初中第21章二次函数与反比例函数21.1 二次函数课时练习

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这是一份初中第21章二次函数与反比例函数21.1 二次函数课时练习，共65页。

考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生二次函数中的三大类型新定义问题的理解！
【类型1 二次函数问题中的新定义问题】
1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y=x2−2x+c（c为常数）在−1A．−52．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（）
A．12B．14C．1D．﹣1
3．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）
A．−2≤n'≤2B．1≤n'≤3C．1≤n'≤2D．−2≤n'≤3
4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点1,2、−2.5,−5……都是“青竹点”．显然，函数y=x2的图象上有两个“青竹点”：0,0和2,4．
(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．
①y=2x−1________； ②y=−x2+1________； ③y=x2+2________．
(2)若抛物线y=−12x2−m+1（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；
(3)若函数y=14x2+b−c+2x+a+c−3的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当−1≤b≤2时，a的最小值为c，求c的值．
5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图像与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：y=2x2+4x−5的友好同轴二次函数为y=−x2−2x−5．
(1)函数y=14x2−2x+3的友好同轴二次函数为．
(2)当−1≤x≤4时，函数y=(1−a)x2−2(1−a)x+3 (a≠0且a≠1)的友好同轴二次函数有最大值为5，求a的值．
(3)已知点(m,p),(m,q)分别在二次函数y1=ax2+4ax+c(a>12且a≠1）及其友好同轴二次函数y2的图像上，比较p,q的大小，并说明理由．
6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．
(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；
(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；
(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．
7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线y1=a1x+ℎ2+k1与抛物线y2=a2x+ℎ2+k2．同时满足a2=−4a1且k2=−14k1，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．
(1)已知抛物线y1=−14x2+bx+c与y2=x2−2x−3是一对共轭抛物线，求y1的解析式；
(2)如图1，将一副边长为42的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为y1，经过A、B、C的抛物线为y2，请立接写出y1、y2的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．
8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点Ax1,0，Bx2,0，那么我们把线段AB叫做雅礼弦，AB两点之间的距离l称为抛物线的雅礼弦长．
(1)求抛物线y=x2−2x−3的雅礼弦长；
(2)求抛物线y=x2+n+1x−1(1≤n<3)的雅礼弦长的取值范围；
(3)设m，n为正整数，且m≠1，抛物线y=x2+4−mtx−4mt的雅礼弦长为l1，抛物线y=−x2+t−nx+nt的雅礼弦长为l2，s=l12−l22，试求出s与t之间的函数关系式，若不论t为何值，s≥0恒成立，求m，n的值．
9．（2023春·河南濮阳·九年级统考期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面问题：
(1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数” ；
(2)若函数y=−x2+43mx−2与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值；
(3)已知函数y=12(x−1)(x+4)的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=12(x−1)(x+4)互为“旋转函数”
10．（2023春·山西大同·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
定义：我们把自变量为x的二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2−bx+c（a≠0，b≠0）称为一对“亲密函数”，如y=5x2−3x+2的“亲密函数”是y=5x2+3x+2．
任务：
（1）写出二次函数y=x2+3x−4的“亲密函数”：______；
（2）二次函数y=x2+3x−4的图像与x轴交点的横坐标为1和−4，它的“亲密函数”的图像与x轴交点的横坐标为______，猜想二次函数y=ax2+bx+c（b2−4ac>0）的图像与x轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与x轴交点的横坐标之间的关系是______；
（3）二次函数y=x2+bx−2021的图像与x轴交点的横坐标为1和−2021，请利用（2）中的结论直接写出二次函数y=4x2−2bx−2021的图像与x轴交点的横坐标．
【类型2 二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】
1．（2023春·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数y=ax2+a+bx+b叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数y=ax2+a+bx+b的“本源函数”（a，b为常数，且a≠0）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是y=ax2−3x+a+1，那么二次函数y=ax2−3x+a+1的“本源函数”是．
2．（2023春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点1,1是函数y=−2x+3的不动点．已知二次函数y=x2+2b+2x+b2（b是实数）．
(1)若点−1,−1是该二次函数的一个不动点，求b的值；
(2)若该二次函数始终存在不动点，求b的取值范围．
3．（2023·安徽·模拟预测）已知函数y1=2kx+k与函数y2=x2−2x+3，定义“和函数”y=y1+y2．
(1)若k=2，则“和函数”y= ；
(2)若“和函数”y为y=x2+bx−2，则k= ，b= ；
(3)若该“和函数”y的顶点在直线y=−x上，求k．
4．（2023·北京·模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点Ax1,y1和Bx2,y2，用以下方式定义两点间距离：dA,B=x1−x2+y1−y2．
(1)①已知点A−2,1，则dO,A=______．
②函数y=−2x+40≤x≤2的图象如图①所示，B是图象上一点，dO,B=3，求点B的坐标．
(2)函数y=x2−5x+7x≥0的图象如图②所示，D是图象上一点，求dO,D的最小值及对应的点D的坐标．
5．（2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【a，b，c】为函数y=ax2+bx+c的“特征数”，如：函数y=2x2−3x+5的“特征数”是【2，−3，5】，函数y=x+2的“特征数”是【0，1，2】
(1)若一个函数的“特征数”是【1，−4，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图像对应的函数“特征数”是______；
(2)将“特征数”是【0，−33，−1】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是______；
(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与y轴交于A、B两点，与直线x=−3分别交于D、C两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、B、C、D四点为顶点的四边形的面积；
(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，−2b，b2+12】的函数图像有交点，求满足条件的实数b的取值范围．
6．（2023春·福建龙岩·九年级校考期末）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x−1，它的相关函数为y=−x+1(x<0)x−1(x≥0)
(1)已知点A（-2，1）在一次函数y=ax−3的相关函数的图象上时，求a的值．
(2)已知二次函数y=−x2+4x−12．当点B（m，52）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值．
7．（2023春·江苏南通·九年级统考期末）定义：若图形M与图形N有且只有两个公共点，则称图形M与图形N互为“双联图形”，即图形M是图形N的“双联图形”，图形N是图形M的“双联图形”．
(1)若直线y=−x+b与抛物线y=x2+1互为“双联图形”，且直线y=−x+b不是双曲线y=1x的“双联图形”，求实数b的取值范围；
(2)如图2，已知A−2,0，B4,0，C1,3三点．若二次函数y=ax+12+3的图象与△ABC互为“双联图形”，直接写出a的取值范围．
8．（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
（1）①点A（1，3）的“坐标差”为；
②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为；
（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m＝；（用含c的式子表示）
②求b的值．
9．（2023春·北京·九年级人大附中校考期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．
(1)直接写出有界函数y=2x+1−4(2)已知函数y=2x2+bx+cm≤x≤n,m(3)将函数y=2x2−1≤x≤k,k≥0的图象向下平移k个单位，得到的函数的边界值是t，直接写出k的取值范围，使得32≤t≤2．
10．（2023春·湖南长沙·九年级校考期中）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”y=x+1，其“明德点”为（1，2）．
(1)①判断：函数y=2x+3 __________ “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数y=x2的图像上的明德点是 ___________；
(2)若抛物线y=m−1x2+mx+14m上有两个“明德点”，求m的取值范围；
