A1F，
∴AE+FB=A1F+FB，
∴AE+FB的最小值为A1B的长，此时，AE+EF+FB的值最小，
过点A1作A1H⊥BD交BD的延长线于H，
∴A1H=CD−AA'=7，
∵AC=A'O=A1O=DH，
∴BH=AC+BD=7，
∴A1B=BH2+A1H=72，
∴AE+EF+FB的最小值为72+1．
故答案为：72+1
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、两点之间线段最短、勾股定理，解本题的关键在正确作出辅助线．
【变式8-2】（2023春·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，则GE+CF的最小值为（ ）

A．23B．22C．32D．33
【答案】C
【分析】将FC沿着FE向左平移使F与E重合，得到C'E，根据动点最值问题“将军饮马”模型，作G关于AB的对称点G'，连接C'G'，此时GE+CF的最小值为线段C'G'长，利用勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：将FC沿着FE向左平移使F与E重合，得到C'E，如图所示：

由平移性质得到EC'=FC,EF=CC'，
∴ GE+CF=GE+EC'，
作G关于AB的对称点G'，连接C'G'、G'E、EC'，如图所示：

∴由对称性得到G'E=GE，
∴ GE+CF=GE+EC'=G'E+EC'，
由图可知，GE+CF=GE+EC'=G'E+EC'≥G'C'，此时，当G'、E、C'三点共线时，GE+CF有最小值，为线段C'G'长，
∵ EF=1，
∴CC'=EF=1，
在长方形ABCD中，AB=4，BC=2，由矩形性质可得AD=BC=2,AB=DC=4，
∴DC'=DC−CC'=4−1=3，
∵ G是AD的中点，
∴GA=12AD=1，
∵ G与G'关于AB的对称，
∴AG'=AG=1，
在长方形ABCD中，∠D=90°，
∴在Rt△G'DC'中，∠D=90°，DG'=AD+AG'=3，DC'=3，由勾股定理得到G'C'=C'D2+G'D2=32+32=32，
∴ GE+CF的最小值32，
故选：C．
【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及平移性质、对称性质、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型题型的识别及做题方法步骤是解决问题的关键．
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B（2，0），点C，D是y轴上两个动点（点D在点C下方）且CD=2，连接AC，BD，则AC+BD的最小值为
【答案】13
【分析】过A做y轴的平行线并截取AM=CD=2，做M关于y轴的对称点N，过N作NE⊥y轴，垂足为E.连接BN，然后在Rt△BNE中运用勾股定理即可解答．
【详解】解：将线段AC沿y轴方向向下平移两个单位，使C、D重合，设A点的对应点为AA1,连接AA1,作线段AA1关于y轴的对称线段EA2，连接BN交y轴于F,
由平移和对称的性质可得AC=DA1=AA2，EA2=AA1=2,
∵DA1+BD≥A2B
∴线段A2B的长即为AC+BD的最小值
∵在Rt△BA2E中，BE=2-（-1）=3，EA2=2
∴A2B=32+22=13．
∴AC+BD的最小值为13．
故填13．
【点睛】本题主要考查了运用轴对称解决最短路径问题、坐标与图形、勾股定理等知识点，灵活运用轴对称知识和数形结合思想成为解答本题的关键．
【题型9 两动一定】
【例9】（2023春·湖南衡阳·八年级校联考期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为 ．

【答案】6
【分析】过点C作CP⊥AB于点P，交BD于点E，过点E作EF⊥BC于F，则CP即为CE+EF的最小值，再根据三角形的面积公式求出CP的长，即为CE+EF的最小值．
【详解】解：过点C作CP⊥AB于点P，交BD于点E，过点E作EF⊥BC于F，

∵BD平分∠ABC，PE⊥AB，EF⊥BC，
∴PE=EF，
∴CP=CE+PE=CE+EF的最小值．
∵△ABC的面积为18，AB=6，
∴12×6×CP=18，
∴CP=6．
即CE+EF的最小值为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将CE+EF的最小值为转化为CP，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示，在等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB，AC上，则线段DE+DF的最小值是（ ）
A．BC边上高的长B．线段EF的长度
C．BC边的长度D．以上都不对
【答案】A
【分析】作AD⊥BC于点D，当DE⊥AB、DF⊥AC时，线段DE+DF有最小值，根据等边三角形的性质可得DE+DF=AD，进而得结论．
【详解】解：如图，作AD⊥BC于点D，当DE⊥AB、DF⊥AC时，线段DE+DF有最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴.DE=12AD,DF=12AD，
∴DE+DF=AD，
∴线段DE+DF的最小值是BC边上高的长．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．
【变式9-2】（2023春·江苏淮安·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8，AC=10，点P、Q分别是边BC、AC上的动点，则AP+PQ的最小值等于（ ）

