沪科版九年级数学上册精品专练21.4二次函数与一元二次方程【八大题型】(学生版+解析)

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专题21.4 二次函数与一元二次方程【八大题型】【沪科版】 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc14301" 【题型1 根据抛物线与x轴交点个数求字母的值（或取值范围）】  PAGEREF _Toc14301 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc19844" 【题型2 利用二次函数的图象确定一元二次方程的实数根】  PAGEREF _Toc19844 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc5415" 【题型3 抛物线与x轴交点上的四点问题】  PAGEREF _Toc5415 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc5803" 【题型4 抛物线与x轴的截线长问题】  PAGEREF _Toc5803 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc29260" 【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】  PAGEREF _Toc29260 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc17040" 【题型6 利用二次函数的图象解一元二次不等式】  PAGEREF _Toc17040 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc23866" 【题型8 由几何变换后的抛物线与一次函数的交点个数问题求字母取值范围】  PAGEREF _Toc23866 \h 8【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】【题型1 根据抛物线与x轴交点个数求字母的值（或取值范围）】【例1】（2023春·广东广州·九年级期末）已知抛物线y=kx2+2x−1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围（    ）A．k≥−1 B．k>−1 C．k≥−1且k≠0 D．k>−1且k≠0【变式1-1】（2018·四川资阳·九年级四川省安岳中学校考期末）若关于x的函数y=（a+2）x2﹣（2a﹣1）x+a﹣2的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为 ．【变式1-2】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期中）已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，−12）的下方，那么m的取值范围是（　　）A．1614 D．全体实数【变式1-3】（2023春·广东惠州·九年级校考期末）已知二次函数y=mx2−6mx+6的图象与x交于点A和点B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，△ABC是以BC为底的等腰三角形，那么m的值为 ．【题型2 利用二次函数的图象确定一元二次方程的实数根】【例2】（2023春·山西临汾·九年级统考期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，图象过点3,0，对称轴为直线x=1，下列结论：①abc>0；②a−b+c=0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1=0有实数根；⑤4a+c<0．其中正确的结论为 （填序号）．【变式2-1】（2023春·辽宁大连·九年级统考期中）抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，点A的坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是 ．【变式2-2】（2023春·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考期末）若关于x的一元二次方程ax2+k=0的一个根为2，则二次函数y=ax+12+k与x轴的交点坐标为（　　）A．−3,0、1,0 B．−2,0、2,0C．−1,0、1,0 D．−1,0、3,0【变式2-3】（2023春·广东广州·九年级广州四十七中校考期末）关于x的一元二次方程x2+x=n有两个不相等的实数根，则抛物线y=x2+x−n的顶点在第 象限．【题型3 抛物线与x轴交点上的四点问题】【例3】（2023春·福建厦门·九年级大同中学校考期中）已知抛物线y=(x−x1)(x−x2)+1(x10与x轴交于x1,0，x2,0两点，将此抛物线向上平移，所得抛物线与x轴交于x3,0，x4,0两点，下列说法正确的是（    ）A．x1+x2>x3+x4 B．x1+x20．若AD=2BC，则n的值为______．【题型4 抛物线与x轴的截线长问题】【例4】（2023春·广西玉林·九年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2−2mx+m−3（m≠0）与x轴交于点A，B．若线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，则m的取值范围是（    ）A．m>0 B．316316 D．3166时，n的取值范围为 ．