数学八年级上册15.3 等腰三角形精练

这是一份数学八年级上册15.3 等腰三角形精练，共35页。

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\l "_Tc7565" 【题型1 与边分类讨论】 PAGEREF _Tc7565 \h 1
\l "_Tc22986" 【题型2 与角分类讨论】 PAGEREF _Tc22986 \h 1
\l "_Tc16856" 【题型3 与高分类讨论】 PAGEREF _Tc16856 \h 2
\l "_Tc32653" 【题型4 与直平分线分类讨论】 PAGEREF _Tc32653 \h 2
\l "_Tc16446" 【题型5 与中线分类讨论】 PAGEREF _Tc16446 \h 3
\l "_Tc15981" 【题型6 与动点、动线段需分类讨论】 PAGEREF _Tc15981 \h 3
\l "_Tc14862" 【题型7 构造等腰三角形需分类讨论】 PAGEREF _Tc14862 \h 4
【题型1 与边分类讨论】
【例1】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考开学考试）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足a−22+|b−3|=0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．7或8B．6或10C．6或7D．7或10
【变式1-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）用一条长20cm的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的2倍，则底边的长为 ．
【变式1-2】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）已知等腰△ABC的周长为18，BC=8，若△ABC≌△DEF，则△DEF中一定有一条边等于（ ）
A．7B．2或7C．5D．2或5
【变式1-3】（2023春·陕西西安·八年级西安市第八十三中学校考阶段练习）定义；等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为13cm，AB=5cm，则它的“优美比”k为（ ）
A．54B．35C．54或35D．45或53
【题型2 与角分类讨论】
【例2】（2023春·八年级课时练习）过等腰三角形底角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的顶角度数为 ．
【变式2-1】（2023春·安徽亳州·八年级统考期末）一个等腰三角形，其中两个内角的度数的比是2:5，它的三个内角可能是（ ）
A．30°，30°，120°B．50°，50°，80°
C．75°，75°，30°D．80°，80°，20°
【变式2-2】（2023春·八年级课时练习）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k为（ ）
A．85或14B．58或14C．85或4D．58或4
【变式2-3】（2023春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，则∠BCD的度数是 ．

【题型3 与高分类讨论】
【例3】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（ ）
A．15°B．75°C．15°或75°D．无法确定
【变式3-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）在等腰三角形中有一个角为40°，则腰上的高与底边的夹角为 ．
【变式3-2】（2023春·全国·八年级课堂例题）已知△ABC的高AD，BE所在的直线交于点F，若BF=AC，则∠ABC的度数为___________．
【变式3-3】（2023·山东泰安·统考二模）在平行四边形ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=30°，则∠A的度数为 ．
【题型4 与直平分线分类讨论】
【例4】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）已知线段AB垂直平分线上有两点C、D，若∠ADB=80∘，∠CAD=10∘，则∠ACB=（ ）
A．80∘B．90∘C．60∘或100∘D．40∘或90∘
【变式4-1】（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）已知，在△OPQ中，OP=OQ，OP的垂直平分线交OP于点D，交直线OQ于点E，∠OEP=50°，则∠POQ= ．
【变式4-2】（2023春·上海·八年级专题练习）在△ABC中，∠BAC=α，边AB的垂直平分线交BC于点D，边AC的垂直平分线交BC于点E，连接AD，AE，则∠DAE的度数为 ．（用含α的代数式表示）
【变式4-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）△ABC中，AB的垂直平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，DE垂直直线BC于E，若AC=7，CE=2，则BC的长是 ．
【题型5 与中线分类讨论】
【例5】（2023春·湖北恩施·八年级校考阶段练习）若等腰三角形一腰上的中线分周长为9和12两部分，请你画出示意图，并结合图形，求这个等腰三角形的各边长
【变式5-1】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）在周长为10的△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为两部分，两部分的差值为2，则底边长为 ．
【变式5-2】（2023春·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24 cm和30 cm的两部分，则BC的长为 ( )cm
A．14B．16或22C．22D．14或22
【变式5-3】（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期末）已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3:2的两部分，则这个等腰三角形的底长为 ．
【题型6 与动点、动线段需分类讨论】
【例6】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，直线a，b交于点O，∠α=40°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于直线a的上方，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB= °．
【变式6-1】（2023春·浙江杭州·八年级开学考试）如图，在ΔABC中，AB=AC,∠BAC=40∘，边AB绕点A逆时针旋转m∘（0【变式6-2】（2023·全国·八年级专题练习）如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C顺时针方向旋转60°得△ADC，使得△BOC≌△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°，设∠BOC=α．

