沪科版（2024）九年级上册22.3 相似三角形的性质练习题

这是一份沪科版（2024）九年级上册22.3 相似三角形的性质练习题，共73页。

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\l "_Tc14063" 【题型1 利用相似三角形的性质求解】 PAGEREF _Tc14063 \h 2
\l "_Tc11774" 【题型2 运用相似三角形解决折叠问题】 PAGEREF _Tc11774 \h 2
\l "_Tc11500" 【题型3 运用相似三角形解决三角板问题】 PAGEREF _Tc11500 \h 3
\l "_Tc11528" 【题型4 运用相似三角形解决裁剪问题】 PAGEREF _Tc11528 \h 5
\l "_Tc31343" 【题型5 运用相似三角形解决格点问题】 PAGEREF _Tc31343 \h 7
\l "_Tc7091" 【题型6 运用相似三角形探究线段之间的关系】 PAGEREF _Tc7091 \h 9
\l "_Tc876" 【题型7 运用相似三角形解决尺规作图问题】 PAGEREF _Tc876 \h 10
\l "_Tc29155" 【题型8 运用相似三角形解决动点问题】 PAGEREF _Tc29155 \h 12
\l "_Tc23814" 【题型9 运用相似三角形解决最值问题】 PAGEREF _Tc23814 \h 13
\l "_Tc16826" 【题型10 运用相似三角形解决多结论问题】 PAGEREF _Tc16826 \h 14
知识点1：相似三角形的性质
【题型1 利用相似三角形的性质求解】
【例1】（23-24九年级·四川成都·期末）若△ABC∽△A1B1C1，且ABA1B1＝23．若△ABC的面积为8，则△A1B1C1的面积是（ ）
A．83B．6C．9D．18
【变式1-1】（23-24九年级·江苏连云港·期末）已知△ABC∽△DEF,△ABC的三条边分别为6、8、10，若△DEF的最短边为3，则最长边为 ．
【变式1-2】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，点P在△ABC的边AB上，∠A=70°，∠B=45°，若△ABC∽△ACP，则∠APC=（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
【变式1-3】（23-24九年级·陕西西安·期末）已知两个相似三角形的周长比为2:3，它们的面积之差为40，那么它们的面积之和为 ．
【题型2 运用相似三角形解决折叠问题】
【例2】（23-24九年级·安徽六安·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，将△ABC沿DE折叠，使点C落在△ABC边上C'处，并且C'D∥BC，则CD的长是（ ）

A．132B．15625C．254D．265
【变式2-1】（23-24九年级·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边 AD=5，OA:OD=1:4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置， 线段OD恰好经过点 B，点 C落在y轴的点C1位置，点 E 的坐标是 ．
【变式2-2】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B'处，CB'⊥AD，垂足为F．若CF=4cm，FB'=1cm，则BE= cm．
【变式2-3】（23-24九年级·江苏淮安·期中）在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
图1 图2
(1)如图1，若点P恰好在边BC上，连接AP，求APDE的值；
(2)如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
【题型3 运用相似三角形解决三角板问题】
【例3】（2024·浙江台州·模拟预测）将一副三角板如图所示摆放，△ABC为等腰Rt△ABC，∠ABC=∠BAD=90°，∠ABD=30°，AB=63，记DB交AC于E．若AC上有一点F满足∠DBF=45°，则EF的长为（ ）
A．66−63B．18−63C．92−36D．66−62
【变式3-1】（23-24九年级·内蒙古包头·期末）如图，将一副三角板按图叠放，则AOOC的值为 ．
【变式3-2】（23-24九年级·山东济南·期中）【问题背景】
△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC上的动点，小熙拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
【用数学的眼光观察】
（1）如图1，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，以下结论正确的是：_______；
①△BPE≌△CFP；②△BPE∽△CFP；③∠BEP=∠CPF；④BECP=PEFP.
【用数学的思维思考】
（2）将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；
【用数学的语言表达】
（3）在（2）的条件下，动点P运动到什么位置时，△BPE∽△PFE？说明理由．

【变式3-3】（23-24九年级·山东济南·期中）如图，把两块全等的等腰直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点E与三角板ABC的斜边中点重合，其中∠BAC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=6．把三角板ABC固定不动，三角板DEF由图1所示的位置绕点E沿顺时针方向旋转，设旋转角为α，其中0°S△BCM，
∴线段AD上必有一点M，使得S△ABM+S△ACM>S△BCM．
∴结论Ⅰ正确；
过点C作CH∥AB，交AG于点H，如图，
∴∠CHA=∠BAD，
∵AG为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CHA=∠CAD，
∴CH=AC．
∵CH∥AB，
∴△CDH∽△BDA，
∴ BDCD=ABCH，
∴ ABAC=BDCD．
∴结论Ⅱ正确．
综上，结论Ⅰ和结论Ⅱ都对．
故选：A．