【变式4-2】（2023春·福建福州·九年级统考期末）对于每个非零的自然数n，抛物线y=n(n+1)x2−(2n+1)x+1与x轴交于An、Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+⋅⋅⋅+A2018B2018的值是（    ）A．20182017 B．20172018 C．20192018 D．20182019【变式4-3】（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）定义：如果抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点Ax1,0，Bx2,0，那么我们把线段AB叫做雅礼弦，AB两点之间的距离l称为抛物线的雅礼弦长．(1)求抛物线y=x2−2x−3的雅礼弦长；(2)求抛物线y=x2+n+1x−1(1≤n<3)的雅礼弦长的取值范围；(3)设m，n为正整数，且m≠1，抛物线y=x2+4−mtx−4mt的雅礼弦长为l1，抛物线y=−x2+t−nx+nt的雅礼弦长为l2，s=l12−l22，试求出s与t之间的函数关系式，若不论t为何值，s≥0恒成立，求m，n的值．【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】【例5】（2023春·广东潮州·九年级统考期末）在估算一元二次方程x2+12x−15=0的根时，小彬列表如右：由此可估算方程x2+12x−15=0的一个根x的范围是（    ）．A．11.3【变式5-1】（2023春·黑龙江绥化·八年级绥化市第八中学校校考期中）二次函数y=2x2+4x−1的图象如图所示，若方程2x2+4x−1=0的一个近似根是x=−2.2，则方程的另一个近似根为 ．（结果精确到0.1）【变式5-2】（2023春·全国·九年级期中）小朋在学习过程中遇到一个函数y=12xx−32．下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：(1)观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有______值（填“最大”或“最小”），这个值是______；(2)进一步研究，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：结合上表，画出当x≥0时，函数y=12xx−32的图像；(3)结合（1）（2）的分析，解决问题：若关于x的方程12xx−32=kx−1有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为______（结果保留小数点后一位）．【变式5-3】（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的哪一个   （填序号） ①−12ℎ的解集是2ℎ的解集是x>4C．ax2+(b−k)x+c>ℎ的解集是x<2D．ax2+(b−k)x+c=ℎ的解是x=2或x=4【变式6-1】（2023春·辽宁大连·九年级统考期末）已知：二次函数y=−x2+2x+3．(1)将函数关系式化为y=ax−ℎ2+k的形式，并指出函数图像的对称轴和顶点坐标；(2)利用描点法画出所给函数的图像．(3)当−13【变式6-3】（2023春·浙江嘉兴·九年级统考期末）我们规定：形如y=ax2+bx+ca<0的函数叫作“M型”函数．如图是“M型”函数y=−x2+4x−3的图象，根据图象，以下结论：①图象关于y轴对称；②不等式x2−4x+3<0的解集是−30也在该平面直角坐标系中．若抛物线与线段PQ有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．【变式7-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知二次函数y=x2−2mx+2m−1（m为常数）．(1)求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点．(2)求证：不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y=−x−12的图象上．(3)已知点Aa,−1,Ba+2,−1，线段AB与函数y=−x−12的图象有公共点，则a的取值范围是　 　．【变式7-2】（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，﹣2），将点A向右平移6个单位长度，得到点B．（1）直接写出点B的坐标；（2）若抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B，求抛物线的表达式；（3）若抛物线y=−x2+bx+c的顶点在直线y＝x+2上移动，当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t取值范围．【变式7-3】（2023春·福建泉州·九年级校考期末）已知：在平面直角坐标系中，A−1,0，B4,0，抛物线y=x2−2x+n与线段AB有唯一公共点，则n可以取 （写出所有正确结论的序号）．①n=1；②n=2；③n≤−8；④−8≤n<−3；⑤−8≤n≤−3，【题型8 由几何变换后的抛物线与一次函数的交点个数问题求字母取值范围】【例8】（2023春·广东广州·九年级统考期中）抛物线y=x2−2x−3的图象为G1，G1关于x轴对称的图象为G2，G1和G2组成的图象与直线y=x+m有3个公共点时，m的范围（或值）是 ．【变式8-1】（2023春·浙江·九年级期末）如图，将二次函数y=x2−m（其中m>0）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y1，另有一次函数y=x+2的图象记为y2，若y1与y2恰有两个交点时，则m的范围是 ．