(1)发现问题：发现∠OAD的大小不变为 °．
(2)分析问题：当α=150°时，分析判断△AOD的形状是 三角形．
(3)解决问题：请直接写出当α为 度时，△AOD是等腰三角形．
【变式6-3】（2023春·广东茂名·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90º，∠BAC=30º，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有 个．
【题型7 构造等腰三角形需分类讨论】
【例7】（2023春·江西上饶·八年级校考阶段练习）有一三角形纸片ABC，∠A＝70°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两个纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是 ．
【变式7-1】（2023春·八年级课时练习）过等腰三角形底角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的顶角度数为 ．
【变式7-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，长方形ABCD中，AB=6,BC=2,直线l是长方形ABCD的一条对称轴，且分别与AD,BC交于点E,F,若直线l上的动点P,使得△PAB和△PBC均为等腰三角形.则动点P的个数有 个.
【变式7-3】（2023春·河南新乡·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝ ．
专题15.6 等腰三角形中的分类讨论思想七大考点
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc25674" 【题型1 与边分类讨论】 PAGEREF _Tc25674 \h 1
\l "_Tc12450" 【题型2 与角分类讨论】 PAGEREF _Tc12450 \h 3
\l "_Tc3668" 【题型3 与高分类讨论】 PAGEREF _Tc3668 \h 7
\l "_Tc28798" 【题型4 与直平分线分类讨论】 PAGEREF _Tc28798 \h 11
\l "_Tc19948" 【题型5 与中线分类讨论】 PAGEREF _Tc19948 \h 16
\l "_Tc2257" 【题型6 与动点、动线段需分类讨论】 PAGEREF _Tc2257 \h 19
\l "_Tc453" 【题型7 构造等腰三角形需分类讨论】 PAGEREF _Tc453 \h 23
【题型1 与边分类讨论】
【例1】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考开学考试）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足a−22+|b−3|=0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．7或8B．6或10C．6或7D．7或10
【答案】A
【分析】首先根据非负数的性质即可得到关于a、b的方程组，接下来解方程组即可求出a、b的值，再分类讨论，可得结论．
【详解】解：根据题意得，a−2=0，b−3=0，
∴a=2，b=3，
①当a=2是腰时，三边分别为2、2、3，能组成三角形，
周长为：2+2+3=7．
②当b=3是腰时，三边分别为3、3、2，能组成三角形，
周长为：3+3+2=8．
所以等腰三角形的周长7或8．
故选：A．
【点睛】本题考查非负数的性质，等腰三角形的性质等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想解决问题．
【变式1-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）用一条长20cm的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的2倍，则底边的长为 ．
【答案】4cm
【分析】设较短的边长为xcm，则较长的边为2xcm，分两种情况：当较短的边为底边，较长的边为腰时；当较长的边为底边，较短的边为腰时，分别进行求解即可得到答案．
【详解】解：设较短的边长为xcm，则较长的边为2xcm，
当较短的边为底边，较长的边为腰时，则x+2x+2x=20，
解得：x=4，
此时三角形三边长分别为4cm，8cm，8cm，能组成三角形；
当较长的边为底边，较短的边为腰时，则2x+x+x=20，
解得：x=5，
此时三角形三边长分别为5cm，5cm，10cm，
∵5+5=10，
∴不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能组成三角形；
综上所述，三角形底边的长为4cm，
故答案为：4cm．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形任意两边之和大于第三边，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
【变式1-2】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）已知等腰△ABC的周长为18，BC=8，若△ABC≌△DEF，则△DEF中一定有一条边等于（ ）
A．7B．2或7C．5D．2或5
【答案】D
【分析】分BC为腰、BC为底两种情况，求出等腰三角形的另两边，根据全等三角形的性质解答．
【详解】解：当BC=8为腰时，等腰△ABC的周长为18，
∴另两边为8或2，
当BC=8为底时，另两边为5或5，
∵△ABC≌△DEF，
∴△DEF中有一条边等于2或5，
故选：D．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·陕西西安·八年级西安市第八十三中学校考阶段练习）定义；等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为13cm，AB=5cm，则它的“优美比”k为（ ）
A．54B．35C．54或35D．45或53
【答案】C
【分析】分两种情况：AB为腰或AB为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比k.
【详解】解：当AB腰时，则底边=3cm；
此时，优美比k=35；
当AB为底边时，则腰为4cm；
此时，优美比k=54；
故选：C．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
【题型2 与角分类讨论】
【例2】（2023春·八年级课时练习）过等腰三角形底角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的顶角度数为 ．
【答案】36°或1807°
【分析】分两种情况画出图形，①当BC=BD=AD，AB=AC时，设∠A=α，得∠C=∠CDB=2α．∠ABC=∠C=2α．由∠A+∠ABC+∠C=180°，则α+2α+2α=180°，即可得到α=36°；②当AD=BD，BC=DC，AB=AC时，设∠A=α．得∠ABC=∠C=3α．则∠A+∠ABC+∠C=180°，则α+3α+3α=180°，得α=1807°．
【详解】解：分两种情况讨论：
①如图（1），