(3)若函数y=x2+(m−k+2)x+n4−k2的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当−1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．
【类型3 二次函数与几何图形综合问题中的新定义问题】
1．（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A0,2，点C2,0，则互异二次函数y=x−m2−m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（）
A．4，-1B．5−172，-1C．4，0D．5+172，-1
2．（2023春·山东济南·九年级统考期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．
（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标；
（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．
（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B'、C'，连接BC、CC'、B'C'、BB'．
①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．
3．（2023春·北京门头沟·九年级大峪中学校考期中）定义：对于平面直角坐标系xOy上的点Pa,b和抛物线y=x2+ax+b，我们称Pa,b是抛物线y=x2+ax+b的相伴点，抛物线y=x2+ax+b是点Pa,b的相伴抛物线．如图，已知点A−2,−2，B4,−2，C1,4．
（1）点A的相伴抛物线的解析式为______；过A，B两点的抛物线y=x2+ax+b的相伴点坐标为______；
（2）设点 Pa,b在直线AC上运动：
①点Pa,b的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式．
②当点Pa,b的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围．
4．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A． B两点不重合)，如果△ABP中PA与PB两条边的三边满足其中一边是另一边22倍，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的“好”点．
（1）命题：P(0，3)是抛物线y=−x2+2x+3的“好”点．该命题是_____（真或假）命题．
（2）如图2，已知抛物线C:y=ax2+bx(a<0)与x轴交于A，B两点，点P(1，2)是抛物线C的“好”点，求抛物线C的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点(异于点P)的坐标．
5．（2023·安徽安庆·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=-233x2−433x+23与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______．
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点M的坐标．

6．（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）定义：在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分，则称P、Q为线段MN的三等分点．
已知一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点C的左边）．
（1）直接写出点A、C的坐标；
（2）①二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式；
②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重合）作PF⊥x轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得AP＝BE？若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由；
（3）在（2）的条件下，将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'（点A'在线段AC上，且不与C重合），△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S，试求当S＝38时点A'的坐标．
7．（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．
（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．
（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．
8．（2023·浙江杭州·九年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）初步尝试
如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．
（2）理解运用
如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）综合探究
如图3，二次函数y=12x2–32x–5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2023春·江西赣州·九年级统考期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．
如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．
（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么
①a= ，b= ．
②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．
（3）如果抛物线y=13x2−23x+73的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为 23，请直接写出点B的坐标．
10．（2023春·江西赣州·九年级校考期末）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝m交于点A、C（点C在点A右边）将抛物线y＝ax2+bx+c沿直线y＝m翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D．我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABCD称为惊喜四边形，对角线BD与AC之比称为惊喜度（Degreefsurprise），记作|D|＝BDAC．
（1）图①是抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿直线y＝0翻折后得到惊喜线．则点A坐标，点B坐标，惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形，|D|为．
（2）如果抛物线y＝m(x−1)2﹣6m（m＞0）沿直线y＝m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求m的值．
（3）如果抛物线y＝(x−1)2﹣6m沿直线y＝m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时，其最高点的纵坐标为16，求m的值并直接写出惊喜度|D|．
专题21.10 二次函数中的三大类型新定义问题
【沪科版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生二次函数中的三大类型新定义问题的理解！
【类型1 二次函数问题中的新定义问题】
1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y=x2−2x+c（c为常数）在−1A．−5【答案】D
【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y=2x上，由−1【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为y=2x，
将x=−1代入y=2x得y=−2，
将x=4代入y=2x得y=8，
设A(−1,−2)，B(4,8)，如图，
联立y=2x与y=x2−2x+c，得方程x2−2x+c=2x，
即x2−4x+c=0
∵抛物线与直线y=2x有两个交点，
∴ Δ=42−4c>0，
解得c<4，
当直线x=−1和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，
把x=−1代入y=x2−2x+c，得y=3+c，
把x=4代入y=x2−2x+c得y=8+c，
∴ 3+c>−28+c>8，
解得c>0，
∴0故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．
2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（）
A．12B．14C．1D．﹣1
【答案】B
【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可；
【详解】由题可知：此函数的横坐标与纵坐标互为相反数，且对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），设此函数为y=ax2+bx+c，
∴−b2a=10=a−b+c−1=a+b+c，解得：a=14b=−12c=−34，
∴此函数的二次项系数为14；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键．
3．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）
A．−2≤n'≤2B．1≤n'≤3C．1≤n'≤2D．−2≤n'≤3
【答案】D
【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0≤m≤3时，得到-2≤n′≤2；当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1≤m＜0时，得到-2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3．
【详解】解：由题意可知，
当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，
∴当0≤m≤3时，-2≤n′≤2，
当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，
∴当-1≤m＜0时，-2＜n′≤3，
综上，当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．
4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点1,2、−2.5,−5……都是“青竹点”．显然，函数y=x2的图象上有两个“青竹点”：0,0和2,4．
(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．
①y=2x−1________； ②y=−x2+1________； ③y=x2+2________．
(2)若抛物线y=−12x2−m+1（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；