【变式8-2】（2023春·浙江杭州·九年级校考期末）如图，抛物线y=−2x2+8x−6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y=x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ．【变式8-3】（2023春·浙江·九年级期末）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数m，当自变量x≥m时，函数y关于x的函数图象为G1，将G1沿直线x=m翻折后得到的函数图象为G2，函数G的图象由G1和G2两部分共同组成，则函数G为原函数的“对折函数”，如函数y=x(x≥2)的对折函数为y=x(x≥2)−x+4(x<2).(1)求函数y=(x−1)2−4(x≥−1)的对折函数；(2)若点P(m,5)在函数y=(x−1)2−4(x≥−1)的对折函数的图象上，求m的值；(3)当函数y=(x−1)2−4(x≥n)的对折函数与x轴有不同的交点个数时，直接写出n的取值范围.专题21.4 二次函数与一元二次方程【八大题型】【沪科版】 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc14301" 【题型1 根据抛物线与x轴交点个数求字母的值（或取值范围）】  PAGEREF _Toc14301 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc19844" 【题型2 利用二次函数的图象确定一元二次方程的实数根】  PAGEREF _Toc19844 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc5415" 【题型3 抛物线与x轴交点上的四点问题】  PAGEREF _Toc5415 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc5803" 【题型4 抛物线与x轴的截线长问题】  PAGEREF _Toc5803 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc29260" 【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】  PAGEREF _Toc29260 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc17040" 【题型6 利用二次函数的图象解一元二次不等式】  PAGEREF _Toc17040 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc23866" 【题型8 由几何变换后的抛物线与一次函数的交点个数问题求字母取值范围】  PAGEREF _Toc23866 \h 27【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】【题型1 根据抛物线与x轴交点个数求字母的值（或取值范围）】【例1】（2023春·广东广州·九年级期末）已知抛物线y=kx2+2x−1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围（    ）A．k≥−1 B．k>−1 C．k≥−1且k≠0 D．k>−1且k≠0【答案】D【分析】由-1≠0知，抛物线与y轴有一个非原点的交点（0，-1），故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程kx2+2x-1=0有两个不同的实根，再判断△即可．【详解】解：由-1≠0知，抛物线与y轴有一个非原点的交点（0，-1），故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程kx2+2x-1=0有两个不同的实根∴△=4+4k＞0即k＞-1，因为二次项的系数不能为0∴k＞-1且k≠0，故选D．【点睛】本题考查了抛物线与函数的关系，利用一元二次方程的判别式来判断抛物线与坐标轴的交点个数，做题时要认真分析，找到它们的关系．【变式1-1】（2018·四川资阳·九年级四川省安岳中学校考期末）若关于x的函数y=（a+2）x2﹣（2a﹣1）x+a﹣2的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为 ．【答案】﹣2，2或174【详解】∵关于x的函数y=（a+2）x2﹣（2a﹣1）x+a﹣2的图象与坐标轴有两个交点，∴可分如下三种情况：①当函数为一次函数时，有a+2=0，∴a=﹣2，此时y=5x﹣4，与坐标轴有两个交点；②当函数为二次函数时（a≠﹣2），与x轴有一个交点，与y轴有一个交点，∵函数与x轴有一个交点，∴△=0，∴（2a﹣1）2﹣4（a+2）（a﹣2）=0，解得a=174；③函数为二次函数时（a≠﹣2），与x轴有两个交点，且y轴的交点和与x轴上的一个交点重合，即图象经过原点，∴a﹣2=0，a=2．当a=2，此时y=4x2﹣3x，与坐标轴有两个交点．故答案为﹣2，2或174.【变式1-2】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期中）已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，−12）的下方，那么m的取值范围是（　　）A．1614 D．全体实数【答案】A【详解】解：∵抛物线y=x2−(4m+1)x+2m−1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，∴当x=2时，y<0，即4﹣2（4m+1）+2m﹣1＜0，解得：m＞16，又∵抛物线与y轴的交点在点（0，−12）的下方，∴2m-1＜−12，解得：m＜14，综上可得：160即m<0或m>23,则可以得出 A6m+36m2−24m2m,0，B6m−36m2−24m2m,0，再令x=0，y=6，则可以得出点C0,6，∵△ABC是以BC为底的等腰三角形，∴AB=AC，则AB=AC， AB=6m−36m2−24m2m−6m+36m2−24m2m=36m2−24mm，AC=0−6m+36m2−24m2m2+6−02，∵AB=AC，∴0−6m+36m2−24m2m2+6−02=36m2−24mm，解得m=−38，故答案为：m=−38．