当BC=BD=AD，AB=AC时，设∠A=α．
∵BD=AD，
∴∠ABD=∠A=α，
∴∠CDB=∠ABD+∠A=2α．
∵BC=BD，
∴∠C=∠CDB=2α．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2α．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴α+2α+2α=180°，
解得α=36°．
②如图（2），

当AD=BD，BC=DC，AB=AC时，设∠A=α．
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=α．
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2α．
∵BC=DC，
∴∠CBD=∠BDC=2α，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=3α．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3α．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴α+3α+3α=180°，
解得α=1807°．
综上，原等腰三角形顶角的度数为36°或1807°．
故答案为：36°或1807°
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·安徽亳州·八年级统考期末）一个等腰三角形，其中两个内角的度数的比是2:5，它的三个内角可能是（ ）
A．30°，30°，120°B．50°，50°，80°
C．75°，75°，30°D．80°，80°，20°
【答案】C
【分析】分两种情况，然后根据三角形的内角和列方程，即可得到结论．
【详解】解：∵两个内角的度数的比是2:5，
∴设一个内角等于2x，另一个内角等于5x，
∵三角形是等腰三角形，
∴2x+2x+5x=180°或5x+5x+2x=180°，
解得：x=20°或x=15°，
∴三个内角是40°，40°，100°或75°，75°，30°，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·八年级课时练习）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k为（ ）
A．85或14B．58或14C．85或4D．58或4
【答案】A
【分析】分∠A为顶角和底角两种情况,利用等腰三角形的两底角相等求出底角或顶角，然后根据k的定义求解即可．
【详解】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：12（180°-80°）=50°
∴k=80∘50∘=85
②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20°.
∴特征值k=20∘80∘=14
综上所述，k为85或14．
故答案为A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，∠A是顶角还是底角的分类讨论是正确解答本题的关键．
【变式2-3】（2023春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，则∠BCD的度数是 ．