(3)若函数y=14x2+b−c+2x+a+c−3的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当−1≤b≤2时，a的最小值为c，求c的值．
【答案】(1)×；√；×
(2)m<3
(3)c=32
【分析】（1）根据“青一函数”的定义直接判断即可；
（2）根据题意得出关于x的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于m的不等式，即可求解；
（3）根据题意得出关于x的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于a的二次函数，利用二次函数最值求解即可．
【详解】（1）解：①令2x−1=2x，方程无解，
∴函数y=2x−1图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；
②令−x2+1=2x，
解得：x1=−1+2，x2=−1−2，
∴函数y=−x2+1图像上存在“青竹点”−1+2,−2+22和−1−2,−2−22，故答案为：√；
③令x2+2=2x，方程无解，
∴函数y=x2+2图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；
（2）解：由题意得−12x2−m+1=2x，
整理，得x2+4x+2m−2=0，
∵抛物线y=−12x2−m+1（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，
∴Δ=42−42m−2>0，
解得m<3；
（3）解：由题意得14x2+b−c+2x+a+c−3=2x
整理，得x2+4b−cx+4a+c−3=0
∵函数y=14x2+b−c+2x+a+c−3的图像上存在唯一的一个“青竹点”，
∴Δ=4b−c2−4×1×4a+c−3=0
整理，得a=b−c2−c+3
∴当b=c时，a的最小值为3−c，
∵当−1≤b≤2时，a的最小值为c，
∴3−c=c
∴c=32，
【点睛】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式．
5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图像与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：y=2x2+4x−5的友好同轴二次函数为y=−x2−2x−5．
(1)函数y=14x2−2x+3的友好同轴二次函数为．
(2)当−1≤x≤4时，函数y=(1−a)x2−2(1−a)x+3 (a≠0且a≠1)的友好同轴二次函数有最大值为5，求a的值．
(3)已知点(m,p),(m,q)分别在二次函数y1=ax2+4ax+c(a>12且a≠1）及其友好同轴二次函数y2的图像上，比较p,q的大小，并说明理由．
【答案】(1)y=34x2−6x+3；
(2)a=14或−2；
(3)当m=−4或m=0时，p=q；当m<−4或m>0时，p>q；当−4【分析】（1）根据友好同轴二次函数的定义，找出y=14x2−2x+3的友好同轴二次函数即可；
（2）根据友好同轴二次函数的定义，找出y=(1−a)x2−2(1−a)x+3的友好同轴二次函数，判断函数图像开口方向，利用函数的对称轴和自变量范围进行最大值讨论；
（3）先根据友好同轴二次函数的定义，找出y1=ax2+4ax+c的友好同轴二次函数，再把两点代入p,q，作差后比较大小，为含参数a的二次不等式，求解m的范围即可．
【详解】（1）设友好同轴二次函数为y=ax2+bx+c(a≠0)，
由函数y=14x2−2x+3可知，
对称轴为直线x=−−22×14=4，与y轴交点为(0,3)，
∴a=1−14=34，c=3，对称轴为直线x=−b2×34=4，
∴b=−6，
∴友好同轴二次函数为y=34x2−6x+3；
（2）由函数y=(1−a)x2−2(1−a)x+3 (a≠0且a≠1)可求得，
该函数的友好同轴二次函数为y=ax2−2ax+3=a(x−1)2+3−a；
①当a>0时，x=4时，ymax=a(4−1)2+3−a=8a+3=5，
解得：a=14；
②当a<0时，x=1时，ymax=a(1−1)2+3−a=3−a=5，
解得：a=−2；
综上所述，a=14或−2；
（3）由函数y1=ax2+4ax+c(a>12且a≠1）可求得，
该函数的友好同轴二次函数为y2=(1−a)x2+4(1−a)x+c，
把(m,p),(m,q)分别代入y1,y2可得，
p=am2+4am+c，q=(1−a)m2+4(1−a)m+c，
则p−q=am2+4am+c−(1−a)m2+4(1−a)m+c=(2a−1)m2+4(2a−1)m，
∵a>12，
∴(2a−1)>0，
①当p−q>0时，p>q，即(2a−1)m2+4(2a−1)m>0，
m2+4m>0，
解得：m<−4或m>0；
②当p−q<0时，pm2+4m<0，
解得：−4③当p−q=0时，p=q，即(2a−1)m2+4(2a−1)m=0，
m2+4m=0，
解得：m=−4或m=0；
综上所述，当m=−4或m=0时，p=q；
当m<−4或m>0时，p>q；
当−4【点睛】本题考查二次函数的性质以及新定义问题，掌握二次函数的基本性质以及研究手段，准确根据题意求出符合要求的友好同轴二次函数是解题关键．
6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．
(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；
(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；
(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．
【答案】(1)是定弦抛物线，理由见解析
(2)y=-33(x+1)(x-3)或y=33(x+1)(x-3)
(3)b＝﹣4或-283
【分析】（1）令y＝0，求出与x轴的交点坐标，可判断；
（2）分开口向上向下讨论，利用定弦抛物线的定义和对称轴可求出与x轴交点坐标，用相似求出与y轴交点坐标，代入可得答案；
（3）根据对称轴和所给范围分情况讨论即可．
【详解】（1）解：当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
则|x1 -x2|＝4，
即该抛物线是定弦抛物线；
（2）：当该抛物线开口向下时，如图所示．
∵该定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，
设C(m,0),D(n,0)
则n−m=4n+m=2
解得：m=−1n=3
∴ C（﹣1，0），D（3，0），
∵△CED为直角三角形
∴由题意可得∠CED＝90°，
∵EO⊥CD，
∴△CEO∽△EDO，
∴OE2＝OC·OD＝3，
∴E（0，3）
设该定弦抛物线表达式为y=a(x+1)(x-3)，
把E（0，3）代入求得a=-33
∴该定弦抛物线表达式为y=-33(x+1)(x-3)，
当该抛物线开口向上时，
同理可得该定弦抛物线表达式为y=33(x+1)(x-3)，
∴综上所述，该定弦抛物线表达式为y=-33(x+1)(x-3)或y=33(x+1)(x-3)；
（3）解：若-b2≤ 2，则在2≤ x ≤4中，
当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝2时该定弦抛物线取最小值．
∴l6+4b+c-(4+2b+c)＝-b2+2，
解得：b＝﹣4，
∵-b2≤ 2，
∴b≥﹣4，即b＝﹣4，
若2≤-b2≤ 3，则在2≤x≤4中，
当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝-b2时该定弦抛物线取最小值．
∴16+4b+c﹣4c-b24＝-b2+2，
解得：b1＝﹣4，b2＝﹣14，
∵2≤-b2≤3，
∴﹣6≤ b≤﹣4，
∴b1＝﹣4，b2＝﹣14（舍去），
若3<-b2≤ 4，则在2≤ x ≤4中，
当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝-b2时该定弦抛物线取最小值．
∴4+2b+c﹣4c-b24＝-b2+2，
解得：b＝﹣5±17，
∵3<-b2≤4，
∴﹣8≤ b＜﹣6，
∴b＝﹣5±17不合题意，舍去，
若-b2＞4，则在2≤ x≤ 4中，
当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝4时该定弦抛物线取最小值．
∴4+2b+c-(16+4b+c)＝-b2+2，
解得：b＝-283，
∵-b2＞4，
∴b＜﹣8，
∴ b＝﹣283，
∴综上所述b＝﹣4或-283．
【点睛】本题考查了二次函数的综合性质，包括与x轴交点问题，最值问题，以及和相似的结合，准确地理解定弦抛物线的定义以及分类讨论是解决本题的关键．
7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线y1=a1x+ℎ2+k1与抛物线y2=a2x+ℎ2+k2．同时满足a2=−4a1且k2=−14k1，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．
(1)已知抛物线y1=−14x2+bx+c与y2=x2−2x−3是一对共轭抛物线，求y1的解析式；
(2)如图1，将一副边长为42的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为y1，经过A、B、C的抛物线为y2，请立接写出y1、y2的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．
【答案】(1)y1=−14x2+12x+634
(2)y1=−18x2+8，y2=12x2−2，y1、y2是一对共轭抛物线
【分析】（1）将y2=x2−2x−3化作顶点式，可求出a2，ℎ和k2的值，根据“共轭抛物线”的定义可求出a1，ℎ和k1的值，进而求出y1的解析式；
（2）根据七巧板各个图形之间的关系可求出各个图形的边长，进而可表示点A，B，C，D，E的坐标，分别求出y1和y2的解析式，再根据“共轭抛物线”的定义可求解．
【详解】（1）解： y2=x2−2x−3=x−12−4，
∴a2=1，ℎ=−1，k2=−4，
∵抛物线y1=−14x2+bx+c与y2=x2−2x−3是一对共轭抛物线，
∴a1=a2−4=−14，ℎ=−1且k1=−4k1=16，
y1=−14x−12+16=−14x2+12x+634．
（2）解：如图，
由题意得，DF=AF=42，则AG=GF=DG=GF=4，EG=2，HG=2，BC=4，OF=2，
∵点O为BC的中点，∴BO=OC=2，
∴B−2,0，C2,0，A−4,6，D4,6，E0,8，
∴可设抛物线y1=a1x+4x−4+6，与抛物线y2=a2x+2x−2，
∴−16a1+6=8，−4+2−4−2a2=6，解得：a1=−18，a2=12，
∴抛物线y1=18x+4x−4+6=−18x2+8，
抛物线y2=12x+2x−2=12x2−2，
∴a1=−18，ℎ=0，k1=8，a2=12，ℎ=0，k2=−2，
∵−18×−4=12，−14×8=−2，
∴满足a2=−4a1且k2=−14k1，
∴y1、y2是一对共轭抛物线．
【点睛】本题属于二次函数的新定义类问题，主要考查利用待定系数法求函数表达式，二次函数的顶点式，一般式及交点式三种方式的变换，熟知相关运算是解题关键．
8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点Ax1,0，Bx2,0，那么我们把线段AB叫做雅礼弦，AB两点之间的距离l称为抛物线的雅礼弦长．
(1)求抛物线y=x2−2x−3的雅礼弦长；
(2)求抛物线y=x2+n+1x−1(1≤n<3)的雅礼弦长的取值范围；
(3)设m，n为正整数，且m≠1，抛物线y=x2+4−mtx−4mt的雅礼弦长为l1，抛物线y=−x2+t−nx+nt的雅礼弦长为l2，s=l12−l22，试求出s与t之间的函数关系式，若不论t为何值，s≥0恒成立，求m，n的值．
【答案】(1)4
(2)22≤AB<25
(3)m=2，n=2或m=4，n=1
【分析】（1）根据定义求得抛物线与x轴的交点坐标即可求解；
（2）根据（1）的方法求得AB=(n+1)2+4，根据n的范围，即可求解．