【点睛】本题主要考查了三角形内心的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，角平分线上的点到两边的距离相等，相似三角形对应边成比例．
【变式7-1】（2024·四川成都·三模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD交边BC于点E；②以点E为圆心，以BE的长为半径作弧交边AC于点F．若AB=AC=3，BC=2，则CF的长为 ．
【答案】23
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，先证明AD是BC的垂直平分线，再通过夹角相等两边成比例证明△ABC∽△FEC，列式代入数值得出ABFE=ACCE=CBCF，31=31=2CF，即可作答．
【详解】解：连接EF，BD，CD，如图所示：

∵分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD交边BC于点E；
∴BD=CD，
∵AB=AC=3，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴EB=CE=12BC=1，
∵以点E为圆心，以BE的长为半径作弧交边AC于点F．
∴EB=FE
∴CE=EB=FE=1
∵∠C=∠C，ABFE=ACCE
∴△ABC∽△FEC
则ABFE=ACCE=CBCF，31=31=2CF
解得CF=23
故答案为：23
【变式7-2】（2024·江苏镇江·二模）某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．
如图，①分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径在AB两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D；②连接AC，BC，AD，作射线BD；③以D为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BD于点E；④连接CE，交AB于点F．点F即为AB的一个三等分点（即AF=13AB)．
学习任务：
(1)填空：四边形ADBC的形状是 ； 你的依据是 ；
(2)证明： AF=13AB
【答案】(1)菱形，四条边相等的四边形为菱形
(2)见解析
【分析】本题主要考查了基本作图，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用菱形的判定与性质解答即可；
（2）利用菱形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解】（1）解：由作法可知：AC=AD=BC=BD，
∴四边形ADBC的形状是菱形，
依据是：四条边相等的四边形为菱形；
故答案为：菱形，四条边都相等的四边形是菱形；
（2）证明：∵四边形ADBC的形状是菱形，
∴AC∥BE，
∴∠ACE=∠CEB,∠AFC=∠BFE，
∴△AFC∽△BFE，
∴ AFFB=ACBE，
∵AC=BD，BD=DE，
∴BE=2AC，
∴ AFFB=12，
∴FB=2AF，
∴AB=3AF．
∴AF=13AB．
【变式7-3】（2024·辽宁抚顺·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点E是边AC上一动点，过点E作EF∥AB交BC于点F，D为线段EF的中点，按下列步骤作图：①以A为圆心，适当长为半径画弧交AB，AC于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于12MN为半径画弧，两弧的交点为G；③作射线AG．若射线AG经过点D，则AE的长度为（ ）
A．813B．1513C．2013D．2513
【答案】C
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了相似三角形的判定与性质．
设AE=x，先利用勾股定理计算出AC=4，则CE=4−x，再利用基本作图得到AD平分∠CAB，接着证明∠EDA=∠EAD得到DE=AE=x，然后证明△CEF∽△CAB，则利用相似比得到CE:CA=EF:AB，即(4−x):4=2x:5，于是解方程可得到AE的长．
【详解】解：设AE=x，
∵∠C=90°,AB=5,BC=3，
∴AC=52−32=4，
由作法得AD平分∠CAB，
∴∠BAD=∠EAD，
∵ EF∥AB，
∴∠BAD=∠EDA，
∴∠EDA=∠EAD，
∴DE=AE=x，
∵D为线段EF的中点，
∴EF=2x，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴CE:CA=EF:AB，即(4−x):4=2x:5，
解得x=2013，
即AE的长为2013．
故选：C．
【题型8 运用相似三角形解决动点问题】
【例8】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，Rt△AOB中，∠O=90°，OA=20cm，OB=15cm，动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向O运动，动直线EF从OA开始以每秒1cm的速度向上平行移动，分别与OB,AB交于点E，F，连接EP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．当t为 时，△EOP与△BOA相似．
【答案】6或8011
【分析】分别用t表示OP与OE的长度，根据∠EOP与∠BOA都是直角，当△EOP与△BOA相似时，O与O是对应点，因此分△EOP∽△BOA与△EOP∽△AOB两种情况讨论,根据相似列方程解之即可．
【详解】解：∵动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向O运动，OA=20cm，
∴AP=2tcm，OP=(20-2t)cm，
又∵动直线EF从OA开始以每秒1cm的速度向上平行移动，
∴OE=tcm，
根据∠EOP与∠BOA都是直角，O与O是对应点，因此分△EOP∽△BOA与△EOP∽△AOB两种情况讨论，
当△EOP∽△BOA，即OEOB=OPOA时，t15=20−2t20，
解得：t=6，
当△EOP∽△AOB，即OEOA=OPOB时，t20=20−2t15，
解得：t=8011，
综上所述：当t=6或8011时，△EOP与△BOA相似，
故答案时：6或8011．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，根据三角形相似进行讨论分析是解题的关键．
【变式8-1】（23-24九年级·河南南阳·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8，过点B作射线BM∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动．过点E作EF⊥AC交射线BM于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t，当△DEG与△ACB相似且点D位于点E左侧时，t的值为 ．
【答案】3或23/23或3
【分析】若ΔDEG与ΔACB相似，分情况讨论，则DEEG=ACBC或DEEG=BCAC，由相似三角形的性质可求解．
【详解】解：如下图：
∵EF=BC=8，G是EF的中点，
∴GE=4．
点D位于点E左侧时，即AD