【答案】10°或100°
【分析】分两种情况：当点D在BA上时，当点D'在BA的延长线上时，由等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，
,
当点D在BA上时，由作图可得：AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∵∠ADC+∠ACD+∠BAC=180°，∠BAC=80°，
∴∠ADC=∠ACD=180°−∠BAC2=180°−80°2=50°，
∵在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，
∴∠ACB=180°−∠ABC−∠BAC=180°−40°−80°=60°，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=60°−50°=10°，
当点D'在BA的延长线上时，由作图可得：AD'=AC，
∴∠AD'C=∠ACD'，
∵∠D'AC=∠ABC+∠ACB=40°+60°=100°，∠AD'C+∠ACD'+∠D'AC=180°，
∴∠AD'C=∠ACD'=40°，
∴∠BCD'=∠ACB+∠ACD'=60°+40°=100°
综上所述：∠BCD的度数是：10°或100°，
故答案为：10°或100°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
【题型3 与高分类讨论】
【例3】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（ ）
A．15°B．75°C．15°或75°D．无法确定
【答案】C
【分析】分两种情况，画出相应的图形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，结合等边三角形的判定和性质求出顶角度数，即可得到等腰三角形底角的度数．
【详解】解：当△ABC为锐角三角形时，作CD⊥AB于点D，取AC的中点E，连接DE，如图：

则∠ADC=90°，
∵E为AC的中点，
∴DE=CE=12AC，
∵CD=12AC，
∴CD=CE=DE，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠DCE=60°，
∴∠A=90°−60°=30°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=75°；
当△ABC为钝角三角形时，作BD⊥CA，交CA的延长线于点D，取AB的中点E，连接DE，如图：

则∠ADB=90°，
∵E为AB的中点，
∴BE=DE=12AB，
∵BD=12AB，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠DAB=90°−60°=30°，
∴∠BAC=150°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=15°；
综上分析可知，此等腰三角形的底角的度数是15°或75°，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
【变式3-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）在等腰三角形中有一个角为40°，则腰上的高与底边的夹角为 ．
【答案】20°或50°
【分析】分已知的角是等腰三角形的底角和顶角两种情况计算．
【详解】当40°角为底角时，如图，
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=40°，
过点A作AD⊥CB，交BC的延长线于点D，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAB=90°−∠B=50°；

当40°角为顶角时，如图，
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=180°−40°2=70°，
过点A作AG⊥CB，交BC于点G，
∴∠AGB=90°，
∴∠GAB=90°−∠B=20°；
故答案为20°或50°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的角的计算，熟练掌握分类思想是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·全国·八年级课堂例题）已知△ABC的高AD，BE所在的直线交于点F，若BF=AC，则∠ABC的度数为___________．
【答案】图见解析，45°或135°
【分析】分两种情况，画出图形，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案．
【详解】解：[作图区]
当∠ABC为锐角时，如图①．
当∠ABC为钝角时，如图②．
[解答区]
①若△ABC为锐角三角形时，∠ABC为锐角，如图①，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠CBE=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠CBF=∠CAD，
∴△BDF≌△ADCAAS，
∴BD=AD，
∴∠ABD=45°，
即∠ABC=45°；
②若△ABC为钝角三角形时，∠ABC为钝角，如图②，
同理可证△BDF≌△ADCAAS，
∴BD=AD，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABC=135°，
综上所述，∠ABC的度数为45°或135°．
故答案为：45°或135°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式3-3】（2023·山东泰安·统考二模）在平行四边形ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=30°，则∠A的度数为 ．
【答案】60°或30°
【分析】首先求出∠ADB的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出∠A的度数．
【详解】解：情形一：当E点在线段AD上时，如图所示，

∵BE是AD边上的高，∠EBD=30°，
∴∠ADB=90°−30°=60°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=180°−60°÷2=60°；
情形二：当E点在AD的延长线上时，如图所示，

