广东省深圳外国语学校2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题

这是一份广东省深圳外国语学校2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题，共9页。试卷主要包含了作答时，务必将答案写在答题卡上，考试结束后，将答题卡交回，函数的图象大致为，下列说法正确的是，若，则下列不等式一定成立的是等内容，欢迎下载使用。
试卷共4页，卷面满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知命题，则命题的否定为（ ）
A. B.
C. D.
3.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5.设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为（ ）
A. B.3 C. D.
7.已知三倍角公式，则的值所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.若函数定义域为，则函数的定义域为
B.若定义域为的函数值域为，则函数的值域为
C.函数与的图象关于直线对称
D.成立的一个必要条件是
10.若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A.的图象关于点对称
B.是以8为周期的周期函数
C.
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数，则__________.
13.已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是__________.
14.若，则的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
设函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围.
16.（本小题满分15分）
记的角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若点是边上一点，且，求的值.
17.（本小题满分15分）
如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，已知为棱的中点，在底面的投影为线段的中点，是棱上一点.
（1）若，求证：平面；
（2）若，确定点的位置，并求二面角的余弦值.
18.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）函数与的图像关于对称，求的解析式；
（2）在定义域内恒成立，求a的值；
（3）求证：，.
19.（本小题满分17分）
设集合，其中.若集合的任意两个不同的非空子集，都满足集合的所有元素之和与集合的元素之和不相等，则称集合具有性质.
（1）试分别判断在集合与是否具有性质P，不必说明理由；
（2）已知集合具有性质P.
①记，求证：对于任意正整数，都有；
②令，，求证：；
（3）在（2）的条件下，求的最大值.
深圳外国语学校2025届高三第二次月考数学答案
一､选择题：
二､填空题
12. 13. 14.
三､解答题
15.解：（1）由，得.
因为，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）当时，，所以.
令，得，解得或.
与在区间上的情况如下：
所以，当且时，
存在，，，使得.
由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点.
16.（1）由及正弦定理得，
整理得，
所以由余弦定理得：
因为，所以.
（2），
记，则.
在中，.①
在中，由正弦定理得.②
由①②及得，即，解得.
由，解得，故.
17.（1）设，因为底面是边长为2的菱形，
所以，对角线BD平分，又为棱的中点，所以，
在中，根据角平分线性质定理得，
又，所以，所以，，
平面，且平面平面.
（2）平面，且平面，，因为，所以，
在中，，，所以是等边三角形，
又为棱的中点，所以，
平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面ABCD，平面，
又平面，，
又，平面，
平面，且平面，.
因为P在底面的投影H为线段的中点，所以，又
所以为等边三角形，故为中点，
所以在底面上的投影为的中点.
在中，，
，以为原点，分别以为轴，
以过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，
所以，
，
设是平面的一个法向量，则，
令，则，即，
平面，是平面的一个法向量，
，
因为二面角是一个锐角，所以二面角的余弦值为.
18.（1）依题意，设图像上任意一点坐标为，
则其关于对称的点在图像上，
则，则，
故，；
（2）令，，则在在恒成立，
又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，
，，
下证当时，在恒成立，
令，，
当，，在上单调递增，
当，，在上单调递减，
故，在上恒成立，又，
则时，恒成立，
综上，.
（3）由（2）可知：，则，即，
则，又由（2）可知：在上恒成立，
则在上恒成立且当且仅当时取等，令，，则，
即，
则
，
综上，，即证
19.（1）对于集合，因为，故集合的元素和相等，
故不具有性质.对于，其共有15个非空子集：，
，各集合的和分别为：，，它们彼此相异，
故具有性质.
（2）①因为具有性质，故对于任意的，也具有性质，
否则有两个非空子集，它们的元素和相等，而也是的子集，故不具有性质，矛盾.注意到共有个非空子集，每个子集的元素和相异，且子集的和最大为，最小为，故.
②因为，故，
由①可得，故.
（3）不妨设，
设，则，由（2）可得，且.
而
，
故，
当且仅当时等号成立，
即此时任意的正整数，即
故此时时等号成立，故的最大值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
D
A
D
D
C
B
AC
BD
ABC