2024-2025学年江苏无锡市锡中学实验学校九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份2024-2025学年江苏无锡市锡中学实验学校九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在代数式，，，﹣b，中，是分式的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2、（4分）在相同时刻，物高与影长成正比．如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么此时高为18米的旗杆的影长为（ ）
A．20米B．30米C．16米D．15米
3、（4分）为参加学校举办的“诗意校园•致远方”朗诵艺术大赛，八年级“屈原读书社”组织了五次选拔赛，这五次选拔赛中，小明五次成绩的平均数是90，方差是2；小强五次成绩的平均数也是90，方差是14.1．下列说法正确的是（ ）
A．小明的成绩比小强稳定
B．小明、小强两人成绩一样稳定
C．小强的成绩比小明稳定
D．无法确定小明、小强的成绩谁更稳定
4、（4分）八年级（1）班“环保小组的5位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别为：16，16，4，6，1．这组数据的中位数、众数分别为（ ）
A．1，16B．4，16C．6，16D．10，16
5、（4分）已知一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为 ( )
A．y= x+2B．y= ﹣x+2C．y= x+2或y=﹣x+2D．y= - x+2或y = x-2
6、（4分）如图，在□ABCD中，已知AD=8cm，AB=5cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
7、（4分）如图，△ABC的周长为20，点D,E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=8，则MN的长度为（）
A．B．2C．D．3
8、（4分）观察下列等式：，，，，，…，那么的个位数字是（ ）
A．0B．1C．4D．5
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若关于有增根，则_____；
10、（4分）某校生物小组7人到校外采集标本，其中2人每人采集到3件，3人每人采集到4件，2人每人采集到5件，则这个小组平均每人采集标本___________件.
11、（4分）如图，AB∥CD，E、F分别是AC、BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长为______________.
12、（4分）如图，已知函数y=x+2b和y=ax+3的图象交于点P，则不等式x+2b＞ax+3的解集为________ ．
13、（4分）如图，在中，，点分别是边的中点，延长到点，使，得四边形.若使四边形是正方形，则应在中再添加一个条件为__________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，点A在∠MON的边ON上，AB⊥OM于B，AE=OB，DE⊥ON于E，AD=AO，DC⊥OM于C．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若DE=3，OE=9，求AB、AD的长；
15、（8分）八年级班一次数学测验，老师进行统计分析时，各分数段的人数如图所示(分数为整数，满分分)．请观察图形，回答下列问题：
（1）该班有____名学生：
（2）请估算这次测验的平均成绩．
16、（8分）小颖和同学一起去书店买书，他们先用60元买了一种科普书，又用60元买了一种文学书.科普书的价格比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少2本.
(1)求他们买的科普书和文学书的价格各是多少元？
(2)学校某月开展读书活动，班上同学让小颖帮助购买科普书和文学书共20本，且购买总费用不超过260元，求小颖至少购买多少本文学书？
17、（10分）点向__________平移2个单位后，所对应的点的坐标是．
18、（10分）某商店一种商品的定价为每件50元.商店为了促销，决定如果购买5件以上，则超过5件的部分打七折.
（1）用表达式表示购买这种商品的货款（元）与购买数量（件）之间的函数关系；
（2）当，时，货款分别为多少元？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如果多边形的每个外角都是40°，那么这个多边形的边数是_____．
20、（4分）计算：(1)=______；(2)=______；(3) =______．
21、（4分）体育张教师为了解本校八年级女生：“1分钟仰卧起坐”的达标情况，随机抽取了20名女生进行仰卧起坐测试．如图是根据测试结果绘制的频数分布直方图．如果这组数据的中位数是40次，那么仰卧起坐次数为40次的女生人数至少有__________人．
22、（4分）化简：______．
23、（4分）若一组数据6，x，2，3，4的平均数是4，则这组数据的方差为______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在中，，于，平分，分别交，于，，于.连接，求证：四边形是菱形.