∵BE是AD边上的高，∠EBD=30°，
∴∠BDE=60°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=12∠BDE=30°．
故答案为：60°或30°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，三角形的高等知识，得出∠ADB的度数是解题关键．
【题型4 与直平分线分类讨论】
【例4】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）已知线段AB垂直平分线上有两点C、D，若∠ADB=80∘，∠CAD=10∘，则∠ACB=（ ）
A．80∘B．90∘C．60∘或100∘D．40∘或90∘
【答案】C
【分析】如图，DE垂直平分AB，垂足为E，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠DAB＝∠DBA＝50°，当C点在线段DE上，∠CAD＝10°时，则∠CAB＝40°，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算∠ACB＝100°；当C'点在ED的延长线上，∠C'AD＝10°时，则∠C'AB＝60°，根据等边三角形的性质易得∠AC'B＝60°．
【详解】解：如图，DE垂直平分AB，垂足为E，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA=12（180°﹣∠ADB）=12×（180°﹣80°）＝50°，
当C点在线段DE上，∠CAD＝10°时，则∠CAB＝50°﹣10°＝40°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
当C'点在ED的延长线上，∠C'AD＝10°时，则∠C'AB＝50°+10°＝60°，
∵CA＝CB，
∴∠AC'B＝60°，
综上所述，∠ACB的度数为60°或100°．
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．
【变式4-1】（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）已知，在△OPQ中，OP=OQ，OP的垂直平分线交OP于点D，交直线OQ于点E，∠OEP=50°，则∠POQ= ．
【答案】65°或115°
【分析】△OPQ为锐角三角形时，根据线段垂直平分线的定义得到∠ODE=∠PDE=90°，从而求得∠OED=∠PED=12∠OEP，继而可得∠EOD=90°−25°=65°，问题得解；△OPQ为钝角三角形时，同理可得∠EOD=90°−25°=65°，即∠POQ=180°−∠EOD，问题得解．
【详解】解：①如图1，△OPQ为锐角三角形时，
∵DE垂直且平分OP，
∴∠ODE=∠PDE=90°，OE=PE，
∴∠OED=∠PED=12∠OEP，
又∵∠OEP=50°，
∴∠OED=∠PED=25°，
∴∠EOD=90°−25°=65°；
②如图2，△OPQ为钝角三角形时，
∵DE垂直且平分OP，
∴∠ODE=∠PDE=90°，OE=PE，
∴∠OED=∠PED=12∠OEP，
又∵∠OEP=50°，
∴∠OED=∠PED=25°，
∴∠EOD=90°−25°=65°，
∴∠POQ=180°−65°=115°；
故答案为：65°或115°．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的定义以及等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，掌握这些性质及定理，准确作出图形是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·上海·八年级专题练习）在△ABC中，∠BAC=α，边AB的垂直平分线交BC于点D，边AC的垂直平分线交BC于点E，连接AD，AE，则∠DAE的度数为 ．（用含α的代数式表示）
【答案】2α−180°或180°−2α
【分析】先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠B+∠C=∠BAD+∠CAE=180°−α，再分两种情况：①∠BAC为钝角；②∠BAC为锐角进行讨论，利用角的和差关系进行计算即可得出答案．
【详解】解：分两种情况：
①如图所示，当∠BAC为钝角时，
∵DM垂直平分AB，EN垂直平分AC
∴BD=AD，AE=CE
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE
∴∠B+∠C=∠BAD+∠CAE，
又∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=α
∴∠B+∠C=∠BAD+∠CAE=180°−α
∵∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠DAE
∴∠DAE=∠BAC−∠BAD+∠CAE=2α−180°
②如图所示，当∠BAC为锐角时，
∵DM垂直平分AB，EN垂直平分AC
∴BD=AD，AE=CE
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE
∴∠B+∠C=∠BAD+∠CAE，
又∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=α
∴∠B+∠C=∠BAD+∠CAE=180°−α
∵∠BAC=∠BAD+∠CAE−∠DAE
∴∠DAE=∠BAD+∠CAE−∠BAC=180°−2α
故答案为：2α−180°或180°−2α．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，灵活运用所学的知识是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）△ABC中，AB的垂直平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，DE垂直直线BC于E，若AC=7，CE=2，则BC的长是 ．
【答案】11或3
【分析】分点E在BC上或点E在BC的延长线上两种情形，分别利用HL证明Rt△ADF≅Rt△BDE，得BE=AF，同理可得CE=CF，从而解决问题．
【详解】解：如图，当点E在BC上时．
过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于F，连接AD=BD，
∵AB的垂直平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，
∴AD=BD,DE=DF，
在Rt△ADE和Rt△BDE中，
AD=BDDF=DE，
∴Rt△ADF≅Rt△BDE(HL)，
∴BE=AF，
同理可得CE=CF，
∴AF=7+2=9，
∴BC=BE+CE=9+2=11，
当点E在BC的延长线上时，如图，
同理可得AF=BE=AC−CF=7−2=5，
∴BC=BE−CE=5−2=3，
综上：BC=11或3，
故答案为：11或3．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
【题型5 与中线分类讨论】
【例5】（2023春·湖北恩施·八年级校考阶段练习）若等腰三角形一腰上的中线分周长为9和12两部分，请你画出示意图，并结合图形，求这个等腰三角形的各边长
【答案】这个等腰三角形的底为9或5，这个等腰三角形的腰为6或8
【分析】由题意得，腰上的中线把等腰三角形分成9和12两部分，则要分一腰的一半与另一腰的和为9或12两种情况进行分析即可．
【详解】解：如图，①当AD+AC=9时，
∵CD是AB边的中线，
∴AD=12AC，
∴ 32AC=9，AC=6，
∴BC=9；
②当AD+AC=12时，则32AC=12，
∴AC=8；
∴BC=5，
答：这个等腰三角形的底为9或5，这个等腰三角形的腰为6或8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及二元一次方程组的应用；解题时主要利用了分情况讨论的思想及列二元一次方程组求解，也是正确解答本题的关键．
【变式5-1】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）在周长为10的△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为两部分，两部分的差值为2，则底边长为 ．
【答案】2或143
【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为两部分，但已知没有明确是哪两部分，因此有两种情况，需要分类讨论．
【详解】解：在△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的中线，
设AB=AC=x,则AD=CD=12x,同时设BC=y
①当CΔABD−CΔBCD=2时，
∴(x+12x+BD)−(12x+y+BD)=2x+x+y=10,
解得，x=4y=2
∴BC=2;
②当CΔBCD−CΔABD=2时，
∴(12x+y+BD)−(x+12x+BD)=22x+y=10
解得，x=83y=143,
∴BC=143,
综上，△ABC的底边BC的长为2或143
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．在解题时要注意找出等量关系是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24 cm和30 cm的两部分，则BC的长为 ( )cm
A．14B．16或22C．22D．14或22
【答案】D
【分析】根据点D为AC中点，得出AD=DC=12AC，根据AB=AC，得出AB=2AD，分两种情况当AB+AD=24cm时，2AD+AD=24cm，可求 BC=30cm-CD=30cm-8cm=22cm，当AB+AD=30cm时，2AD+AD=30cm，可求BC=24cm-CD=24cm-10cm=14cm即可．
【详解】解：∵点D为AC中点，
∴AD=DC=12AC，
∵AB=AC，
∴AB=2AD，
分两种情况，当AB+AD=24cm时，2AD+AD=24cm，
解得AD=8cm，
∵BC+CD=30cm，
∴BC=30cm-CD=30cm-8cm=22cm，
当AB+AD=30cm时，2AD+AD=30cm，
解得AD=10cm，
∵BC+CD=24cm，
∴BC=24cm-CD=24cm-10cm=14cm，
∴BC的长为14cm或22cm．
故选D．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，中线性质，一元一次方程，线段和差，分类思想的应用，掌握等腰三角形性质，中线性质，一元一次方程，线段和差，分类思想的应用是解题关键．
【变式5-3】（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期末）已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3:2的两部分，则这个等腰三角形的底长为 ．
【答案】9cm或21cm
【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系．
【详解】解：设该三角形的腰长是x cm，底边长是y cm．
根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27 cm和18 cm两部分，
∴x+12x=2712x+y=18或x+12x=1812x+y=27，
解得x=18y=9或x=12y=21，
经检验，都符合三角形的三边关系．
因此这个等腰三角形的腰长为9cm或21cm．
故答案为：9cm或21cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确3∶2两部分是哪一部分含有底边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【题型6 与动点、动线段需分类讨论】
【例6】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，直线a，b交于点O，∠α=40°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于直线a的上方，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB= °．
【答案】40或70或100
【分析】根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB=AB时，②当OA=AB时，③当OA=OB时，分别求得符合的点B，即可得解．
【详解】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：

