2024-2025学年江苏省南京一中学数学九上开学教学质量检测试题【含答案】

这是一份2024-2025学年江苏省南京一中学数学九上开学教学质量检测试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，九月份共生产零件万个，设八，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）下列等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3、（4分）下列运算正确的是( )
A．B．=1
C．D．.
4、（4分）如图，一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满.容器内水面的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）某机械厂七月份生产零件50万个，计划八、九月份共生产零件万个，设八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是
A．B．
C．D．
6、（4分）在一次数学测试中，某小组的5名同学的成绩（百分制，单位：分）如下：80，98，98，83，96，关于这组数据说法错误的是( )
A．众数是98B．平均数是91
C．中位数是96D．方差是62
7、（4分）如图，正方形的对角线、交于点，以为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则的度数为（ ）
A．45°B．60°C．1．5°D．75°
8、（4分）下列各表达式不是表示与x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）小明对自己上学路线的长度进行了20次测量，得到20个数据x1，x2，…，x20，已知x1+x2+…+x20＝2019，当代数式（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x20）2取得最小值时，x的值为___________.
10、（4分）已知等边三角形的边长是2，则这个三角形的面积是_____．(保留准确值)
11、（4分）如图，四边形是正方形，延长到，使，则__________°．
12、（4分）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的边长是__________。
13、（4分）如图，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为的可活动菱形衣架，若墙上钉子间的距离，则=______度．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在△ABC中，，，，求AB的长．
15、（8分）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE
（1）求证：ED平分∠AEB；
（2）若AB＝AC，∠A＝38°，求∠F的度数．
16、（8分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
(1)求证：CM＝CN；
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，ND＝1．
①求MC的长．
②求MN的长．
17、（10分）如图，在边长为1个单位的长度的正方形网格中有一个格点（顶点都在格点上）.
（1）请用无刻度直尺画出另一个格点，使与的面积相等；
（2）求出的面积.
18、（10分）在▱ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，连接AG并延长，交CD于F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若CF＝5，△GCE的周长为20，求四边形ABCF的周长．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是_____．
20、（4分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，若∠ADB＝36°，则∠E＝_____°．
21、（4分）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是_____．
22、（4分）在英文单词 believe 中，字母“e”出现的频率是_______．
23、（4分）为响应“低碳生活”的号召，李明决定每天骑自行车上学，有一天李明骑了1000米后，自行车发生了故障，修车耽误了5分钟，车修好后李明继续骑行，用了8分钟骑行了剩余的800米，到达学校（假设在骑车过程中匀速行驶）．若设他从家开始去学校的时间为t（分钟），离家的路程为y（千米），则y与t（15＜t≤23）的函数关系为________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如下4个图中，不同的矩形ABCD，若把D点沿AE对折，使D点与BC上的F点重合；
（1）图①中，若DE︰EC=2︰1，求证：△ABF∽△AFE∽△FCE；并计算BF︰FC；
（2）图②中若DE︰EC=3︰1，计算BF︰FC= ；图③中若DE︰EC=4︰1，计算BF︰FC= ；
（3）图④中若DE︰EC=︰1，猜想BF︰FC= ；并证明你的结论
25、（10分）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为9cm，则FG=_____cm．
26、（12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，因此，四个选项中只有D符合。故选D。
2、B
【解析】
直接利用二次根式的性质分别化简的得出答案．
【详解】
A．（）2=5，正确，不合题意；
B．（a≥0，b≥0），故此选项错误，符合题意；
C．π﹣3，正确，不合题意；
D．，正确，不合题意．
故选B．
本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
3、D
【解析】
【分析】根据二次根式加减法则进行分析.同类二次根式才可合并.
【详解】
A. , 不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
B. =，故本选项错误；
C. ，不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
D. . 故本选项正确.
故选：D
【点睛】本题考核知识点：二次根式的加减.解题关键点：合并同类二次根式.
4、D
【解析】
根据图像分析不同时间段的水面上升速度，进而可得出答案.
【详解】
已知一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满.因为长方体是均匀的，所以初期的图像应是直线，当水越过长方体后，注水需填充的体积变大，因此此时的图像也是直线，但斜率小于初期，综上所述答案选D.
能够根据条件分析不同时间段的图像是什么形状是解答本题的关键.