（3）根据题意，分别求得l1,l2，根据s=l12−l22，求得出s与t之间的函数关系式，根据s≥0恒成立，可得mn=4，根据m，n为正整数，且m≠1，即可求解．
【详解】（1）解：x2−2x−3=0，
x−3x+1=0，
∴x1=3，x2=−1，
∴雅礼弦长AB=4；
（2）x2+(n+1)x−1=0，A(x1,0)B(x1,0)，
∴AB=|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2，
∵Δ=(n+1)2+4>0，x1+x2=−(n+1)x1x2=−1，
∴AB=(n+1)2+4，
∵1≤n<3，
∴当n=1时，AB最小值为22，
当n=3时，AB最大值小于25，
∴22≤AB<25；
（3）由题意，令y=x2+(4−mt)x−4mt=0，
∴x1+x2=mt−4，x1x2=−4mt，
则l12=(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=(mt+4)2，
同理l22=(n+t)2，
s=(mt+4)2−(n+t)2=(m2−1)t2+(8m−2n)t+(16−n2)，
∵m2−1≠0，
∴要不论t为何值，S≥0恒成立，
即：(m2−1)t2+(8m−2n)t+(16−n2)≥0恒成立，
由题意得：m2−1>0，Δ=(8m−2n)2−4(m2−1)(16−n2)≤0，
解得：(mn−4)2≤0，mn=4
∵m，n为正整数，且m≠1，
则m=2，n=2或m=4，n=1．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题的关键．
9．（2023春·河南濮阳·九年级统考期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面问题：
(1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数” ；
(2)若函数y=−x2+43mx−2与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值；
(3)已知函数y=12(x−1)(x+4)的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=12(x−1)(x+4)互为“旋转函数”
【答案】(1)y＝-x2-3x＋2；
(2)1
(3)见解析
【分析】（1）根据y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，可得旋转函数；
（2）根据y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，根据负数奇数次幂是负数，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C的坐标，根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得A1，B1，C1，根据待定系数法，可得函数解析式；根据y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，可得旋转函数．
【详解】（1）解：由y=x2-3x-2函数可知a1＝1，b1＝-3，c1＝−2．
由a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，得
a2＝-1，b2＝-3，c2＝2．
函数y＝x2＋3x−2的“旋转函数”为y＝-x2-3x＋2；
（2）由y=−x2+43mx−2与y＝x2−2nx＋n互为“旋转函数“，
得−2n＝43m，−2＋n＝0．
解得n＝2，m＝−3．
当m＝2，n＝−3时，(m+n)2020＝（2−3）2020＝（−1）2020＝1；
（3）∵当y＝0时，12(x−1)(x+4)=0，解得x＝−1，x＝4，
∴A（−1，0），B（4，0）．
当x＝0时，y＝12×（−4）＝-2，即C（0，-2）．
由点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
得A1（1，0），B1（−4，0），C1（0，2）．
设过点A1，B1，C1的二次函数y＝a(x+1)x−4，将C1（0，2）代入，
解得a=−12，
∴过点A1，B1，C1的二次函数y=−12x+1x−4 =−12x2+32x+2
而y=12(x−1)(x+4)=12x2+32x−2
∴a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，
∴经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y=12(x−1)(x+4)互为“旋转函数”．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力．
10．（2023春·山西大同·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
定义：我们把自变量为x的二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2−bx+c（a≠0，b≠0）称为一对“亲密函数”，如y=5x2−3x+2的“亲密函数”是y=5x2+3x+2．
任务：
（1）写出二次函数y=x2+3x−4的“亲密函数”：______；
（2）二次函数y=x2+3x−4的图像与x轴交点的横坐标为1和−4，它的“亲密函数”的图像与x轴交点的横坐标为______，猜想二次函数y=ax2+bx+c（b2−4ac>0）的图像与x轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与x轴交点的横坐标之间的关系是______；
（3）二次函数y=x2+bx−2021的图像与x轴交点的横坐标为1和−2021，请利用（2）中的结论直接写出二次函数y=4x2−2bx−2021的图像与x轴交点的横坐标．
【答案】（1）y=x2−3x−4；（2）4和-1；互为相反数；（3）二次函数y=4x2−2bx−2021的图像与x轴交点的横坐标为−12和20212
【分析】（1）根据二次函数y=x2+3x−4的“亲密函数”定义把一次项系数变为相反数即可；
（2）利用“亲密函数”建立y=0时方程，解方程，得出“亲密函数”与x轴交点横坐标，与原函数与x轴交点横坐标比较，得出规律即可；
（3）先将函数变形，发现与“亲密函数”类似，根据原函数与x轴交点横坐标得出“亲密函数”与x轴交点横坐标，利用2x等于交点横坐标，求出x得出所求函数与x轴的交点横坐标即可．
【详解】解：（1）二次函数y=x2+3x−4的“亲密函数”为y=x2−3x−4，
故答案为：y=x2−3x−4；
（2）x2−3x−4=0，解得x=4,x=−1，
它的“亲密函数”的图像与x轴交点的横坐标为4和-1，
∴二次函数y=ax2+bx+c（b2−4ac>0）的图像与x轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与x轴交点的横坐标之间的关系是互为相反数；
故答案为4和-1；互为相反数；
（3）y=4x2−2bx−2021=2x2−b2x−2021，
∵二次函数y=x2+bx−2021的图像与x轴交点的横坐标为1和−2021，
∴二次函数y=x2−bx−2021的图像与x轴交点的横坐标为-1和2021，
∴y=4x2−2bx−2021=2x2−b2x−2021图像与x轴交点的横坐标为-1和2021，
∴2x=-1,2x=2021，
∴x=−12，x=20212，
∴二次函数y=4x2−2bx−2021的图像与x轴交点的横坐标为−12和20212．
【点睛】本题考查新定义函数，仔细阅读题目，抓住实质，抛物线与x轴交点横坐标和一元二次方程的根，利用“亲密函数”变形得出新函数图像与x轴的交点横坐标是解题关键．
【类型2 二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】
1．（2023春·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数y=ax2+a+bx+b叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数y=ax2+a+bx+b的“本源函数”（a，b为常数，且a≠0）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是y=ax2−3x+a+1，那么二次函数y=ax2−3x+a+1的“本源函数”是．
【答案】y=﹣2x-1
【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数y=ax2−3x+a+1的本源函数．
【详解】解：由题意得﹣3=a+ba+1=b
解得a=﹣2b=﹣1
∴函数y=ax2−3x+a+1的本源函数是y=﹣2x-1．
故答案为：y=﹣2x-1．
【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．
2．（2023春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点1,1是函数y=−2x+3的不动点．已知二次函数y=x2+2b+2x+b2（b是实数）．
(1)若点−1,−1是该二次函数的一个不动点，求b的值；
(2)若该二次函数始终存在不动点，求b的取值范围．
【答案】(1)1+3或1−3
(2)b≥−34
【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可；
（2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可．
【详解】（1）解：依题意把点−1,−1代入解析式y=x2+2b+2x+b2，
得−1=1−2b+2+b2，化简得：b2−2b−2=0，解得：b1=1+3,b2=1−3；
（2）解：设点t,t是函数y=x2+2b+2x+b2的一个不动点，
则有t=t2+2b+2t+b2，化简得，t2+2b+3t+b2=0，
∵关于t的方程有实数解，
∴ Δ=2b+32−4b2≥0，解得：b≥−34．
【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与判别式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题．
3．（2023·安徽·模拟预测）已知函数y1=2kx+k与函数y2=x2−2x+3，定义“和函数”y=y1+y2．
(1)若k=2，则“和函数”y= ；
(2)若“和函数”y为y=x2+bx−2，则k= ，b= ；
(3)若该“和函数”y的顶点在直线y=−x上，求k．
【答案】(1)x2+2x+5．
(2)−5，−12．
(3)k=3或−1．
【分析】（1）将k=2代入函数y1=2kx+k中得出函数y1=4x+2，再利用y=y1+y2即可得出结论；
（2）y的解析式为y=y1+y2=x2+（2k−2）x+k+3，又y=x2+bx−2，利用两者相等即可得出结论；
（3）先得出和函数y=y1+y2=x2+（2k−2）x+k+3=（x+k−1）2−k2+3k+2，进而根据顶点在直线y=−x上得出−k2+3k+2=−(k−1)，即可得出结论．
【详解】（1）解：当k=2时，y1=2kx+k=4x+2，
∵函数y2=x2−2x+3，此时和函数y=y1+y2，
∴y=4x+2+x2−2x+3=x2+2x+5，
故答案为：x2+2x+5．
（2）解：∵函数y1=2kx+k与函数y2=x2−2x+3，和函数y=y1+y2，
∴和函数y的解析式为y=y1+y2=x2+（2k−2）x+k+3，
∵和函数y的解析式为y=x2+bx−2，
∴b=2k−2，k+3=−2，
∴k=−5，b=−12，
故答案为：−5，−12．
（3）解：由题意得和函数为
y=y1+y2=x2+（2k−2）x+k+3，
=（x+k−1）2−k2+3k+2，
∴和函数的顶点为（1−k，−k2+3k+2），
∵和函数的顶点在y=−x上，
∴−k2+3k+2=−(1−k)，
整理得k2−2k−3=0，
解得k1=3，k2=−1．
故答案为：k=3或−1．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的顶点坐标、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