①当OB1=AB1时，∠OAB=∠α=40°；
②当OA=AB2时，∠OAB=180°-2×40°=100°；
③当OA=OB3时，∠OAB=∠OBA=12（180°-40°）=70°；
故答案为：40或70或100．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·浙江杭州·八年级开学考试）如图，在ΔABC中，AB=AC,∠BAC=40∘，边AB绕点A逆时针旋转m∘（0【答案】20，80，200，320.
【分析】以点A为圆心，以AB长为半径作圆A，分别以B，C为圆心，以BC长为半径作圆B和圆C，BC的中垂线交圆A于D1，D2两点，圆B与圆A交于点D3，圆C与圆A交于点D4，D1，D2，D3，D4四点即为所求.
【详解】如图，以点A为圆心，以AB长为半径作圆A，分别以B，C为圆心，以BC长为半径作圆B和圆C，BC的中垂线交圆A于D1，D2两点，圆B与圆A交于点D3，圆C与圆A交于点D4，D1，D2，D3，D4四点即为所求，根据等腰三角形性质，∠BAD2=20°，∠BAD4=80°，∠BAD1=200°，∠BAD3=320°.
故答案为20，80，200，320.
【点睛】考核知识点：等腰三角形性质，圆周角定理.
【变式6-2】（2023·全国·八年级专题练习）如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C顺时针方向旋转60°得△ADC，使得△BOC≌△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°，设∠BOC=α．