5、C
【解析】
主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【详解】
依题意得八、九月份的产量为10（1+x）、10（1+x）2，∴10（1+x）+10（1+x）2=111.1．
故选C．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．增长率问题的一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
6、D
【解析】
根据数据求出众数、平均数、中位数、方差即可判断.
【详解】
A. 98出现2次，故众数是98，正确
B. 平均数是=91，正确；
C. 把数据从小到大排序：80，83，96，98，98，故中位数是96 ，正确
故选D.
此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知众数、平均数、中位数、方差的求解.
7、C
【解析】
由正方形的性质得出∠CBD =45°，证明△BCE是等腰三角形即可得出∠BCE的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBD =45°，BC =BA,
∵BE= BA，
∴BE= BC，
∴∠BCE=(180°-45°)÷2=1.5°.
故选：C．
本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握正方形和等腰三角形的性质进行求解是解决问题的关键．
8、C
【解析】
根据函数的概念进行判断。满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可得出答案．
【详解】
解：A、y=3x2对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，所以y是x的函数，不符合题意；
B、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值是，所以y是x的函数，不符合题意；
C、对于x的每一个取值，y都有两个值，所以y不是x的函数，符合题意；
D、y=3x+1对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，所以y是x的函数，不符合题意．
故选：C．
主要考查了函数的概念．函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、100.1
【解析】
先设出y=（x-x1）2+（x-x2）2+（x-x3）2+…+（x-x20）2，然后进行整理得出y=20x2-2（x1+x2+x3+…+x20）x+（x12+x22+x32+…+x202），再求出二次函数的最小值即可．
【详解】
解：设y=（x-x1）2+（x-x2）2+（x-x3）2+…+（x-x20）2
=x2-2xx1+x12+x2-2xx2+x22+x2-2xx3+x32+…+x2-2xx20+x202
=20x2-2（x1+x2+x3+…+x20）x+（x12+x22+x32+…+x202），
=20x2-2×2019x+（x12+x22+x32+…+x202），
则当x=时，（x-x1）2+（x-x2）2+（x-x3）2+…+（x-x20）2取得最小值，
即当x=100.1时，（x-x1）2+（x-x2）2+（x-x3）2+…+（x-x20）2取得最小值．
故答案为100.1．
此题考查了二次函数的性质，关键是设y=（x-x1）2+（x-x2）2+（x-x3）2+…+（x-x20）2，整理出一个二次函数．
10、
【解析】
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵等边三角形的边长是2，
∴BD=BC=×2=1，
在Rt△ABD中，AD= =
所以，三角形的面积=×2×=
故答案为：．
本题考查等边三角形的性质，比较简单，作出图形求出等边三角形的高线的长度是解题的关键．
11、22.5
【解析】
根据正方形的性质求出∠CAB=∠ACB=45°，再根据AC=AE求出∠ACE=67.5°，由此即可求出答案.
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠DCB=90°，
∵AC是对角线，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵AC=AE,
∴∠ACE=67.5°，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°，
故答案为：22.5°.
此题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和性质，是一道较为基础的题型.
12、12
【解析】
结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差，又因为正方形的面积=a2开方即可求边长．
【详解】
字母B所代表的正方形的面积=169−25=144
所以字母B所代表的正方形边长a=.
故选12.
本题考查了勾股定理及学生知识迁移的能力．
13、1
【解析】
根据题意可得，AB和菱形的两边构成的三角形是等边三角形，可得∠A=60°，所以，∠1=1°
【详解】
解：如图，连接AB．
∵菱形的边长=25cm，AB=BC=25cm
∴△AOB是等边三角形
∴∠AOB=60°，
∴∠AOD=1°
∴∠1=1°．
故答案为：1．
本题主要考查菱形的性质及等边三角形的判定的运用．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、AB=9+4.
【解析】
作CD⊥AB于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=，AD=9，再在Rt△BCD中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可．
【详解】
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵在Rt△CDA中，∠A=30°，
∴CD=AC•sin30°=3，AD=AC×cs30°=9，
∵在Rt△CDB中，
∴BD===4．
∴AB=AD+DB=9+4.