【点睛】本题涉及了两点间距离公式，等腰三角形的性质，二次函数的性质等内容，熟记两点间距离公式是解题的关键．【题型2 利用二次函数的图象确定一元二次方程的实数根】【例2】（2023春·山西临汾·九年级统考期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，图象过点3,0，对称轴为直线x=1，下列结论：①abc>0；②a−b+c=0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1=0有实数根；⑤4a+c<0．其中正确的结论为 （填序号）．【答案】②④⑤【分析】根据二次函数图象，依次判断a<0、b>0、c>0，可判断①；根据抛物线的对称性与过点(3,0)，可得抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，可判断②；根据图象，可知y是有最大值，但不一定是3，可判断③；由函数y=ax2+bx+c与y=−1的图象有两个交点，可判断④；由于抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，可知9a+3b+c=0，再根据b=−2a、a<0推导4a+c<0，可判断⑤；从而可得答案．【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，∴a<0，c>0，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，∴b=−2a>0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，∴a−b+c=0，故②正确；根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误；由ax2+bx+c+1=0可得ax2+bx+c=−1，根据图象，抛物线与直线y=−1有交点，∴ax2+bx+c+1=0有实数根，故④正确；∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，∴9a+3b+c=0，又∵b=−2a，∴9a+3×(−2a)+c=3a+c=0，∵a<0，∴a+(3a+c)<0，即4a+c<0，故⑤正确．综上所述，正确的为②④⑤．故答案为：②④⑤．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解题的关键．【变式2-1】（2023春·辽宁大连·九年级统考期中）抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，点A的坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是 ．【答案】x1=x2=3【分析】根据图象与x轴的交点坐标直接写出答案即可．【详解】解：观察图象知：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，点A的坐标为(3,0)，所以一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x1=x2=3，故答案为：x1=x2=3．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点的知识，解题的关键是了解一元二次方程与二次函数的关系，难度不大．【变式2-2】（2023春·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考期末）若关于x的一元二次方程ax2+k=0的一个根为2，则二次函数y=ax+12+k与x轴的交点坐标为（　　）A．−3,0、1,0 B．−2,0、2,0C．−1,0、1,0 D．−1,0、3,0【答案】A【分析】根据一元二次方程的根为2，得出x+1=2，利用对称性求出坐标即可．【详解】解：二次函数y=ax+12+k与x轴的交点坐标纵坐标为0，即0=ax+12+k，关于x的一元二次方程ax2+k=0的一个根为2，所以，x+1=2，解得，x=1，二次函数y=ax+12+k的对称轴为直线x=−1，所以，二次函数y=ax+12+k与x轴的交点坐标为−3,0、1,0，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，解题关键是根据一元二次方程的根确定二次函数与x轴的交点坐标．【变式2-3】（2023春·广东广州·九年级广州四十七中校考期末）关于x的一元二次方程x2+x=n有两个不相等的实数根，则抛物线y=x2+x−n的顶点在第 象限．【答案】三【分析】根据对称轴公式求出顶点横坐标，再根据开口向上及有两个交点即可得到顶点纵坐标与0的关系，即可得到答案．【详解】解：由题意可得，顶点横坐标为：x=−b2a=−12×1=−12<0，∵a=1>0，∴抛物线y=x2+x−n开口向上，∵一元二次方程x2+x=n有两个不相等的实数根，∴抛物线y=x2+x−n与x轴有两个交点，顶点纵坐标：y<0，∴抛物线顶点在第三象限，故答案为：三．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程之间的关系及二次函数顶点公式，解题的关键是根据开口方向及与x轴交点确定顶点纵坐标与0的关系．【题型3 抛物线与x轴交点上的四点问题】【例3】（2023春·福建厦门·九年级大同中学校考期中）已知抛物线y=(x−x1)(x−x2)+1(x10与x轴交于x1,0，x2,0两点，将此抛物线向上平移，所得抛物线与x轴交于x3,0，x4,0两点，下列说法正确的是（    ） A．