(1)发现问题：发现∠OAD的大小不变为 °．
(2)分析问题：当α=150°时，分析判断△AOD的形状是 三角形．
(3)解决问题：请直接写出当α为 度时，△AOD是等腰三角形．
【答案】(1)50
(2)直角
(3)125°或110°或140°
【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到∠OBA+∠OAB=70°，再由等边三角形的性质推出∠OBC+∠OAC=50°，由旋转的性质可得∠DAC=∠OBC，则∠OAD=∠OAC+∠DAC=∠OAC+∠OBC=50°；
（2）由旋转的性质可得CO=CD，∠OCD=60°，则△OCD是等边三角形，得到∠COD=60°，由此求出∠AOD=∠AOC−∠COD=40°，则∠ADO=180°−∠OAD−∠AOD=90°，即可得到△AOD是直角三角形；
（3）分OA=DA，OA=OD，AD=OD三种情况，根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠AOD的度数，进而求出∠AOC的度数，即可利用周角的定义求出答案．
【详解】（1）解：∵∠AOB=110°，
∴∠OBA+∠OAB=180°−∠AOB=70°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠BAC+∠ABC=120°，即∠OBA+∠OBC+∠OAB+∠OAC=120°，
∴∠OBC+∠OAC=50°，
∵将△BOC绕点C顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴∠DAC=∠OBC，
∴∠OAD=∠OAC+∠DAC=∠OAC+∠OBC=50°，
故答案为：50

