沪科版（2024）八年级上册第15章 轴对称图形和等腰三角形15.2 线段的垂直平分线达标测试

这是一份沪科版（2024）八年级上册第15章 轴对称图形和等腰三角形15.2 线段的垂直平分线达标测试，共53页。

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\l "_Tc32378" 【题型1 利用线段垂直平分线的性质求长度】 PAGEREF _Tc32378 \h 1
\l "_Tc7832" 【题型2 利用线段垂直平分线的性质求最值】 PAGEREF _Tc7832 \h 2
\l "_Tc9321" 【题型3 利用线段垂直平分线的性质求角度】 PAGEREF _Tc9321 \h 3
\l "_Tc3497" 【题型4 利用线段垂直平分线的性质探究角度之间的关系】 PAGEREF _Tc3497 \h 4
\l "_Tc6718" 【题型5 利用线段垂直平分线的性质证明】 PAGEREF _Tc6718 \h 6
\l "_Tc12846" 【题型6 线段垂直平分线的判定】 PAGEREF _Tc12846 \h 7
\l "_Tc11587" 【题型7 尺规作线段垂直平分线】 PAGEREF _Tc11587 \h 8
\l "_Tc16260" 【题型8 线段垂直平分线的判定与性质的综合运用】 PAGEREF _Tc16260 \h 9
\l "_Tc22963" 【题型9 线段垂直平分线的实际应用】 PAGEREF _Tc22963 \h 10
【知识点1 线段垂直平分线的性质】
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
【题型1 利用线段垂直平分线的性质求长度】
【例1】（2023春·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若△ABC的周长是20，AB=4，AC=7，则△AEF的周长为（ ）

A．4B．7C．9D．11
【变式1-1】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB=3，BC=7，则AM的长为 ．
【变式1-2】（2023春·福建福州·八年级校考期中）如图，ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB=5，AC=3，则AE= ．

【变式1-3】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23cm，则OA的长为 ．

【题型2 利用线段垂直平分线的性质求最值】
【例2】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是 ．

【变式2-1】（2023春·江西九江·八年级统考开学考试）如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（ ）

A．28B．18C．10D．7
【变式2-2】（2023春·山东济南·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC=2，△ABC面积为3，则BM+MD长度的最小值等于 ．
【变式2-3】（2023春·山东青岛·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝ 时，△PDQ的周长最小．
【题型3 利用线段垂直平分线的性质求角度】
【例3】（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM=NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM=ND，若∠A=α，则∠C=（ ）

A．32αB．90°−12αC．120°−αD．2α−90°
【变式3-1】（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为 ．

【变式3-2】（2023春·四川甘孜·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B=32°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，求∠C的度数．

【变式3-3】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（ ）

A．αB．14α+90°C．12α+90°D．180°−12α
【题型4 利用线段垂直平分线的性质探究角度、线段之间的关系】
【例4】（2023春·福建三明·八年级统考期末）如图，四边形ABCD是长方形，E是边CD的中点，连接AE并延长交边BC的延长线于F，过点E作AF的垂线交边BC于M，连接AM．
（1）请说明 ΔADE ≌ ΔFCE；
（2）试说明AM = BC + MC；
（3）设S△AEM= S1，S△ECM= S2，S△ABM= S3，试探究S1，S2，S3三者之间的等量关系，并说明理由．
【变式4-1】（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）△ABC的两边AB、AC的中垂线交于边BC上的P点，则线段PA和BC的关系正确的是（ ）
A．PA12BCD．PA≥12BC
【变式4-2】（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．
(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．
【变式4-3】（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图1，在直角△ABC中，∠C=90°，分别作∠CAB的平分线AP和AB的垂直平分线DP，交点为P．
（1）如图2，若点P正好落在BC边上．
①求∠B的度数；
②求证：BC=3PC．
（2）如图3，若点C、P、D恰好在一条直线上，线段AD、PD、BC之间的数量关系是否满足AD+PD=BC？若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由．
【题型5 利用线段垂直平分线的性质证明】
【例5】（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在四边形ABDC中，AD所在直线垂直平分线段BC，过点C作CF∥BD交AB于点F，延长AB，CD交于点E．求证：

(1)CB平分∠ECF；
(2)∠ACF=∠E．
【变式5-1】（2023春·重庆綦江·八年级校联考期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D， DM丄AB与M， DN丄AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．
【变式5-2】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E、F在AB上，连接CE，CF， 且CF=BF．已知∠A=50°，∠ACE=30°，试证明∠CFE=∠CEF．

【变式5-3】（2023春·福建龙岩·八年级校考开学考试）已知（如图），在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AB于点E，连结EF．
(1)求证：BG=CF．
(2)试判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
【知识点2 线段垂直平分线的判定】
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）
【题型6 线段垂直平分线的判定】
【例6】（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．
(1)求证：AD垂直平分EF；
(2)若AB=3，AC=2，△ABC的面积是4，则DE= ．
【变式6-1】（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图所示，已知AD⊥BC于点D，BD=DC，AB+BD=DE，求证：点C在AE的垂直平分线上．

【变式6-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F，过点E作EG∥CD，交AB于点G，连接CG．

