甘肃省靖远县第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

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考生须知：
1.本卷侧重：高考评价体系之基础性.
2.本卷怎么考：①考查数学基础知识（题1、2）；②考查数学基本技能（题4、5）；③考查数学基本思想（题8）.
3.本卷典型情境题：题6、17.
4.本卷测试范围：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，则（ ）
A.B.3C.D.
2.已知命题，；命题，，则（ ）
A.和都是真命题B.和都是真命题
C.和都是真命题D.和都是真命题
3.在等差数列中，，则其前10项和（ ）
A.72B.80C.36D.40
4.已知向量，满足，，若在上的投影向量为，则（ ）
A.B.C.D.
5.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，能确定的一组条件是（ ）
A.，，B.，，
C.，，D.，，
6.某人工智能研发公司从5名程序员与3名数据科学家中选择3人组建一个项目小组，该小组负责开发一个用于图象识别的深度学习算法.已知选取的3人中至少有1名负责算法的实现与优化的程序员和1名负责数据的准备与分析的数据科学家，且选定后3名成员还需有序安排，则不同的安排方法的种数为（ ）
A.240B.270C.300D.330
7.已知，则（ ）
A.B.C.D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，若，，且，则双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.已知一组数据，，，是公差为2的等差数列，若去掉首末两项，则（ ）
A.平均数变大B.中位数没变C.方差变小D.极差变小
10.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.在区间上单调递减
C.在区间上有3个极值点
D.将的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称
11.已知定义在上的函数满足，，当时，，则（ ）
A.B.
C.在上单调递增D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知椭圆的离心率为，则______.
13.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的体积为______，若该圆台的上、下底面圆周均在球的球面上，则球的表面积为______.
14.记为，，中最小的数.设，，则中的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，.
（1）求.
（2）若，求的面积.
16.（15分）
已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）求的单调区间与极值.
17.（15分）
激光的单光子通信过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息.某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态，，等可能地出现，原始信息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系.
已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现.
（1）已知发送者连续两次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1.求原始信息的单光子有两种偏振状态的概率.
（2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为，求的分布列和数学期望.
18.（17分）
如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点.
（1）证明：.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（3）设点到直线的距离为，点到平面的距离为，求的值.
19.（17分）
在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为。
（1）求的方程.
（2）设，，是上不同的两点，且，记为曲线上分别以，为切点的两条切线的交点.
（i）证明：存在定点，使得.
（ii）取，记，，求.
高考模拟金典卷·数学
参考答案
1.答案C
解题分析 因为，所以.
2.答案B
解题分析 当时，，是假命题；显然，，为真命题.
3.答案D
解题分析 由题意，。
4.答案A
解题分析 由题意知，得，
则，，.
5.答案D
解题分析 对于A，若，，，则，可能相交、平行或异面，A项错误；
对于B，若，，，则，B项错误；
对于C，若，，，则，可能相交、平行或异面，C项错误；
对于D，若，，，则，D项正确.
6.答案B
解题分析 由题意，不同的安排方法种数为.
7.答案D
解题分析 ，即，
得，解得或（舍去），.
8.答案A
解题分析 如图，由题意知，
由双曲线的定义知，
又，则在中，，
在中，，
即，可得.
9.答案BCD
解题分析 对于A，原数据的平均数，去掉首末两项后的平均数，
即平均数不变，A项错误；
对于B，原数据的中位数为，去掉首末两项后的中位数为，
即中位数不变，B项正确；
对于C，原数据的方差，去掉首末两项后的方差，
即方差变小，C项正确；
对于D，原数据的极差，去掉首末两项后的极差，
即极差变小，D项正确.
10.答案ACD
解题分析 由图象得，，解得，，
由，得，，解得，，
而，故，，，A项正确；，，函数在上不单调，B项错误；，，结合图象知C项正确；
，是奇函数，D项正确.
11.答案ABC
解题分析 令，，则，又，则，A项正确；令，，则，得，
令，则，B项正确；
令，，，当时，，
则，即当时，，
故在上单调递增，C项正确；
令，，则，
，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，得，
，D项错误.
12.答案4
解题分析 由题意，，，则，解得.
13.答案
解题分析 设圆台的母线长为，高为，
由题意知，解得，则易得，圆台的体积.
设球的半径为，
由，
易知球心不在圆台的上、下底面之间，
设球心到圆台下底面的距离为，则，得，则，球的表面积为
14.答案
解题分析 设，由题意知，则，，则，
由，得，当且仅当时取等号.
（或设，，，
令，得，
对，，进行分情况讨论，可知）.
15.解题分析 （1）由，得，即，
由正弦定理，得，又，所以.
（2）由余弦定理，得，而，
得，即，的面积为.
16.解题分析 （1）由题意，易知，得.
，
由，解得。
（2）由（1）知，易知，
当变化时，，的变化情况如下表所示.
因此，函数在和上单调递增，在上单调递减.
当时，有极大值，且极大值为；
当时，有极小值，且极小值为.
17.解题分析 （1）若原始信息的单光子有两种偏振状态，则从三种偏振状态中选择两种偏振状态，且按顺序发送，窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的概率均为，故所求概率.
（2）易知发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的概率为，且的所有可能取值为，，，.
，，
，，
所以的分布列如下.
.
18.解题分析 （1）连接，（图略），由于，则，
由题意知平面平面，平面平面，
则平面，.
在矩形中，易知，
则，即，又，
则平面，平面，所以.
（2）取的中点，连接，
由（1）及题意易知，，两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.
由，，则，，，，.
设平面的法向量为，又，，
则即令，则.
设直线与平面所成的角为，又，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由（2）知平面的一个法向量为，，
，点到平面的距离为，
，直线的一个单位方向向量为，
则，，点到直线的距离为，
则.
19.解题分析 （1）设，由题意得，整理得.
（2）（i）易知直线的斜率存在，则，
直线的方程为，
即，
直线过定点.
，过点且与抛物线相切的切线方程为，
即，
同理，过点且与抛物线相切的切线方程为，
将上述方程联立，消去得，则，
令，则，
即存在定点，使得.
（ii）由（i）知，则，，，，
又，得，
则，当时，.原始信息的单光子的偏振状态
0
1
2
解密信息的单光子的偏振状态
，，
，，
，，
题序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
D
A
D
B
D
A
BCD
ACD
ABC
2
0
0
单调递增
单调递减
单调递增
0
1
2
3