25、（10分）化简或解方程：
（1）化简：
（2）先化简再求值：，其中.
（3）解分式方程：.
26、（12分）某校初中部三个年级共挑选名学生进行跳绳测试，其中七年级人，八年级人，九年级人，体育老师在测试后对测试成绩进行整理，得到下面统计图表.
（1）表格中的落在 组（填序号）；
①； ②；③；④；⑤；⑥；⑦
（2）求这名学生的平均成绩；
（3）在本次测试中，八年级与九年级都只有位学生跳下，判断这两位学生成绩在自己所在年级参加测试学生中的排名，谁更考前？请简要说明理由.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据分式的定义解答即可.
【详解】
，，，﹣b的分母中不含字母，是整式；
，的分母中含字母，是分式.
故选B.
本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．
2、B
【解析】
设此时高为18米的旗杆的影长为xm，利用“在同一时刻物高与影长的比相等”列出比例式，进而即可求解．
【详解】
设此时高为18米的旗杆的影长为xm，
根据题意得：=，
解得：x=30，
∴此时高为18米的旗杆的影长为30m．
故选：B．
本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理，是解题的关键．
3、A
【解析】
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】
∵小明五次成绩的平均数是90，方差是2；小强五次成绩的平均数也是90，方差是14.1．
平均成绩一样，小明的方差小，成绩稳定，
故选A．
本题考查方差、平均数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
错因分析 容易题.失分原因是方差的意义掌握不牢.
4、A
【解析】
根据中位数和众数的定义求解
【详解】
解:这组数据的中位数为:1 ,
众数为:16 .
故选：A
此题考查中位数和众数的定义，解题关键在于掌握其定义
5、C
【解析】
先求出一次函数y=kx+b与x轴和y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．
【详解】
∵一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，1），
∴b=1，
令y=0，则x=-，
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为1，
∴×1×|-|=1，即||=1，
解得：k=±1，
则函数的解析式是y=x+1或y=-x+1．
故选C．
6、C
【解析】
根据在□ABCD中，AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠AEB，即AB=BE，即可求出EC的长度.
【详解】
∵在□ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∵AD=8cm，AB=5cm，
∴BE=5cm，BC=8cm，
∴CE=8-5=3cm，
故选C.
本题是对平行四边形知识的考查，熟练掌握平行四边形性质及角平分线知识是解决本题的关键.
7、B
【解析】
证明△BNA≌△BNE，得到BE＝BA，AN＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE（ASA）
∴BE＝BA，AN＝NE，
同理，CD＝CA，AM＝MD，
∴DE＝BE＋CD−BC＝BA＋CA−BC＝20−8−8＝4，
∵AN＝NE，AM＝MD，
∴MN＝DE＝2，
故选：B．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8、A
【解析】
由题中可以看出,故个位的数字是以10为周期变化的,用2019÷10,计算一下看看有多少个周期即可.
【详解】
以2为指数的幂的末位数字是1,4,9,6,5,6,9,4,1,0依次循环的,2019÷10=201…9,
(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)×201+(1+4+9+6+5+6+9+4+1)
=45×201+20
=9045+45
=9090,
∴的个位数字是0
故选A.
此题主要考查了找规律,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.解决本题的关键是找到以2为指数的末位数字的循环规律.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
方程两边都乘以最简公分母（x –1），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出a的值．
【详解】
解：方程两边都乘（x﹣1），得
1－ax+3x=3x﹣3，
∵原方程有增根
∴最简公分母x﹣1=0，即增根为x=1，
把x=1代入整式方程，得a=1．
此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．方程的增根不适合原方程，但适合去分母后的整式方程，这是求字母系数的重要思想方法．
10、4
【解析】
分析:根据加权平均数的计算公式计算即可.
详解:.
故答案为：4.
点睛: 本题重点考查了加权平均数的计算公式，加权平均数：（其中w1、w2、……、wn分别为x1、x2、……、xn的权数）.