4．（2023·北京·模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点Ax1,y1和Bx2,y2，用以下方式定义两点间距离：dA,B=x1−x2+y1−y2．
(1)①已知点A−2,1，则dO,A=______．
②函数y=−2x+40≤x≤2的图象如图①所示，B是图象上一点，dO,B=3，求点B的坐标．
(2)函数y=x2−5x+7x≥0的图象如图②所示，D是图象上一点，求dO,D的最小值及对应的点D的坐标．
【答案】(1)①3，②1,2
(2)3，2,1
【分析】（1）①根据公式dA,B=x1−x2+y1−y2直接计算即可；②根据函数y=−2x+40≤x≤2的图象上的点的横纵坐标均非负，可得xB≥0，yB≥0，yB=−2xB+4，再根据dO,B=3，可得0−xB+0−yB=3，即有xB+yB=3，进而可得yB=−2xB+4xB+yB=3，解方程即可求解；
（2）函数y=x2−5x+7化为顶点式为：y=x−522+34，即可得y≥34，x≥0，根据点D是图象上一点，可得yD≥34，xD≥0，yD=xD2−5xD+7，则有dO,D=0−xD+0−yD=xD+yD，即可得dO,D=xD−22+3，问题随之得解．
【详解】（1）①∵A−2,1，O0,0，
∴dO,A=x1−x2+y1−y2=0−−2+0−1=3，
故答案为：3；
②∵点B是函数y=−2x+40≤x≤2的图象点，
∵函数y=−2x+40≤x≤2的图象上的点的横纵坐标均非负，
∴xB≥0，yB≥0，yB=−2xB+4，
∵dO,B=3，
∴0−xB+0−yB=3，
∴xB+yB=3，
∵yB=−2xB+4，
∴yB=−2xB+4xB+yB=3，
解得：xB=1yB=2，
∴B点坐标为：1,2，
（2）函数y=x2−5x+7化为顶点式为：y=x−522+34，
∴y=x−522+34≥34，
∵x≥0，点D是图象上一点，
∴yD≥34，xD≥0，yD=xD2−5xD+7，
∴dO,D=0−xD+0−yD=xD+yD，
∴dO,D=xD+xD2−5xD+7=xD2−4xD+7，
∴dO,D=xD−22+3，
∴当xD=2时，dO,D有最小值，最小值为dO,D=3，
∴yD=xD2−5xD+7=22−5×2+7=1，
∴D点坐标为：2,1，
即最小值为3，D点坐标为2,1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，充分理解定义的两点间距离：dA,B=x1−x2+y1−y2，是解答本题的关键．
5．（2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【a，b，c】为函数y=ax2+bx+c的“特征数”，如：函数y=2x2−3x+5的“特征数”是【2，−3，5】，函数y=x+2的“特征数”是【0，1，2】
(1)若一个函数的“特征数”是【1，−4，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图像对应的函数“特征数”是______；
(2)将“特征数”是【0，−33，−1】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是______；
(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与y轴交于A、B两点，与直线x=−3分别交于D、C两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、B、C、D四点为顶点的四边形的面积；
(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，−2b，b2+12】的函数图像有交点，求满足条件的实数b的取值范围．
【答案】(1)【1，0，−2】
(2)y=−33x+1
(3)图见解析；面积为23
(4)−3−62≤b≤22
【分析】（1）由已知可知y=x2−4x+1，平移后的函数为y=x2−2，则可求“特征数”；
（2）由已知可知函数为y=−33x−1，平移后函数为y=−33x+1；
（3）令x=0，求出A(0,−1)，B(0,1)，令x=−3，求出D−3，0，C−3，2，则AB=CD=AD=2，又由AB∥CD，可判断四边形ABCD是菱形；然后结合图形求面积即可；
（4）由已知可得y=x2−2bx+b2+12=(x−b)2+12，则函数与AD边无交点，只能与BC边有交点，将B(0,1)代入函数，将C−3，2代入函数求解即可得出结果．
【详解】（1）解：∵函数的特征数是【1，−4，1】，
∴函数为y=x2−4x+1=x−22−3，
将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y=x2−2，
∴函数y=x2−2的“特征数”是【1，0，−2】．
故答案为：【1，0，−2】．
（2）∵函数的“特征数”是【0，−33，−1】，
∴y=−33x−1，
∵函数图象向上平移2个单位，
∴平移后函数为y=−33x+1．
故答案为：y=−33x+1．
（3）解：令x=0，则A(0,−1)，B(0,1)，
∴AB=2，
令x=−3，则D−3，0，C−3，2，
∴CD=2，AO=1,DO=3，
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AO2+DO2=12+(3)2=2，
∴四边形ABCD是菱形．
S四边形ABCD=AB×DO=23；
（4）∵函数的“特征数”是【1，−2b，b2+12】，
∴y=x2−2bx+b2+12=(x−b)2+12，
∴由函数图象得：函数与AD边无交点，
∴函数与BC边有交点，
将B(0,1)代入函数y=x2−2bx＋b2＋12得：b=±22，
将C−3，2代入函数y=x2−2bx+b2+12得：b=−3±62，
∴−3−62≤b≤22．
【点睛】本题考查二次函数的综合、新定义，函数的平移，理解定义，能将定义与所学函数知识结合是解题的关键．
6．（2023春·福建龙岩·九年级校考期末）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x−1，它的相关函数为y=−x+1(x<0)x−1(x≥0)
(1)已知点A（-2，1）在一次函数y=ax−3的相关函数的图象上时，求a的值．
(2)已知二次函数y=−x2+4x−12．当点B（m，52）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值．
【答案】(1)a=-1；
(2)m=2-6或m=3或m=1．
【分析】（1）函数y=ax-3的相关函数为y=−ax+3(x<0)ax−3(x≥0)，将点A（-2，1）代入y=-ax+3即可求解；
（2）当m＜0时，将B（m，52）代入y=x2-4x+12得m2-4m+12=52，可求得m的值；当m≥0时，将B（m，52）代入y=-x2+4x-12得：-m2+4m-12=52，可求得m的值．
(1)
解：函数y=ax-3的相关函数为y=−ax+3(x<0)ax−3(x≥0)，
将点A（-2，1）代入y=-ax+3得：2a+3=1，解得：a=-1；
(2)
解：二次函数y=-x2+4x-12的相关函数为y=x2−4x+12(x<0)−x2+4x−12(x≥0)，
①当m＜0时，将B（m，52）代入y=x2-4x+12得m2-4m+12=52，
解得：m=2+6（舍去）或m=2-6；
②当m≥0时，将B（m，52）代入y=-x2+4x-12得：-m2+4m-12=52，
解得：m=3或m=1．
综上所述：m=2-6或m=3或m=1．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，理解互为相关函数的概念是解题的关键．
7．（2023春·江苏南通·九年级统考期末）定义：若图形M与图形N有且只有两个公共点，则称图形M与图形N互为“双联图形”，即图形M是图形N的“双联图形”，图形N是图形M的“双联图形”．
(1)若直线y=−x+b与抛物线y=x2+1互为“双联图形”，且直线y=−x+b不是双曲线y=1x的“双联图形”，求实数b的取值范围；
(2)如图2，已知A−2,0，B4,0，C1,3三点．若二次函数y=ax+12+3的图象与△ABC互为“双联图形”，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)b的取值范围是34(2)−3【分析】（1）已知直线y=−x+b与抛物线y=x2+1有且只有两个公共点，
∴将y=−x+b代入抛物线y=x2+1中，得，
x2+x+1−b=0
配方得，(x+12)2=b−34
∵方程有实数解，
∴b−34>0即b>34
又直线y=−x+b不是双曲线y=1x的“双联图形”，
∴直线y=−x+b与双曲线y=1x最多有一个公共点，
即当x=1时，y=−x+b≤1代入得，−1+b≤1，即b≤2，
∴实数b的取值范围是34（2）∵y=ax+12+3是二次函数，
∴a≠0
∵二次函数y=ax+12+3的顶点坐标为（-1，3），且对称轴为直线x=-1，
∴当a>0时，二次函数y=ax+12+3的图象与ΔABC的图象没有交点，
∴a>0不成立；
当a<0时，二次函数y=ax+12+3的图象开口向下，为使它与ΔABC互为双联图形，即有且只有两个公共点，
∴①当抛物线与AC和AB相交时，设直线BC的解析式为y=mx+n，
把C(1，4)，B(4，0)代入，得
b=4k+b=3，
∴b=4k=−1，
∴y=-x+4，
∵抛物线与BC不想交，
∴ax+12+3=−x+4，即ax2+(2a+1)x+a-1=0无实数根，
∴(2a+1)2-4a(a-1)<0，
解得a<−18，
又当x=−2时，要满足y>0，相当于a+3>0，所以a>−3；
∴−3②当抛物线与AC和BC相交时，
当x=4时，要满足y>0，相当于25a+3>0，所以，a>−325，
∴−325综上，a的取值范围为：−38．（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
（1）①点A（1，3）的“坐标差”为；
②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为；
（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m＝；（用含c的式子表示）
②求b的值．
【答案】（1）①2；②5；（2）①m＝－c；②3−22或3+22．
【分析】（1）①由题中所给“坐标差”的定义即可得到点A（1，3）的坐标差.
②由坐标差的定义可得：二次函数y＝－x2＋3x＋4图象上点的坐标差为：y－x＝－x2＋3x＋4－x＝－x2＋2x＋4，将此关系式配方即可求得y－x的最大值，从而得到抛物线y＝－x2＋3x＋4的“特征值”.
（2）①由题意可得：0－m＝c－0，由此可得：m＝－c.
②由m＝－c可得点B的坐标为（－c，0），把点B的坐标代入y＝x2＋bx＋c（c≠0）中可得c(c－b＋1)＝0，由c≠0可得c－b＋1＝0，即b＝c＋1，再由y-x＝－x2＋（b－1）x＋c.
（c≠0）的特征值为1可得：b−124+c=1，两者即可解得b和c的值．
【详解】解：（1）①根据图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，
点A（1，3）的“坐标差”为3－1＝2，
故答案为2；
②抛物线y＝﹣x2＋3x＋4的“特征值”为－x2＋3x＋4－x
－x2＋3x＋4－x＝－x2＋2x＋4＝－(x2－2x＋1－1)＋4＝－(x－1)2＋5，
所以抛物线y＝﹣x2＋3x＋4的“特征值”为5.
故答案为5；
（2）①∵点C是此二次函数的图象与y轴的交点，
∴C（0，c）,
∵ B（m，0），点B与点C的“坐标差”相等．
∴c-0=0-m
∴m=-c,
故答案为：m＝－c.
②∵m＝－c
∴B（－c，0）
将其代入 y＝－x2＋bx＋c中，
得－c2－bc＋c＝0
∵c≠0
∴－c－b＋1＝0
∴b＝－c＋1①
∴其“坐标差”为：y－x＝－x2＋bx＋c－x＝－x2＋（b－1）x＋c.
∴y－x＝－x2＋（b－1）x＋c=-[ x-（b−12）]2+b−124+c
∵“特征值”为1.
∴b−124+c=1②.