x1+x2>x3+x4 B．x1+x20与x轴交于x1,0，x2,0两点， ∴当y=0时，ax2+bx+c=0，此时，x1+x2=−b2a， 将抛物线y=ax2+bx+ca>0向上平移，对称轴不变，即为x=−b2a， 故有，x3+x4=−b2a， ∴x1+x2=x3+x4 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，正确掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 【变式3-2】（2023春·山东临沂·九年级统考期末）已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α、β(α<β)，而x2+bx+c−2=0的两根为M、N(M0 ∴抛物线的开口向上，与x轴的两个交点的横坐标分别是α、β(α<β) 又∵x2+bx+c−2=0的两根是抛物线y=x2+bx+c与直线y=2的交点横坐标，且M0．若AD=2BC，则n的值为______． 【答案】4 【分析】二次函数的图像与x轴交点的横坐标，是对应该二次函数y=0时的实数根，所以令y=0，求出A、B、C、D四点的横坐标，再利用AD=2BC的关系即可求出n的值． 【详解】解：把y=0代入y=−12x2−x+n得： 0=−12x2−x+n， 解得：x1=−b+b2−4ac2a=−−1+−12−4−12×n2×−12=−1−1+2n， x2=−b−b2−4ac2a=−−1−−12−4−12×n2×−12=−1+1+2n， ∴ A−1−1+2n,0，B−1+1+2n,0， 把y=0代入y=−12x2+x+n得： 0=−12x2+x+n， 解得：x3=−b+b2−4ac2a=−1+12−4−12×n2×−12=1−1+2n， x4=−b−b2−4ac2a=−1−12−4−12×n2×−12=1+1+2n， ∴ C1−1+2n,0，D1+1+2n,0， ∵AD=2BC， ∴x1−x4=2x2−x3， ∴x1−x42=4x2−x32， ∴−1−1+2n−1−1+2n2=4−1+1+2n−1+1+2n2， 令1+2n=m，则 −2−2m2=4−2+2m2， 解得：m1=3，m2=13， 当m1=3时，1+2n=3，解得：n=4， ∵n>0， ∴n=4符合题意， 当m2=13时，1+2n=13，解得：n=−49， ∵n>0 ∴n=−49不符合题意． 故答案为：4 【点睛】本题考查了二次函数与方程的关系及二次函数的图像与性质，找到A、B、C、D四点的横坐标是解答本题的关键． 【题型4 抛物线与x轴的截线长问题】 【例4】（2023春·广西玉林·九年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2−2mx+m−3（m≠0）与x轴交于点A，B．若线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，则m的取值范围是（    ） A．m>0 B．316316 D．3160，再根据线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，可得当x=4时，y=9m−3≤0，当x=5时，y=16m−3>0，进而即可求解． 【详解】解：∵y=mx2−2mx+m−3=mx−12−3， ∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为1,−3， ∴m>0． ∵线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数， ∴这些整数为−2，−1，0，1，2，3，4. ∵m>0， ∴当x=4时，y=9m−3≤0，当x=5时，y=16m−3>0， ∴m≤13且m>316， ∴3166时，n的取值范围为 ． 【答案】(1)y=−x2−2x+3 (2)−3或1 (3)n<−5 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）令y=0，解一元二次方程即可； （3）把函数的问题转化为方程的问题，利用根与系数的关系即可得到关于n的不等式，解不等式即可求得． 【详解】（1）解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为(−1,4)， 设二次函数的表达式为y=a(x+1)2+4(a≠0)， 将(1,0)代入得4a+4=0， 解得a=−1， ∴该二次函数的表达式为y=−x2−2x+3； （2）令y=0，则−x2−2x+3=0， 解得：x1=−3，x2=1； （3）令−x2−2x+3=n， 整理得x2+2x−3+n=0， 设点A、B的横坐标为x1，x2， ∴x1，x2是方程x2+2x−3+n=0的两个实数根， ∴x1+x2=−2，x1x2=n−3， ∵AB>6， ∴|x1−x2|>6， ∴(x1−x2)2>36， ∴(x1+x2)2−4x1x2>36，即4−4(n−3)>36， ∴n<−5， ∴n的取值范围是n<−5． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，把函数问题转化为方程问题是解题的关键． 【变式4-2】（2023春·福建福州·九年级统考期末）对于每个非零的自然数n，抛物线y=n(n+1)x2−(2n+1)x+1与x轴交于An、Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+⋅⋅⋅+A2018B2018的值是（    ） A．20182017 B．20172018 C．20192018 D．20182019 【答案】D 【分析】根据抛物线的解析式，抛物线与x轴交点的横坐标，一个是1n,另一个是1n+1，，根据x轴上两点间的距离公式，得AnBn=1n－1n+1，再代入计算即可． 