本题考查了解直角三角形．解题时，通过作CD⊥AB于D构建Rt△ACD、Rt△BCD是解题关键．
15、（1）见解析；（2）∠F＝19°．
【解析】
（1）利用等腰三角形的三线合一即可解决问题；
（2）根据等腰三角形的性质可求出∠ABC的度数，根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明∠BDF＝90°．进而根据直角三角形两锐角互余的性质可求出∠F的度数．
【详解】
（1）∵∠A＝∠ABE，
∴EA＝EB，
∵AD＝DB，
∴DE是∠AEB的平分线．
（2）∵∠A＝38°，AB=AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝71°，
∵EA＝EB，AD＝DB，
∴ED⊥AB，
∴∠F＝90°﹣∠ABC＝19°．
本题考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键．
16、 (1)证明见解析；(2)①MC＝3；②MN=2.
【解析】
（1）根据折叠可得∠AMN=∠CMN，再根据平行可得∠ANM=∠CMN，可证CM=CN
（2）①根据等高的两个三角形的面积比等于边的比，可求MC的长．
②作NF⊥MC，可得矩形NFCD，根据勾股定理可求CD，则可得NF，MF，再根据勾股定理可求MN的长．
【详解】
解：(1)∵折叠
∴CM＝AM，CN＝AN，∠AMN＝∠CMN
∵ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠ANM＝∠CMN
∴∠ANM＝∠AMN
∴CM＝CN
(2)①∵AD∥BC
∴△CMN和△CDN是等高的两个三角形
∴S△CMN：S△CDN＝3：1＝CM：DN且DN＝1
∴MC＝3
②∵CM＝CN
∴CN＝3且DN＝1
∴根据勾股定理 CD＝2
如图作NF⊥MC
∵NF⊥MC，∠D＝∠DCB＝90°
∴NFCD是矩形
∴NF＝CD＝2，FC＝DN＝1
∴MF＝2
在Rt△MNF中，MN＝＝2
此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的面积.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与方程思想的应用.
17、 (1)详见解析;(2)
【解析】
（1）利用平行线的性质解决问题即可
（2）利用三角形的面积公式求出AABD的面积即可
【详解】
解：(1)如图所示
(2)
本题考查作图-应用与设计，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.
18、（1）见解析；（2）1
【解析】
（1）由平行四边形的性质得出AE∥FC，再由三角形的外角的性质，以及折叠的性质，可以证明∠FAE＝∠CEB，进而证明AF∥EC，即可得出结论；
（2）由折叠的性质得：GE＝BE，GC＝BC，由△GCE的周长得出GE+CE+GC＝20，BE+CE+BC＝20，由平行四边形的性质得出AF＝CE，AE＝CF＝5，即可得出结果．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥FC，
∵点E是AB边的中点，
∴AE＝BE，
∵将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，
∴BE＝GE，∠CEB＝∠CEG，
∴AE＝GE，
∴∠FAE＝∠AGE，
∵∠CEB＝∠CEG＝∠BEG，∠BEG＝∠FAE+∠AGE，
∴∠FAE＝∠BEG，
∴∠FAE＝∠CEB，
∴AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：由折叠的性质得：GE＝BE，GC＝BC，
∵△GCE的周长为20，
∴GE+CE+GC＝20，
∴BE+CE+BC＝20，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE，AE＝CF＝5，
∴四边形ABCF的周长＝AB+BC+CF+AF＝AE+BE+BC+CE+CF＝5+20+5＝1．
本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明四边形AECF是平行四边形是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（）n﹣1
【解析】
根据正比例函数的性质得到∠D1OA1=45°，分别求出正方形A1B1C1D1的面积、正方形A2B2C2D2的面积，总结规律解答．
【详解】
∵直线l为正比例函数y=x的图象，
∴∠D1OA1=45°，
∴D1A1=OA1=1，
∴正方形A1B1C1D1的面积=1=（）1﹣1，
由勾股定理得，OD1=，D1A2=，
∴A2B2=A2O=，
∴正方形A2B2C2D2的面积==（）2﹣1，
同理，A3D3=OA3=，
∴正方形A3B3C3D3的面积==（）3﹣1，
…
由规律可知，正方形AnBnCnDn的面积=（）n﹣1，
故答案为（）n﹣1．
本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到∠D1OA1=45°，正确找出规律是解题的关键．
20、18
【解析】
连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=36°，可得∠E度数．
【详解】
解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝36°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝36°，
∴∠E＝18°．
故答案为：18
考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
21、（0，）
【解析】
作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长；E点坐标即为直线A'D与y轴的交点；
【详解】
解：作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，
此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长；
∵A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，
∴D（﹣2，0），
由对称可知A'（4，5），
设A'D的直线解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴，
∴E（0，）；
故答案为（0，）；
本题考查矩形的性质，线段的最短距离；能够利用轴对称求线段的最短距离，将AE+DE的最短距离转化为线段A'D的长是解题的关键．
22、
【解析】
先求出英文单词believe总的字母个数和e的个数，再根据握频率=进行计算即可．
【详解】
∵英文单词believe共有7个字母，其中有3个e，
∴字母“e”出现的频率是；
故答案为：.