将①代入②中，
c2+4c=4
解得c＝±22－2，
当c=22−2，b=−c+1=−22−2+1=3−22,
当c=−22−2，b=−c+1=−−22−2+1=3+22．
【点睛】本题考查新定义“坐标差”“特征值”，仔细阅读，掌握新定义的特征，二次函数的性质，一元二次方程的解法，解题的解题关键是能够正确利用题意进行计算，正确利用“特征值”的定义计算．
9．（2023春·北京·九年级人大附中校考期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．
(1)直接写出有界函数y=2x+1−4(2)已知函数y=2x2+bx+cm≤x≤n,m(3)将函数y=2x2−1≤x≤k,k≥0的图象向下平移k个单位，得到的函数的边界值是t，直接写出k的取值范围，使得32≤t≤2．
【答案】(1)7
(2)23
(3)0≤k≤12或13+14≤k≤17+14
【分析】（1）先分别代入解析式，计算对应的函数值，再根据有界函数的定义确定边界值即可．
（2）根据新定义可得当n−m最大时y=2x2+bx+c的顶点在y=−3上，求得此时y=2x2+bx+c与y=3的交点的线段长，即为所求；
（3）分k>2，0≤k≤2两种情况根据新定义分析即可．
【详解】（1）解：解析式为y=2x+1−4当x=−4时，y=2x+1=−8+1=−7；
当x=2时，y=2x+1=4+1=5；
因为−7根据定义可得−7≤y≤7
所以函数y=2x+1−4＜x≤2的边界值是7．
（2）解：∵函数y=2x2+bx+cm≤x≤n,m∴y=2x2+bx+c开口向上，
如图，当n−m最大时，y=2x2+bx+c的顶点在y=−3上，此时BC的长最大，
设y=2x2+bx+c=2x−ℎ2−3，
当y=3时，6=2x−ℎ2，
解得：x=ℎ±3，
∴n−m=ℎ+3−ℎ−3=23，
即n−m的最大值为23．
（3）解：∵函数y=2x2−1≤x≤k,k≥0的图象向下平移k个单位，
所以解析式为y=2x2−k，
当x=0时，函数值为y=−k，是函数的最小值，
当k>2时，函数值为y=−k<−2，
所以边界值t>2，与32≤t≤2矛盾，
所以k>2不成立；
当k≤2时，
当x=0时，函数y=2x2=0，函数过点0,0，此时函数有最小值，
当x=−1时，函数y=2x2=2，函数过点−1,2，
当函数向下平移k个单位后，两个点的坐标变为0,−k，−1,2−k，
∵函数的边界值是t满足32≤t≤2，
∴32≤2−k≤20≤k≤1或32≤2k2−k≤21解得0≤k≤12或13+14≤k≤17+14，
故当0≤k≤12或13+14≤k≤17+14时，满足32≤t≤2．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、有界函数的定义以及解一元一次不等式组，解题的关键是理解新定义，列出不等式．
10．（2023春·湖南长沙·九年级校考期中）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”y=x+1，其“明德点”为（1，2）．
(1)①判断：函数y=2x+3 __________ “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数y=x2的图像上的明德点是 ___________；
(2)若抛物线y=m−1x2+mx+14m上有两个“明德点”，求m的取值范围；
(3)若函数y=x2+(m−k+2)x+n4−k2的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当−1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．
【答案】(1)①不是；②（2，4）
(2)m>5+52或m<5−52，且m≠1
(3)k=−3−52或k=0
【分析】（1）根据定义，即可得到结果；
（2）根据抛物线y=m−1x2+mx+14m上有两个“明德点”，可知Δ>0，得到m2−5m+5>0，求解一元二次不等式方程即可；
（3）若函数y=x2+(m−k+2)x+n4−k2的图像上存在唯一的一个“明德点”，可知Δ=0 ，得到方程n=m−k2+2k，再进行分类讨论即可求出k值．
【详解】（1）①∵2x=2x+3时无解，
∴y=2x+3不是“明德函数”；
②根据定义2x=x2，
解得：x1=2，x2=0（舍去），
∴明德点是（2，4）；
（2）∵抛物线y=m−1x2+mx+14m是“明德函数”，
∴2x=m−1x2+mx+14，
整理得：m−1x2+m−2x+14=0，
∵抛物线y=m−1x2+mx+14m上有两个“明德点”，
∴Δ=m−22−4m−1×14=m2−4m+4−m+1=m2−5m+5>0，
即m−522−54>0，
解得：m>5+52或m<5−52，
∵m−1≠0，
∴m≠1，
∴m的取值范围为m>5+52或m<5−52且m≠1；
（3）∵函数y=x2+(m−k+2)x+n4−k2的图像上存在唯一的一个“明德点”，
∴2x=x2+(m−k+2)x+n4−k2，且Δ=0，
∴m−k2−4n4−k2=0，
即m−k2−n+2k=0，
∴n=m−k2+2k，
n是关于m的二次函数，对称轴为m=k，
①若k≤−1，则当m=−1，时，n有最小值k，
∴−1−k2+2k=k，即k2+3k+1=0，
解得：k=−3−52或k=−3+52（舍去）；
②若k≥3 ，则当m=3时，n有最小值k，
∴3−k2+2k=k，即k2−5k+9=0，
∵Δ=−52−4×9=−11<0，
∴方程没有实数根；
③若−1∴2k=k，
解得k=0，
综上可知：k=−3−52或k=0．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，理解新定义，将新定义与所学二次函数，一元二次方程的知识相结合，熟练掌握跟与系数关系是解题关键．
【类型3 二次函数与几何图形综合问题中的新定义问题】
1．（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A0,2，点C2,0，则互异二次函数y=x−m2−m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（）
A．4，-1B．5−172，-1C．4，0D．5+172，-1
【答案】D
【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：由正方形的性质可知：B（2,2）；
若二次函数y=x−m2−m与正方形OABC有交点,则共有以下四种情况:
当m≤0时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有m≤0m2−m≤2，
解得：−1≤m<0；
当0解得：0当10，
解得：1当m>2时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有m>2m2−m≥02−m2−m≤2，
解得：2综上可得：m的最大值和最小值分别是5+172，−1．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．
2．（2023春·山东济南·九年级统考期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．
（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标；
（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．
（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B'、C'，连接BC、CC'、B'C'、BB'．
①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）(1，﹣2)，(1，2)；（2）y＝2（x﹣1）2﹣5；（3）①a＝23；②34≤a≤1或﹣14≤a＜﹣15
【分析】（1）根据顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）；
（2）先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；
（3）①写出点B的坐标，再由对称轴求出点B'，然后结合正方形的性质列出方程求 a；
②先由对称性分析得到封闭区域内在x轴上整点的个数，然后针对抛物线L开口的不同进行分类讨论．
【详解】解：（1）由y1＝（x﹣1）2﹣2知顶点坐标为（1，﹣2），
由y2＝﹣（x﹣1）2+2知顶点坐标为（1，2），
故答案为：（1，﹣2），（1，2）．
（2）∵y＝﹣2x2+4x+3y＝﹣2（x﹣1）2+5，
∴“同轴对称抛物线”的解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣5．
（3）①当x＝1时，y＝1﹣3a，
∴B（1，1﹣3a），
∴C（1，3a﹣1），
∴BC＝|1﹣3a﹣（3a﹣1）|＝|2﹣6a|，
∵抛物线L的对称轴为直线x＝−−4a2a＝2，
∴点B'（3，1﹣3a），
∴BB'＝3﹣1＝2，
∵四边形BB'C'C是正方形，
∴BC＝BB'，即|2﹣6a|＝2，
解得：a＝0（舍）或a＝23．
②抛物线L的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1﹣4a），
∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，
∴整点数也是关于x轴对称出现的，
∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，
（i）当a＞0时，
∵L开口向上，与y轴交于点（0，1），
∴封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，
∴当x＝1时，﹣2≤1﹣3a＜﹣1，当x＝2时，﹣3≤1﹣4a＜﹣2，
解得：34≤a≤1；
（ii）当a＜0时，
∵L开口向下，与y轴交于点（0，1），
∴封闭区域内在x轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，
∴当x＝2时，1＜1﹣4a≤2，当x＝﹣1时，5a+1＜0，
解得：−14≤a<−15，
综上所述：34≤a≤1或﹣14≤a＜﹣15．
【点睛】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”．
3．（2023春·北京门头沟·九年级大峪中学校考期中）定义：对于平面直角坐标系xOy上的点Pa,b和抛物线y=x2+ax+b，我们称Pa,b是抛物线y=x2+ax+b的相伴点，抛物线y=x2+ax+b是点Pa,b的相伴抛物线．如图，已知点A−2,−2，B4,−2，C1,4．
（1）点A的相伴抛物线的解析式为______；过A，B两点的抛物线y=x2+ax+b的相伴点坐标为______；
（2）设点 Pa,b在直线AC上运动：
①点Pa,b的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式．