【详解】解：令y=0时，n(n+1)x2−(2n+1)x+1=0， 解得：x1=1n，x2=1n+1 ∴抛物线与x轴交点的横坐标是1n和1n+1， ∴AnBn=1n－1n+1 ∴A1B1+A2B2+…+A2018B2019= 1−12+12−13+...+12018−12019 ＝1−12019=20182019． 故选D． 【点睛】本题考查了找规律的题目，考查了抛物线与x轴的交点问题，令y=0，方程的两个实数根正好是抛物线与x轴交点的横坐标． 【变式4-3】（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）定义：如果抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点Ax1,0，Bx2,0，那么我们把线段AB叫做雅礼弦，AB两点之间的距离l称为抛物线的雅礼弦长． (1)求抛物线y=x2−2x−3的雅礼弦长； (2)求抛物线y=x2+n+1x−1(1≤n<3)的雅礼弦长的取值范围； (3)设m，n为正整数，且m≠1，抛物线y=x2+4−mtx−4mt的雅礼弦长为l1，抛物线y=−x2+t−nx+nt的雅礼弦长为l2，s=l12−l22，试求出s与t之间的函数关系式，若不论t为何值，s≥0恒成立，求m，n的值． 【答案】(1)4 (2)22≤AB<25 (3)m=2，n=2或m=4，n=1 【分析】（1）根据定义求得抛物线与x轴的交点坐标即可求解； （2）根据（1）的方法求得AB=(n+1)2+4，根据n的范围，即可求解． （3）根据题意，分别求得l1,l2，根据s=l12−l22，求得出s与t之间的函数关系式，根据s≥0恒成立，可得mn=4，根据m，n为正整数，且m≠1，即可求解． （1）解：x2−2x−3=0，x−3x+1=0，∴x1=3，x2=−1，∴雅礼弦长AB=4； （2）x2+(n+1)x−1=0，A(x1,0)B(x1,0)，∴AB=|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2，∵Δ=(n+1)2+4>0，x1+x2=−(n+1)x1x2=−1，∴AB=(n+1)2+4，∵1≤n<3，∴当n=1时，AB最小值为22，当n=3时，AB最大值小于25，∴22≤AB<25； （3）由题意，令y=x2+(4−mt)x−4mt=0，∴x1+x2=mt−4，x1x2=−4mt，则l12=(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=(mt+4)2，同理l22=(n+t)2，s=(mt+4)2−(n+t)2=(m2−1)t2+(8m−2n)t+(16−n2)，∵m2−1≠0，∴要不论t为何值，S≥0恒成立，即：(m2−1)t2+(8m−2n)t+(16−n2)≥0恒成立，由题意得：m2−1>0，Δ=(8m−2n)2−4(m2−1)(16−n2)≤0，解得：(mn−4)2≤0，mn=4 ∵m，n为正整数，且m≠1，则m=2，n=2或m=4，n=1． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题的关键． 【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】 （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例5】（2023春·广东潮州·九年级统考期末）在估算一元二次方程x2+12x−15=0的根时，小彬列表如右：由此可估算方程x2+12x−15=0的一个根x的范围是（    ）． A．11.3 【答案】B 【分析】结合表中的数据，根据代数式x2+12x−15的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：由表可知， 当x=1.1时，x2+12x−15=−0.59<0， 当x=1.2时，x2+12x−15=0.84>0， ∴方程x2+12x−15=0的一个根x的范围是1.1ℎ的解集是2ℎ的解集是x>4 C．ax2+(b−k)x+c>ℎ的解集是x<2 D．ax2+(b−k)x+c=ℎ的解是x=2或x=4 【答案】D 【分析】根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即ax2+(b−k)x+c>ℎ的解集为：x<2或>4；方程ax2+bx+c=x+h，即ax2+(b−k)x+c=ℎ的解为x=2或x=4．据此即可求解． 【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即ax2+(b−k)x+c>ℎ的解集为：x<2或>4；故A、B、C不符合题意； 方程ax2+bx+c=x+h，即ax2+(b−k)x+c=ℎ的解为x=2或x=4，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【变式6-1】（2023春·辽宁大连·九年级统考期末）已知：二次函数y=−x2+2x+3． (1)将函数关系式化为y=ax−ℎ2+k的形式，并指出函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)利用描点法画出所给函数的图像． (3)当−13 【答案】A 【分析】由4，−x2+4x，3中最小值为3，可得−x2+4x≥3，即x2−4x+3≤0，设y=x2−4x+3，进而求解即可． 【详解】解：由题意得4，−x2+4x， 3中最小值为3， ∴−x2+4x≥3，即x2−4x+3≤0， 设y=x2−4x+3，如图， 当y≤0时， 解得：1≤x≤3， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【变式6-3】（2023春·浙江嘉兴·九年级统考期末）我们规定：形如y=ax2+bx+ca<0的函数叫作“M型”函数．如图是“M型”函数y=−x2+4x−3的图象，根据图象，以下结论： ①图象关于y轴对称； ②不等式x2−4x+3<0的解集是−30的解集是−30也在该平面直角坐标系中．