（2）解：∵将△BOC绕点C顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∵∠AOC=360°−∠AOB−∠BOC=100°，
∴∠AOD=∠AOC−∠COD=40°，
∴∠ADO=180°−∠OAD−∠AOD=90°，
∴△AOD是直角三角形，
故答案为：直角；
（3）解：当OA=DA时，则∠AOD=∠ADO=180°−∠OAD2=65°，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=125°，
∴α=360°−∠AOB−∠AOC=125°；
当OA=OD时，则∠OAD=∠ODA=50°，
∴∠AOD=180°−∠OAD−∠ODA=80°，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=140°，
∴α=360°−∠AOB−∠AOC=110°；
当AD=OD时，则∠DAO=∠DOA=50°，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=110°，
∴α=360°−∠AOB−∠AOC=140°；
综上所述，α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理等等，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．
【变式6-3】（2023春·广东茂名·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90º，∠BAC=30º，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有 个．
【答案】6
【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．
【详解】如图，
①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA=PB），交直线BC于点P2；
②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB=AP）；
③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）．
故符合条件的点有6个．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．
【题型7 构造等腰三角形需分类讨论】
【例7】（2023春·江西上饶·八年级校考阶段练习）有一三角形纸片ABC，∠A＝70°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两个纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是 ．
【答案】20°或35°或27.5°
【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【详解】由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，
对于△ABD可能有①AB＝BD，此时∠ADB＝∠A＝70°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣70°＝110°，
∠C＝12（180°﹣110°）＝35°，
②AB＝AD，此时∠ADB＝12（180°﹣∠A）＝12（180°﹣70°）＝55°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°，
∠C＝12（180°﹣125°）＝27.5°，
③AD＝BD，此时，∠ADB＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣40°＝140°，
∠C＝12（180°﹣140°）＝20°，
综上所述，∠C度数可以为20°或35°或27.5°．
故答案为：20°或35°或27.5°
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．
【变式7-1】（2023春·八年级课时练习）过等腰三角形底角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的顶角度数为 ．
【答案】36°或1807°
【分析】分两种情况画出图形，①当BC=BD=AD，AB=AC时，设∠A=α，得∠C=∠CDB=2α．∠ABC=∠C=2α．由∠A+∠ABC+∠C=180°，则α+2α+2α=180°，即可得到α=36°；②当AD=BD，BC=DC，AB=AC时，设∠A=α．得∠ABC=∠C=3α．则∠A+∠ABC+∠C=180°，则α+3α+3α=180°，得α=1807°．
【详解】解：分两种情况讨论：
①如图（1），

当BC=BD=AD，AB=AC时，设∠A=α．
∵BD=AD，
∴∠ABD=∠A=α，
∴∠CDB=∠ABD+∠A=2α．
∵BC=BD，
∴∠C=∠CDB=2α．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2α．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴α+2α+2α=180°，
解得α=36°．
②如图（2），

当AD=BD，BC=DC，AB=AC时，设∠A=α．
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=α．
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2α．
∵BC=DC，
∴∠CBD=∠BDC=2α，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=3α．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3α．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴α+3α+3α=180°，
解得α=1807°．
综上，原等腰三角形顶角的度数为36°或1807°．
故答案为：36°或1807°
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，长方形ABCD中，AB=6,BC=2,直线l是长方形ABCD的一条对称轴，且分别与AD,BC交于点E,F,若直线l上的动点P,使得△PAB和△PBC均为等腰三角形.则动点P的个数有 个.
【答案】5
【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部，在l上作点P1，使P1C=DC，AB=P1B，同理，在l上作点P2，使P2A=AB，P2D=DC；三是如图，如图，在长方形外l上作点P3，使AB=AP3，DC=P3D，同理，在长方形外l上作点P4，使BP4=AB，CP4=DC．
【详解】分三种情况讨论：
①如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，
②如图，在l上作点P1，使P1C=DC，AB=P1B，
同理，在l上作点P2，使P2A=AB，P2D=DC，
③如图，在长方形外l上作点P3，使AB=AP3，DC=P3D，
同理，在长方形外l上作点P4，使BP4=AB，CP4=DC，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解题中利用等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．
【变式7-3】（2023春·河南新乡·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝ ．
【答案】45°或30°
【分析】先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．
【详解】∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF＝45°，
设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE，
∴∠FDA＝12∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，
分类如下：
①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x，
解得：x＝22.5°．
此时∠B＝2x＝45°；
见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB．
②当BD＝BE时，则∠B＝（180°﹣4x）°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x，
解得x＝37.5°，
此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°．
图形（2）说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°．
③DE＝BE时，则∠B＝12（180﹣2x）°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x+12（180﹣2x）°，
此方程无解．
∴DE＝BE不成立．
综上所述，∠B＝45°或30°．
故答案为：45°或30°．
【点睛】本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用．