②当点Pa,b的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）y=x2−2x−2，(−2，−10)；（2）①抛物线Ω的解析式为：y=−x2−4x+2；②4−42【分析】（1）a=b=−2，故抛物线的表达式为：y=x2-2x-2，故答案为：y=x2-2x-2；将点A、B坐标代入y=x2+ax+b并解得：a=-2，b=-10；
（2）①直线AC的表达式为：y=2x+2，设点P（m，2m+2），则抛物线的表达式为：y=x2+mx+2m+2，顶点为：（−12m，−14m2+2m+2），即可求解；
②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，即可求解．
【详解】解：（1）a=b=﹣2，
故抛物线的表达式为：y=x2−2x−2．
故答案为：y=x2−2x−2；
将点A、B坐标代入y=x2+ax+b得：
4−2a+b=−216+4a+b=−2，
解得：a=−2，b=−10．
故答案为：(−2，−10)；
（2）①由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y=2x+2，
设点Pm，2m+2，则抛物线的表达式为：y=x2+mx+2m+2，
顶点为：−12m,−14m2+2m+2，
令x=−12m，则m=−2x，
则y=−14m2+2m+2=−x2−4x+2
即抛物线Ω的解析式为：y=−x2−4x+2；
②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，
抛物线与直线AC的交点为点E0,2；
当y=−2时，即y=−x2−4x+2=−2，解得：x=−2±22
故点F−2+22,−2；
故0故：4−42【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解．
4．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A． B两点不重合)，如果△ABP中PA与PB两条边的三边满足其中一边是另一边22倍，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的“好”点．
（1）命题：P(0，3)是抛物线y=−x2+2x+3的“好”点．该命题是_____（真或假）命题．
（2）如图2，已知抛物线C:y=ax2+bx(a<0)与x轴交于A，B两点，点P(1，2)是抛物线C的“好”点，求抛物线C的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点(异于点P)的坐标．
【答案】（1）假；（2）y=−13x2+73x；（3）(72，2)．
【分析】（1）y=−x2+2x+3=0，则x=3或−1，即点A、B的坐标分别为：(−1,0)、(3,0)，即可求解；
（2）分PA=22PB、PB=22PA两种情况，分别求解即可；
（3）SΔABQ=SΔABP，则点P、Q关于抛物线对称轴对称，即可求解．
【详解】解：（1）令y=−x2+2x+3=0，则x=3或−1，即点A、B的坐标分别为：(−1,0)、(3,0)，
则PA=1+9=10，PB=32，
则PA与PB两条边满足其中一边是另一边的22倍，则该命题是假命题，
故答案为：假；
（2）将点P的坐标代入抛物线表达式得：a+b=2，
点A(0,0)，则点B(a−2a，0)，点P(1,2)，
则PA2=5，PB2=4+(a−2a−1)2=4+(2a)2，
①当PA=22PB时，
即5=8[4+(2a)2]，解得：方程无解；
②当PB=22PA时，
4+(2a)2=5×8=40，
解得：a=−13，则b=73，
故抛物线的表达式为：y=−13x2+73x；
（3）SΔABQ=SΔABP，则点P、Q关于抛物线对称轴对称，
函数的对称轴为：x=72，
则点Q的坐标为：(72，2)．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
5．（2023·安徽安庆·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=-233x2−433x+23与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______．
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点M的坐标．

【答案】（1）y=-233x+233；（-2，23）；（1，0）；（2）N点坐标为（0，23-3）或（32，332）
【分析】（1）由“梦想直线”的定义可求得其解析式，联立直线与抛物线的解析式可求得A,B的坐标；
（2）根据“梦想三角形”的定义，分当点N在y轴上时和当M点在y轴上时两种情况讨论即可.
【详解】解（1）由“梦想直线”的定义得，抛物线的“梦想直线”的解析式为y=-233x+233，
联立梦想直线与抛物线解析式可得y=−233x2−433x+23y=−233x+233，解得x=−2y=23或x=1y=0，
∴A（-2，23），B（1，0），
故答案为：y=-233x+233；（-2，23）；（1，0）；
（2）当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形，
如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD=2，
在y=-233x2-433x+23中，令y=0可求得x=-3或x=1，
∴C（-3，0），且A（-2，23），
∴AC=(−2+3)2+(23)2=13，
由翻折的性质可知AN=AC=13，
在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=AN2−AD2=3，
∵OD=23，
∴ON=23-3或ON=23+3，
当ON=23+3时，则MN＞OD＞CM，与MN=CM矛盾，不合题意，
∴N点坐标为（0，23-3）；
当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2，
在Rt△AMD中，AD=2，OD=23，
∴∠DAM=60°，
∵AD∥x轴，
∴∠AMC=∠DAO=60°，
又由折叠可知∠NMA=∠AMC=60°，
∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，
∴MP=12MN=32，NP=32MN=332，
∴此时N点坐标为（32，332）；
综上可知N点坐标为（0，23-3）或（32，332）；
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，二次函数与一元二次方程的联系，翻折的性质，勾股定理，正确的理解“梦想直线”和“梦想三角的定义是解决问题的关键.
6．（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）定义：在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分，则称P、Q为线段MN的三等分点．
已知一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点C的左边）．
（1）直接写出点A、C的坐标；
（2）①二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式；
②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重合）作PF⊥x轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得AP＝BE？若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由；
（3）在（2）的条件下，将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'（点A'在线段AC上，且不与C重合），△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S，试求当S＝38时点A'的坐标．
【答案】（1）点A、C的坐标分别为：（1，2）、（2，1）；（2）①抛物线的表达式为：y＝﹣32x2+72x；②P的坐标为：（15+2914，177+22998）；（3）点A′的坐标为：（32，32）
【分析】（1）先求出M、N的坐标，再根据A、C为线段MN的三等分点，即可求解；
（2）①设函数的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、C的坐标代入上式即可求解；
②设点P（m，﹣32m2+72m），AP＝BE，则（m﹣1）2+（﹣32m2+72m﹣2）2＝14，即可求解；
（3）S＝S△A′GK﹣S△A′HR＝12×GK×A′K﹣12HE×A′R＝12（1﹣12m）（2﹣m）﹣12（1﹣m）（3−3π2）＝38，即可求解．
【详解】解：（1）一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，令x=0，y=3，则M的坐标为（0，3），令y=0，x=3，则N的坐标为（3，0），由A、C为线段MN的三等分点，则点A、C的坐标分别为：（1，2）、（2，1）；
（2）①设函数的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、C的坐标代入上式得：2=a+b1=4a+2b，解得：a=−32b=72，
故抛物线的表达式为：y＝﹣32x2+72x；
②存在，理由：
设点P（m，﹣32m2+72m），
直线OC的表达式为：y＝12x，则点B（1，12），BE＝12，
AP＝BE，则（m﹣1）2+（﹣32m2+72m﹣2）2＝14，
化简得：7m2﹣15m+7＝0，
解得：m＝15±2914（舍去负值），
故点P的坐标为：（15+2914，177+22998）；
（3）设直线A′O′交OC于点H，交x轴于点G，直线A′B′交OC于点R，交x轴于点K，过点H作HE⊥A′B′于点E，
设点A向下平移m个单位向右平移m个单位得到A′（1+m，2﹣m），
设直线O′A′的表达式为：y＝2x+b，将点A′的坐标代入上式并解得：
直线O′A′的表达式为：y＝2x﹣3m①，
故点G（3π2，0），则GK＝1+m﹣3π2＝1﹣12m，
直线OC的表达式为：y＝12x②，
联立①②并解得：x＝2m，故点H（2m，m），则HE＝1+m﹣2m＝1﹣m，
点R（1+m，1+π2），则A′R＝2﹣m﹣12（m+1）＝3−3π2，
S＝S△A′GK﹣S△A′HR＝12×GK×A′K﹣12HE×A′R＝12（1﹣12m）（2﹣m）﹣12·3−3π2（1﹣m）＝38，
解得：m＝12，
故点A′的坐标为：（32，32）．
【点睛】本题是对二次函数知识的综合考查，难度较大，属于中考压轴题.
7．（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．
（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．
（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．
【答案】(1)-1,5;(2) y＝﹣x2+3x﹣2；(3) 2＜p＜10.