若抛物线与线段PQ有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 【答案】12≤a<916 【分析】首先利用待定系数法求得直线PQ的解析式，再与抛物线联立方程，判断Δ>0时，求得a<916，当00，画出草图，抛物线过定点(0,2)，当经过点Q(2,2)时，代入点Q得4a−2+2=2，解得a=12，由于a越大，开口越小，可得a的取值范围为12≤a<916． 【详解】解：设直线PQ为y=kx+b， 将点P(−2,0)，Q(2,2)代入得−2k+b=02k+b=2，解得k=12b=1， ∴直线PQ：y=12x+1， 抛物线与直线PQ有两个交点，即方程ax2−x+2=12x+1有两个不同的解， 化简得：2ax2−3x+2=0， ∴Δ=b2−4ac=9−16a>0， 解得a<916， 当00，如图， 当x=0，y=2，即：抛物线过定点(0,2)， 当经过点Q(2,2)时， 代入点Q得4a−2+2=2， 解得a=12， 由于a越大，开口越小， 故a的取值范围12≤a<916． 故答案为：12≤a<916． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，解题关键是利用待定系数法联立方程，判断Δ进而得出a的取值范围，解题关键是数形结合． 【变式7-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知二次函数y=x2−2mx+2m−1（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点． (2)求证：不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y=−x−12的图象上． (3)已知点Aa,−1,Ba+2,−1，线段AB与函数y=−x−12的图象有公共点，则a的取值范围是　 　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)−2≤a≤2 【分析】（1 ）计算判别式的值得到△≥0，从而根据判别式的意义得到结论； （ 2）利用配方法得到二次函数y=x2−2mx+2m−1的顶点坐标为m,−m−12，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断； （ 3）先计算出抛物线y=−x−12与直线y=−1的交点的横坐标，然后结合图象得到a+2≥0且a≤2． 【详解】（1）证明：∵△=4m2−42m−1 =4m2−8m+4 =4m−12≥0， 所以不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点； （2）证明：y=x2−2mx+2m−1=x−m2−m−12， 二次函数y=x2−2mx+2m−1的顶点坐标为m,−m−12 当x=m时，y=−x−12=−m−12， 所以不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y=−x−12的图象上； （3）当y=−1时，y=−(x−1)2=−1，解得x1=0，x2=2， 当a+2≥0且a≤2时，线段AB与函数y=−x−12的图象有公共点， 所以a的范围为−2≤a≤2． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 【变式7-2】（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，﹣2），将点A向右平移6个单位长度，得到点B． （1）直接写出点B的坐标； （2）若抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B，求抛物线的表达式； （3）若抛物线y=−x2+bx+c的顶点在直线y＝x+2上移动，当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t取值范围． 【答案】(1) B2，−2；(2)抛物线表达式为y=−x2−2x+6；(3) 抛物线顶点横坐标t的取值范围时−4≤t<−3或00时，顶点在x轴上方，此时抛物线与线段AB没有交点， 当n−1>0时，如下图所示， 当抛物线y=x2−2x+n过点A时，此时刚好有两个交点，将−1,0代入可得 0=1+2+n，解得n=−3， 抛物线y=x2−2x+n继续向下平移，此时与线段AB有一个交点，符合题意，即n<−3； 当抛物线y=x2−2x+n过点B时，此时刚好有一个交点，将4,0代入可得 0=16−8+n，解得n=−8， 抛物线y=x2−2x+n继续向下平移，此时与线段AB没有交点，不符合题意，即n≥−8； 则−8≤n<−3，④正确； 故答案为：①④ 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是通过数形结合方法求解． 【题型8 由几何变换后的抛物线与一次函数的交点个数问题求字母取值范围】 【例8】（2023春·广东广州·九年级统考期中）抛物线y=x2−2x−3的图象为G1，G1关于x轴对称的图象为G2，G1和G2组成的图象与直线y=x+m有3个公共点时，m的范围（或值）是 ． 【答案】−3，1，134，−214 【分析】分别求出G1与直线y=x+m的图形有唯一交点、G2与直线y=x+m的图形有唯一交点、直线y=x+m经过抛物线y=x2−2x−3与x轴的交点时，对应m的值，然后观察图象即可得出答案． 