A．4B．245C．5D．485
【答案】D
【分析】由勾股定理可得AB=6，作A关于BC的对称点A'，过点A'作A'Q⊥AC，交AC于点Q，交BC于点P，根据对称可得：AP+PQ=A'P+PQ≥A'Q，得到当A',P,Q三点共线时，AP+PQ最小，再根据垂线段最短，得到A'Q⊥AC时，A'Q最小，据此求解即可．
【详解】解：在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8，AC=10，
∴AB=AC2−BC2=6
作A关于BC的对称点A'，过点A'作A'Q⊥AC，交AC于点Q，交BC于点P，

∵AP+PQ=A'P+PQ≥A'Q，
∴当A',P,Q三点共线时，AP+PQ最小，
∵垂线段最短，
∴A'Q⊥AC时，A'Q最小，
连接A'C，
∵A,A'关于BC对称，
∴A'B=AB=6，
∴AA'=12，
∵A'Q⊥AC，AB⊥BC
∴S△ACA'=12AA'⋅BC=12AC⋅A'Q，即：12×12×8=12×10×A'Q，
∴A'Q=485．
故选D．
【点睛】本题主要考查利用轴对称求线段和最小问题．熟练掌握通过构造轴对称解决线段和最小是解题的关键．
【变式9-3】（2023春·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、AD上的动点，则MN+BN的最小值是 ．

【答案】4
【分析】过点C作CH⊥AB，垂足为H，连接CM，CN，根据等腰三角形三线合一性质可得AD是BC边上的中线，则AD垂直平分BC，BN=CN，得到MN+BN=MN+CN≥CM≥CH，则线段CH的长为MN+BN的最小值，根据含30°的直角三角形的性质求出CH即可．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB，垂足为H，连接CN，
∵AB=AC=8，AD⊥BC，
∴AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC，直线AD是等腰△ABC的对称轴，
∴BN=CN，
∵点M、N分别是线段AB、AD上的动点，
∴MN+BN=MN+CN≥CM≥CH，
∴当点M、N、C三点共线且点M与点H重合时，MN+BN取得最小值CH，
∵AB=AC=8，∠ACB=75°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=180°−∠ABC+∠ACB=180°−75°+75°=30°，
∵CH⊥AB，
∴∠AHC=90°，
∴CH=12AC=12×8=4，
∴MN+BN的最小值是4．
故答案为：4．