【分析】（1）1-2=-1，故“坐标差”为-1，y-x=-x2+3x+4-x=-（x-1）2+5，故“特征值”为5；
（2）由题意得：点C（0，c），故点B、C的“指标差”相等，故点B（-c，0），把点B的坐标代入y=-x2+（1-c）x+c得：0=-（-c）2+b（-c）+c，解得：b=1-c，故：y=-x2+（1-c）x+c，故抛物线的“特征值”为-1，y-x=-x2+（1-c）x+c-x=-x2-cx+c，故4×(−1)c−c24×(−1)=-1，即可求解；
（3）“坐标差”为2的一次函数为：y=x+2，对于图1，直线与矩形边的交点为：（1，3），则对称轴为：-−p2×(−1)=1，解得：p=2，对于图2，把点E（7，3）代入y=-（x-m）2+m+2并解得：m=5或10（舍去10），即可求解．
【详解】解：（1）1﹣2＝﹣1，故“坐标差”为﹣1，
y﹣x＝﹣x2+3x+4﹣x＝﹣（x﹣1）2+5，故“特征值”为5；
（2）由题意得：点C（0，c），且点B、C的“坐标差”相等，
故点B（﹣c，0），把点B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：
0＝﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c，
解得：b＝1﹣c，
故：y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，
故抛物线的“特征值”为﹣1，
∴y﹣x＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣x＝﹣x2﹣cx+c，
故4×(−1)c−c24×(−1)＝﹣1．
∴c＝﹣2，b＝3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x﹣2；
（3）“坐标差”为2的一次函数为：y＝x+2，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在y＝x+2上，
∴设抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+m+2，
当抛物线与矩形有3个交点时，如图1、2，
对于图1，直线与矩形边的交点为：（1，3），
则对称轴为：﹣p2×(−1)＝1，解得：p＝2，
对于图2，把点E（7，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2并解得：
m＝5或10（舍去10），
故﹣p2×(−1)＝5，解得：p＝10，
故二次函与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围：2＜p＜10．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法、二次函数的性质、一次函数、矩形性质等，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解．
8．（2023·浙江杭州·九年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）初步尝试
如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．
（2）理解运用
如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）综合探究
如图3，二次函数y=12x2–32x–5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）（3+892，5）或（3−892，5）
【详解】（1）如图1所示，取AC的中点D，连接BD，则△BAD和△BCD为偏等积三角形．
（2）如图2所示：过点B作BH⊥EA交EA延长线于点H．
∵四边形ABFC和四边形ADGE均为正方形，
∴∠HAC+∠DAC=90°，∠BAH+∠HAC=90°，AB=AC，AD=AE．
∴∠BAH=∠DAC．
在△ABH和△ACD中，∠BAH=∠DAC∠H=∠ADC=90°AB=AC，
∴△ABH≌△ACD．∴CD=HB．
∵S△ABE=12AE•BH，S△CDA=12AD•DC，AE=AD，CD=BH，
∴S△ABE=S△CDA．
∴△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）∵S△ABC=S△ABD，
∴点D到AB的距离等于点C到AB的距离．
将x=0代入得：y=–5， ∴CO=5．
∴点D到AB的距离为5，即点D的纵坐标为±5．
当点D的纵坐标为–5时，△ABC与△ABD全等（舍去）．
当点D的纵坐标为5时，12x2–32x–5=5，
整理得：x2–3x–20=0，解得x1=3+892，x2=3−892．
∴点D的坐标为（3+892，5）或（3−892，5）
9．（2023春·江西赣州·九年级统考期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．
如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．
（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么
①a= ，b= ．
②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．
（3）如果抛物线y=13x2−23x+73的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为 23，请直接写出点B的坐标．
【答案】（1）①a=1，b=2；②D；（2）4；（3）（1+3，1），（1−3，1）．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；根据自变量的值，可得相应的函数值，根据四边形对角线的关系，可得答案；
（2）根据对称性，可得AC的长，根据顶点式解析式，可得F2根据待定系数法，可得4a+c−1=c，根据四边形的面积公式，可得答案；
（3）分类讨论：B在A的右侧，B在A的左侧，AC=23，BD=2，可得答案．
【详解】解：（1）①由A、C点关于对称轴对称，得对称轴x=1
将C点坐标代入解析式，及对称轴公式，得−b2a=14a+2b=0
解得：a=1b=−2
故答案为：a=1,b=−2．
②当x=1时，y=x2，B1，1；
y=x2−2x=−1，D1，−1；
四边形ABCD的对角线相等互相平分，且互相垂直，
∴四边形ABCD时正方形
故选D．
（2）∵B（2，c－1），
∴AC=2×2=4．
∵当x=0，y=c，
∴A（0，c）．
∵F1：y=ax2+c，B（2，c－1）．
∴设F2：y=a（x－2）2+c－1．
∵点A（0，c）在F2上，
∴4a+c－1=c，
∴a=14．
当x=2时，y=ax2+c=4a+c，B2，4a+c
∴BD=（4a+c）－（c－1）=2．
∴S四边形ABCD=4．
（3）如图所示：
y=13x2−23x+73=13x−12+2
设F2的解析式y=13x−1−a2+2+b，B1+a,2+b,C3b+1+a,2,D1+a,13a2+2
B点在A点的右侧时，12AC=1+a−1=3
BD=13a2+2−2−b=2
解得：a=3，b=−1，B11+3,1
B在点A的左侧时，12AC=1−a+1=3
BD=13a2+2−2−b=2
解得：a=−3，b=−1，B21−3,1
综上所述，B11+3,1，B21−3,1．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，利用待定系数法求函数解析式，又利用了正方形的判定，分类讨论是解题的关键，以防遗漏．
10．（2023春·江西赣州·九年级校考期末）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝m交于点A、C（点C在点A右边）将抛物线y＝ax2+bx+c沿直线y＝m翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D．我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABCD称为惊喜四边形，对角线BD与AC之比称为惊喜度（Degreefsurprise），记作|D|＝BDAC．
（1）图①是抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿直线y＝0翻折后得到惊喜线．则点A坐标，点B坐标，惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形，|D|为．
（2）如果抛物线y＝m(x−1)2﹣6m（m＞0）沿直线y＝m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求m的值．
（3）如果抛物线y＝(x−1)2﹣6m沿直线y＝m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时，其最高点的纵坐标为16，求m的值并直接写出惊喜度|D|．
【答案】（1）（-1,0）；（1，-4）；菱形；2；（2）77；（3） m=2，D=14 或 m=10，D=70．
【分析】（1）联立两个函数的解析式，得到方程组y=x2−2x−3y=0，求得方程组的解，得A的坐标；利用配方法确定B的坐标；根据菱形的判定定理判定即可；根据惊喜度的定义计算即可；
（2）联立两个函数的解析式，得到方程组，解方程组确定交点的坐标，根据惊喜度的定义计算即可；（3）计算对称轴，分三种情形计算．
【详解】（1）根据题意，得 y=x2−2x−3y=0，∴x2−2x−3=0，
解得x1=−1,x2=3，
∴解方程组的解为x=−1y=0，x=3y=0，点A（-1,0）；
∵y＝x2﹣2x﹣3=(x−1)2−4，
∴点B的坐标为（1，-4）；
∵翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D ，
∴直线BD是抛物线的对称轴，
∴BA=BC，DA=DC，
根据翻折的意义，得BA=DA，BC=DC，
∴BA=BC=DA=DC，
∴四边形ABCD是菱形；
设点D的纵坐标为n，
根据题意，得n+(−4)2=0，
∴n=4，
∴点D的坐标为（1，4），
∴AC=xC−xA=3−(−1)=4，BD=yD−yB=4−(−4)=8，
∴|D|＝BDAC＝84=2；
故答案为：（-1,0），（1，-4），菱形，2；
（2）根据题意，得m(x−1)2−6m=m，解得x1=1+7,x2=1−7，
∴解方程组的解为x=1+7y=m，x=1−7y=m，
∴点A（1−7，m），点C（1+7，m）；
∴AC=xC−xA=1+7−1+7=27，
∵抛物线y＝m(x−1)2﹣6m（m＞0），
∴点B的坐标为（1，-6m）；
∵翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D ，
∴直线BD是抛物线的对称轴，
设点D的纵坐标为n，根据题意，得n+(−6m)2=m，
∴n=8m，
∴点D的坐标为（1，8m），
∴BD=yD−yB=8m−(−6m)=14m，
∴|D|＝BDAC＝14m27=1，
∴m=77；
（3）∵抛物线y＝(x−1)2﹣6m，
∴抛物线的对称轴为x=1，
（a）当m﹣1≤1 ≤m+3时，即﹣2≤m ≤2时，如图③，
根据（2），得点B的坐标为（1，-6m），点D的坐标为（1，8m），
根据对称性，得点D是最高点，且最高点的纵坐标为16，
∴8m=16，
∴m=2，
∴BD=yD−yB=8m−(−6m)=14m=28，
∴(x−1)2−12=2，解得x1=1+14,x2=1−14，
∴点A（1−14，2），点C（1+14，2）；
∴AC=xC−xA=1+14−1+14=214，
∴|D|＝BDAC＝28214=14；
（b）当m﹣1＞1 时，即m＞2时，如图④，
根据题意，得翻折前的坐标为（m-1，m2−10m+4），翻折后对应点R的坐标为
（m-1，16），
根据对称性，得 m2−10m+4+162=m，
∴m2−12m+20=0，
∴m=2（舍去），m=10，
∴BD=yD−yB=8m−(−6m)=14m=140，
∴(x−1)2−60=10，解得x1=1+70,x2=1−70，
∴点A（1−70，10），点C（1+70，10）；
∴AC=xC−xA=1+70−1+70=270，
∴|D|＝BDAC＝140270=70；
（c）当m+3＜1 时，即m＜-2时，不能形成惊喜线，所以不存在m，
综上所述，m=2，D=14 或 m=10，D=70．
【点睛】本题考查了二次函数的新定义问题，熟练掌握解析式联立方程组的意义及其解法，抛物线的对称性，活用分类的思想是解题的关键．