【详解】解：当y=0时，x2−2x−3=0， 解得x1=−1，x2=3， ∴抛物线y=x2−2x−3与x轴的交点为−1,0，3,0， ∵G1、G2关于x轴对称， ∴G2的解析式为y=−x+1x−3=−x2+2x+3， 联立方程组y=x2−2x−3y=x+m， 化简得x2−3x−3−m=0， 当G1与直线y=x+m的图形有唯一交点时，方程x2−3x−3−m=0有两个相等的实数根， ∴Δ=−32−4−3−m=0， ∴m=−214； 联立方程组y=−x2+2x+3y=x+m， 化简得x2−x−3+m=0， 当G2与直线y=x+m的图形有唯一交点时，方程x2−x−3+m=0有两个相等的实数根， ∴Δ=−12−4−3+m=0， ∴m=134； 当线y=x+m经过−1,0时， 则0=−1+m， ∴m=1； 当线y=x+m经过3,0时， 则0=3+m， ∴m=−3； 观察图象可知：当m=−3，1，134，−214时，G1和G2组成的图象与直线y=x+m有3个公共点． 故答案为：−3，1，134，−214． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查二次函数图象的性质，二次函数与一次函数的交点等知识，较难，利用数形结合与分类讨论的思想是解答本题的关键． 【变式8-1】（2023春·浙江·九年级期末）如图，将二次函数y=x2−m（其中m>0）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y1，另有一次函数y=x+2的图象记为y2，若y1与y2恰有两个交点时，则m的范围是 ． 【答案】04 【分析】根据题意得出翻折后的抛物线解析式为y=−x2+m，若y1与y2恰有两个交点，则需分两种情况，①当直线与y=−x2+m和y=x2−m分别有一个交点时，结合图象即可解答；②当直线与y=x2−m有两个交点，直线与y=−x2+m无交点时，联立方程组，利用根的判别式求出m的值，结合图象即可解答． 【详解】解：二次函数y=x2−m（其中m>0）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折得到的抛物线解析式为：y=−x2+m， ∵直线y=x+2， 当x=0时，y=2，当y=0时，x=-2， ∴直线y=x+2与x轴交点为（-2,0），与y轴的交点为（0,2）， ①如下图，当抛物线经过点（-2,0）时，0=4-m，解得m=4， 观察图象可知，当m＞4时，y1与y2恰有两个交点， ②由y=x+2y=−x2+m得x2+x+2−m=0，当Δ=1−8+4m=0时，解得：m=74， 观察图象可知，当04． 【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点、一次函数的应用、函数与方程的关系等知识，解题的关键是学会利用函数图象解决问题，学会利用根的判别式解决函数图象的交点问题，属于中考常考题型． 【变式8-2】（2023春·浙江杭州·九年级校考期末）如图，抛物线y=−2x2+8x−6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y=x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ． 【答案】−33时，与x轴无交点. 【分析】（1）根据定义得出对折后函数的顶点坐标为(−3,−4)，该函数表达式为：y=(x+3)2−4； （2）将点P(m,5)代入y=(x-1）2−4(x≥−1)(x+3）2−4(x<−1)求解出m的值即可； （3）)分当n<−1时、当n=−1时、 当−13时，画出具体的函数图像进行观察与x轴的交点个数即可 【详解】(1)令y=(x−1)2−4=0，则x=−1或3，如图1：即点A,B的坐标为(−1,0)，(3,0)，则对折后函数的顶点坐标为(−3,−4)，该函数表达式为：y=(x+3)2−4， 即对折函数为y=(x-1）2−4(x≥−1)(x+3）2−4(x<−1). (2)将点P(m,5)代入y=(x-1）2−4(x≥−1)(x+3）2−4(x<−1) 解得：m=4或-6(不合题意的值已舍去) 即m=4或-6； (3)①当n<−1时，如图2： 此时x=n在点A(−1,0)的左侧，从图中可以看出：函数与x轴有4个交点(A,B,C,D)； ②当n=−1时，x=n过点A，从图1可以看出：函数与x轴有3个交点； ③同理：当−13时，无交点.    【点睛】本题属于新定义问题，读懂题目中限减函数以及限减系数的定义是解题的关键.根的判别式二次函数的图象二次函数与x轴的交点坐标一元二次方程根的情况△＞0抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交一元二次方程 有两个不相等的实数根△＝0抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切一元二次方程 有两个相等的实数根△＜0抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根）x……−2−1012……y……3430−5……x11.11.21.3x2+12x−15−2−0.590.842.29x0121322523724…y0251622716151607162…x-1-120121322523y-2−141742741−14-2x···−10123···y······根的判别式二次函数的图象二次函数与x轴的交点坐标一元二次方程根的情况△＞0抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交一元二次方程 有两个不相等的实数根△＝0抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切一元二次方程 有两个相等的实数根△＜0抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根）x……−2−1012……y……3430−5……x11.11.21.3x2+12x−15−2−0.590.842.29x0121322523724…y0251622716151607162…x-1-120121322523y-2−141742741−14-2x···−10123···y······x···−10123···y···03430···