【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过三线合一的性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．也考查了含30°的直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质．
【题型10 费马点】
【例10】（2023春·全国·八年级专题练习）【问题提出】
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM，CM．若连接MN，则△BMN的形状是________．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB+AC=10，求BC的最小值．
【问题解决】
（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABCD，AB+BC=6千米，∠ABC=60°，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条AE,BE,CE，求三条路的长度和（即AE+BE+CE）最小时，平行四边形公园ABCD的面积．
【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为52；（3）平行四边形公园ABCD的面积为932（平方米）．
【分析】（1）由旋转得BN=BM，∠MBN=60°，可判断出△BMN是等边三角形即可；
（2）设AB=a，则AC=10-a，进而根据勾股定理得出BC2=2a−52+50即可得出结论；
（3）先判断出点A'，E'，E，C在同一条线上，设BF=x，进而依次得出AB=2x，BC=6-2x，CF=6-x，再利用勾股定理得出A'C2=4(x−32)2+27，得出x=32是A'C最小，进而求出A'F，BC，利用平行四边形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：△BMN的形状是等边三角形，理由如下;
由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°
∴△BMN为等边三角形
故答案为：等边三角形；
（2）解：设AB=a，
∵AB+AC=10，
∴AC=10-AB=10−a，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
BC2=AB2+AC2=a2+10−a2
=2a2−20a+100
=2a−52+50，
∵a−52≥0，
∴2a−52+50≥50，即BC2≥50，
∴BC≥52，
即BC的最小值为52；
（3）解：如图3，
将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'，
∴△ABE≌△A'BE'，
∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°，
∴△EBE'为等边三角形，
∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，
∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE，
要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C，
过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F，
在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°，
设BF=x，则A'B=2x，
根据勾股定理得，A'F=3x，
∵AB=A'B，
∴AB=2x，
∵AB+BC=6，
∴BC=6-AB=6-2x，
∴CF=BF+BC=6-x，
在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，
A'C2=A'F2+CF2=3x2+(6−x)2=4(x−32)2+27，
∴当x=32，即AB=2x=3时，A'C2最小，
此时，BC=6-3=3，A'F=3x=332，
∴平行四边形公园ABCD的面积为3×332=932（平方千米）．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，用代数式表示线段，利用配方法确定极值问题，判断出AB=BC时，AE+BE+CE最小是解本题的关键．
【变式10-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
【答案】22+62
【分析】以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．根据△PAM、△ABN都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN；根据当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，进而求得PA+PB+PC的最小值．
【详解】证明：如图所示，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．
由旋转可得，△AMN≌△ABP，
∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，
∴△PAM、△ABN都是等边三角形，
∴PA=PM，
∴PA+PB+PC=PM+MN+PC；
（3）当AC=BC=1时，AB=22，
当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，
∴AQ=12AB=22=CQ，NQ=62，
此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=22+62
【变式10-2】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ．
【答案】4+33
【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，则MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，推出AM＝MM′可得MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共线时最短；由于点E也为动点，可得当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝DG＋GE的值；
【详解】解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，
由性质的性质可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，
∴AM＝MM′，
∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，
∴D′M、MM′、ME共线时最短，
由于点E也为动点，
∴当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝D′G＋GE＝4+33
∴MA＋MD＋ME的最小值为4+33，
故答案为：4+33
【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
【变式10-3】（2023春·全国·八年级专题练习）【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”．
如图，点P是△ABC内的一点，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AP'C'，则可以构造出等边△APP'，得AP=PP'，CP=CP'，所以PA+PB+PC的值转化为PP'+PB+P'C'的值，当B，P，P'，C四点共线时，线段BC的长为所求的最小值，即点P为△ABC的“费马点”．
(1)【拓展应用】
如图1，点P是等边△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，将△PAC绕点A逆时针旋转60°得到△AP'C'．
①若PA=3，则点P与点P'之间的距离是______；
②当PA=3，PB=5，PC=4时，求∠AP'C的大小；
(2)如图2，点P是△ABC内的一点，且∠BAC=90°，AB=6，AC=23，求PA+PB+PC的最小值．
【答案】(1)①3；②150°；
(2)221
【分析】（1）①根据旋转的性质即可求出PP'的值；
②先证△ABP≌△ACP'，利用全等的性子求出对应的边长，通过勾股定理的逆定理得到∠CPP'=90°，即可求出∠AP'C的大小；
（2）将△APC绕C点顺时针旋转60°得到A'P'C，先求出∠BCA'=120°，然后证明△CPP'为等边三角形，当B、P、P'、A'四点共线时，PA+PB+PC和最小，用勾股定理求出BA'的值即可．
【详解】（1）①如图，将△PAC绕A逆时针旋转60°，
则AP=AP'，∠PAP'=60°，
∴△APP'为等边三角形，
∴PP'=PA=3；
②∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAP+∠PAC=60°，
又∵△APP'是等边三角形，
∴∠PAC+∠CAP'=60°，
∴∠BAP=∠CAP'，
在△ABP与△ACP'中，{AB=AC∠BAP=∠CAP'AP=AP'，
∴△ABP≌△ACP'（SAS），
∴BP=CP'=5,PP'=3,PC=4,
∴PP'2+PC2=CP'2，∴∠CPP'=90°，
∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=60°+90°=150°，
又∵旋转，∴∠AP'C=∠APC==150°；
（2）如图，将△APC绕C点顺时针旋转60°得到A'P'C，
则∠ACP=∠A'CP',∠ACP+∠ACP'=60°，
在Rt△ABC中，BC=AB2+AC2=62+(23)2=43，
∵AC=12BC,∴∠ABC=30°,∠ACB=60°，
∴∠ACP+∠BCP=60°，
又∵∠ACP=∠A'CP',∠ACP+∠ACP'=60°，
∴∠ACP'+∠A'CP'=60°，∴BCP+∠ACP+∠ACP'+∠A'CP'=120°，
过A'作A'D⊥BC交BC的延长线于点D，
则∠A'CD=∠BCD−∠BCA'=180°−120°=60°，
∴∠CA'D=30°，
∵A'C=AC=23, ∴CD=3（30°所对的直角边等于斜边的一半），
∴A'D=A'C2−CD2=3，
∵∠PCP'=60°,PC=CP'，∴△CPP'为等边三角形，
当B、P、P'、A'四点共线时，PA+PB+PC和最小，
在Rt△BDA'中，BD=BC+CD=43+3=53,DA'=3，
∴BA'=BD2+DA'2=(53)2+32=221，
∴PA+PB+PC的最小值为221．
【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键在于能够添加辅助线构造全等三角形解决问题．