(1)求证：∠A+∠AEG=90°；
(2)求证：EC=EG；
(3)若CG=4，BE=5，求四边形BCEG的面积．
【变式6-3】（2023春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，AD与BC相交于点O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，连接OE，BD，求证；OE垂直平分BD．

【题型7 尺规作线段垂直平分线】
【例7】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，请用尺规作图法在AC上求作一点M，使MC+MB=AC，并连接MB．（保留作图痕迹，不写作法）

【变式7-1】（2023春·湖南郴州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．
(1)尺规作图：作边AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
(2)在（1）作出的图形中，求△ABD的周长．
【变式7-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳市福田区上步中学校考期中）如图，已知△ABC，ABEF，理由见解析
【分析】（1）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，从而得出BG=CF；
（2）再利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得出EG=EF，两边和大于第三边从而得出BE+CF>EF．
【详解】（1）证明：∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在△BGD与△CFD中，
∠DBG=∠DCFBD=CD∠BDG=∠CDF，
∴△BGD≌△CFDASA．
∴BG=CF．
（2）解：BE+CF>EF．
理由如下：连接EG，
∵△BGD≌△CFDASA，
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴DE垂直平分FG，
∴EG=EF．
∴在△EBG中，BE+BG>EG，
即BE+CF>EF．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的定义和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法并根据条件灵活选择是解题的关键．
【知识点2 线段垂直平分线的判定】
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）
【题型6 线段垂直平分线的判定】
【例6】（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．
(1)求证：AD垂直平分EF；
(2)若AB=3，AC=2，△ABC的面积是4，则DE= ．
【答案】(1)见解析
(2)85
【分析】（1）由角平分线的性质得DE=DF，再由Rt△AED≌Rt△AFDHL，得AE=AF，从而证明结论；
（2）根据三角形的面积公式，代入计算即可．
【详解】（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFDHL，
∴AE=AF，
∵DE=DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）∵DE=DF，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB⋅ED+12AC⋅DF=12DEAB+AC=4，
∵AB=3，AC=2，
∴DE=85，
故答案为：85．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图所示，已知AD⊥BC于点D，BD=DC，AB+BD=DE，求证：点C在AE的垂直平分线上．

【答案】见解析
【分析】由AD⊥BC，BD=DC，得到AD是BC的垂直平分线，因此AB=AC．再根据AB+BD=DE，可推出AC=CE，因此得证点C在AE的垂直平分线上．
【详解】∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC．
∵AB+BD=DE，
∴AB+BD=CD+CE=AC+CD，
∴AC=CE，
∴点C在AE的垂直平分线上．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质与判定是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F，过点E作EG∥CD，交AB于点G，连接CG．

(1)求证：∠A+∠AEG=90°；
(2)求证：EC=EG；
(3)若CG=4，BE=5，求四边形BCEG的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)四边形BCEG的面积为10．
【分析】（1）证明EG⊥AB，即可证明结论成立；
（2）利用角平分线性质定理即可证明结论成立；
（3）证明Rt△EBG≌Rt△EBCHL，推出BE是线段CG的垂直平分线，利用四边形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵EG∥CD，CD⊥AB，
∴EG⊥AB，
∴∠A+∠AEG=90°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，∠ACB=90°，
∴EC=EG；
（3）解：∵EC=EG，EB=EB，
∴Rt△EBG≌Rt△EBCHL，
∴BC=BG，
∴BE是线段CG的垂直平分线，
∴四边形BCEG的面积=12BE×CG=12×5×4=10．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式6-3】（2023春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，AD与BC相交于点O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，连接OE，BD，求证；OE垂直平分BD．

【答案】见解析
【分析】先证明△ABO≌△CDO得到OB=OD，再由EB=ED即可证明OE垂直平分BD．
【详解】证明：在△ABO和△CDO中，
∠AOB=∠COD∠ABO=∠CDOAB=CD
∴△ABO≌△CDOAAS，
∴OB=OD，
又∵EB=ED，
∴OE垂直平分BD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，证明△ABO≌△CDO得到OB=OD是解题的关键．
【题型7 尺规作线段垂直平分线】
【例7】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，请用尺规作图法在AC上求作一点M，使MC+MB=AC，并连接MB．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【分析】根据题意，作AB的垂直平分线与AC的交点即为点M，即可解答．
【详解】∵在AC上求作一点M，
∴AM+MC=AC，
∵MC+MB=AC，
∴MB=AM，
即点M在线段AB的垂直平分线上．
如图，点M即为所求．

【点睛】本题考查了尺规作图-垂直平分线，垂直平分线的性质，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·湖南郴州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．
(1)尺规作图：作边AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
(2)在（1）作出的图形中，求△ABD的周长．
【答案】(1)见解析
(2)13
【分析】（1）根据垂直平分线的作法，作出AC的垂直平分线；
（2）根据垂直平分线的性质得出AD=CD，进而根据AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC，即可求解．
【详解】（1）如图，
（2）∵AC的垂直平分线交BC于点D
∴AD=CD
∴△ABD的周长为：AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13
【点睛】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，解题的关键是正确画出图形．
【变式7-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳市福田区上步中学校考期中）如图，已知△ABC，AB