此题考查频数与频率，解题关键在于掌握频率的计算公式即可.
23、y=100t-500（15＜t≤23）
【解析】
分析：
由题意可知，李明骑车的速度为100米/分钟，由此可知他从家到学校共用去了23分钟，其中自行车出故障前行驶了10分钟，自行车修好后行驶了8分钟，由此可知当时，y与t的函数关系为：.
详解：
∵车修好后，李明用8分钟骑行了800米，且骑车过程是匀速行驶的，
∴李明整个上学过程中的骑车速度为：100米/分钟，
∴在自行车出故障前共用时：1000÷100=10（分钟），
∵修车用了5分钟，
∴当时，是指小明车修好后出发前往学校所用的时间，
∴由题意可得：（），
化简得：（）.
故答案为：（）.
点睛：“由题意得到李明骑车的速度为100米/分钟，求时，y与t间的函数关系是求自行车修好后到家的距离与行驶的时间间的函数关系”是解答本题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）根据折叠的性质及矩形的性质可证得△ABF∽△AFE∽△FCE，再根据相似三角形的性质求解即可，1:1；（2）1:2，1:3；（3）1︰（n-1）
【解析】
试题分析：根据折叠的性质及矩形的性质可证得△ABF∽△AFE∽△FCE，再根据相似三角形的性质求解即可.
解：（1）∵∠BAF+∠AFB=90°，∠CFE+∠AFB=90°
∴∠BAF=∠CFE
∵∠B=∠C=90°
∴△ABF∽△FCE
∴BF︰CE=AB︰FC=AF︰FE
∴AB︰AF=BF︰FE
∵∠B=∠AFE=90°
∴△ABF∽△AFE
∴△ABF∽△AFE∽△FCE
∵DE︰EC=2︰1
∴FE︰EC=2︰1
∴BF︰FC=1︰1
（2）若DE︰EC=3︰1，则BF︰FC=1︰2；若DE︰EC=4︰1，计算BF︰FC=1︰3；
（3）∵DE︰EC=︰1
∴FE︰EC=︰1
∴BF︰FC=1︰（n-1）.
考点：相似三角形的综合题
点评：相似三角形的综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.
25、
【解析】
作GM⊥AC′于M，A′N⊥AD于N，AA′交EC′于K．易知MG=AB=AC′=4.5，首先证明△AKC′≌△GFM，可得GF=AK，由AN=6cm，A′N=3cm，C′K∥A′N，推出，可得，得出C′K=2cm，在Rt△AC′K中，根据AK=，求出AK即可解决问题．
【详解】
解：作GM⊥AC′于M，A′N⊥AD于N，AA′交EC′于K．易知MG=AB=AC′，
∵GF⊥AA′，
∴∠AFG+∠FAK=90°，∠MGF+∠MFG=90°，
∴∠MGF=∠KAC′，
∴△AKC′≌△GFM，
∴GF=AK，
∵AN=cm，A′N=cm，C′K∥A′N，
∴，
∴，
∴C′K=1.5cm，
在Rt△AC′K中，AK===cm，
∴FG=AK=cm，
故答案为．
本题考查翻折变换、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
26、（1）见解析（2）BD=2
【解析】
解：（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°．
∵在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．
（2）∵Rt△ACD≌Rt△AED ，CD=1，∴DC=DE=1．
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．
∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．
（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可．
（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分