沪科版八年级数学上册精品专练15.10轴对称图形与等腰三角形章末九大题型总结(拔尖篇)(学生版+解析)

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专题15.10 轴对称图形与等腰三角形章末九大题型总结（拔尖篇）【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc21650" 【题型1 设计轴对称图案】  PAGEREF _Toc21650 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5163" 【题型2 利用轴对称性质求最值】  PAGEREF _Toc5163 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc24102" 【题型3 翻折变换】  PAGEREF _Toc24102 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2831" 【题型4 两圆一线画等腰】  PAGEREF _Toc2831 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc13368" 【题型5 等边三角形手拉手问题】  PAGEREF _Toc13368 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc30657" 【题型6 分身等腰】  PAGEREF _Toc30657 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc17418" 【题型7 一线分二腰】  PAGEREF _Toc17418 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc24246" 【题型8 角平分线的综合应用】  PAGEREF _Toc24246 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc910" 【题型9 垂直平分线的综合应用】  PAGEREF _Toc910 \h 13【题型1 设计轴对称图案】【例1】（2023·全国·八年级假期作业）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．  【变式1-1】（2023春·八年级单元测试）图形设计：请将网格中的某些小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法）  【变式1-2】（2023春·吉林延边·八年级阶段练习）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个网格中标注了5个格点，按下列要求画图．（1）在图①中，以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有4个；（2）在图②中，以格点为顶点，画一个轴对称图形，使其内部已标注的格点只有3个．【变式1-3】（2023春·八年级单元测试）请你分别在下面的三个网格（两相邻格点的距离均为1个单位长度）中，各补画一个小正方形，要求：①三个图形形状各不相同，②所设计的图案是轴对称图形．【题型2 利用轴对称性质求最值】【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 ，此时∠CFE= ．  【变式2-1】（2023春·湖北武汉·八年级校考期末）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为BC中点，AD=6，P为AB上一个动点，当P点运动时，PC+PD的最小值为 ．【变式2-2】（2023春·河北张家口·八年级统考期末）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．  (1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；(2)在直线MN上找点P使PB+PC最小，在图形上画出点P的位置；(3)在直线MN上找点Q使QB−QA最大，直接写出这个最大值．【变式2-3】（2023春·广东深圳·八年级校考开学考试）【初步感知】(1)如图1，已知ΔABC为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边向右侧作等边ΔADE，连接CE．求证：ΔABD≌ΔACE；  【类比探究】(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：  ①AB与CE的位置关系为： ；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为： ；【拓展应用】(3)如图3，在等边ΔABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边ΔDPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．  【题型3 翻折变换】【例3】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，点D是AB边上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD．  (1)如图1，当点E落在BC上时，求∠BDE的度数；(2)当点E落在BC下方时，设DE与BC相交于点F．①如图2，若DE⊥BC，试说明：CE∥AB；②如图3，连接BE，EG平分∠BED交CD的延长线于点G，交BC于点H．若BE∥CG，试判断∠CFE与∠G之间的数量关系，并说明理由．【变式3-1】（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）在锐角△ABC中，AB=AC，将△ABC沿AC翻折得到△AB'C，直线AB与直线B'C相交于点E，若△AEB'是等腰三角形，则∠BAC的度数为 ．【变式3-2】（2023春·江苏·八年级期末）如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，D为AC的中点，E为边AB上一动点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，点A落在AC上方点F处，连接EF，CF．(1)判断∠1与∠2是否相等并说明理由；(2)若△DEF与以点C，D，F为顶点的三角形全等，求出∠ADE的度数：(3)翻折后，当△DEF和△ABC的重叠部分为等腰三角形时，直接写出∠ADE的度数．【变式3-3】（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）已知D是等边三角形ABC中AB边上一点，将CB沿直线CD翻折得到CE，连接EA并延长交直线CD于点F．(1)如图1，若∠BCD=40°，直接写出∠CFE的度数；(2)如图1，若CF=10，AF=4，求AE的长；(3)如图2，连接BF，当点D在运动过程中，请探究线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．【题型4 两圆一线画等腰】【例4】（2023春·广西钦州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直线AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式4-1】（2023春·河南驻马店·八年级统考期中）如图，直线l1、l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1 、l2上找一点C，使△ABC为一个等腰三角形．满足条件的点C有（      ）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【变式4-2】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有 个。【变式4-3】（2023春·广东湛江·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【题型5 等边三角形手拉手问题】【例5】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）已如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，AC与BE交于点P求证：(1)BE＝AD(2)∠AOB的度数【变式5-1】（2023春·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）阅读与理解：图1是边长分别为a和ba>b的两个等边三角形纸片ABC和C'DE叠放在一起（C与C'重合）的图形．操作与证明：(1)操作：固定△ABC，将△C'DE绕点C按顺时针方向旋转25°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)操作：若将图1中的△C'DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α0°≤α≤360°，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD长度最小是多少？【变式5-2】（2023春·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③∠AOB=60°；④△CPQ是等边三角形；⑤BQ=AB．恒成立的是 ．  【变式5-3】（2023·山东·八年级专题练习）已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上．【基本图形】如图1，以AD为一边作等边三角形△ADE，连结CE．可得CE+CD=AC（不需证明）．【迁移运用】如图2，点F是AC边上一点，以DF为一边作等边三角△DEF．求证：CE+CD=CF．【类比探究】如图3，点F是AC边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角△DEF．试探究线段CE，CD，CF三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．【题型6 分身等腰】【例6】（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在第1个△A1BC，∠B=20°同A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2，到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…．按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（    ）  A．12n80° B．12n−1⋅80° C．12n−1⋅100° D．12n⋅100°【变式6-1】（2023春·江西宜春·八年级统考期末）如图所示，AOB是一钢架，设∠AOB=α，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，若最多能添加这样的钢管5根，则α的取值范围是 ．【变式6-2】（2023春·河北张家口·八年级统考期末）如图，一钢架BAC中，∠A=x°，焊上等长的钢条P1P2,P2P3,P3P4,P4P5,⋯来加固钢架，且P1A=P1P2，对于下列结论，判断正确的是(        )结论Ⅰ：若∠P3P2P4=75°，则x=25；结论Ⅱ：若这样的钢条在钢架上至多能焊上6根，那么x的取值范围是907≤x