11、1
【解析】
分析：连接DE并延长交AB于H，证明△DCE≌△HAE，根据全等三角形的性质可得DE=HE，DC=AH，则EF是△DHB的中位线，再根据中位线的性质可得答案．
详解：连接DE并延长交AB于H．∵CD∥AB， ∴∠C=∠A， ∵E是AC中点，
∴DE=EH， 在△DCE和△HAE中，∠C＝∠A，CE＝AE，∠CED＝∠AEH，
∴△DCE≌△HAE（ASA）， ∴DE=HE，DC=AH， ∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线， ∴EF=BH， ∴BH=AB-AH=AB-DC=2， ∴EF=1．
点睛：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形中位线性质，关键是正确画出辅助线，证明△DCE≌△HAE．
12、x＞1
【解析】
解：由图象可知：当x＞1时，．故答案为：x＞1．
13、答案不唯一，如∠ACB=90° 或∠BAC=45°或∠B=45°
【解析】
先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC=DF即可，再利用∠ACB=90°得出答案即可．
【详解】
∠ACB=90°时，四边形ADCF是正方形，
理由：∵E是AC中点，
∴AE=EC，
∵DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE=BC，
∴DF=BC，
∵CA=CB，
∴AC=DF，
∴四边形ADCF是矩形，
点D. E分别是边AB、AC的中点，
∴DE//BC，
∵∠ACB=90°，
∴∠AED=90°，
∴矩形ADCF是正方形．
故答案为∠ACB=90°．
此题考查正方形的判定，解题关键在于掌握判定法则
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1) 见解析；(2) AB、AD的长分别为3和1
【解析】
（1）根据全等三角形的判定和性质以及矩形的判定解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】
证明：(1)∵AB⊥OM于B，DE⊥ON于E，
∴∠ABO=∠DEA=90°．
在Rt△ABO与Rt△DEA中，
∵
∴Rt△ABO≌Rt△DEA(HL)
∴∠AOB=∠DAE．
∴AD∥BC．
又∵AB⊥OM，DC⊥OM，
∴AB∥DC．
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
(2)由(1)知Rt△ABO≌Rt△DEA，
∴AB=DE=3，
设AD=x，则OA=x，AE=OE﹣OA=9﹣x．
在Rt△DEA中，由AE2+DE2=AD2得：(9﹣x)2+32=x2，
解得x=1．
∴AD=1．即AB、AD的长分别为3和1．
此题考查矩形的判定与性质以及勾股定理．注意利用勾股定理求线段AD的长是解题关键．
15、（1）60 （2）61分
【解析】
（1）把各分数段的人数相加即可．
（2）用总分数除以总人数即可求出平均分．
【详解】
（1）（名）
故该班有60名学生．
（2）（分）
故这次测验的平均成绩为61分．
本题考查了条形统计图的问题，掌握条形统计图的性质、平均数的算法是解题的关键．
16、（1）科普书每本15元，文学书每本10元；（2）至少购买文学书8本.
【解析】
（1）设文学书的价格为每本元，则文学书每本元，再根据科普书比所买的文学书少2本的等量关系，列分式方程，解分式方程即可；
（2）设购买文学书本，则购买科普书（20-y）本，根据购买总费用不超过260元，列出不等式，再解不等式，即可确定答案.
【详解】
（1）设文学书的价格为每本元，
解之得：
经检验x=10是原方程的根.
科普书的价格＝10×=15元；
答：科普书每本15元，文学书每本10元.
（2）设购买文学书本，则
解之得：y≥8
答：至少购买文学书8本.
本题考查了运用分式方程和不等式解决实际问题，解得这类题的关键是设出合适的未知数，表示相关量，然后根据等量或不等关系列出方程解答.
17、左
【解析】
找到横纵坐标的变化情况，根据坐标的平移变换进行分析即可．
【详解】
解：纵坐标没有变化，
横坐标的变化为：，说明向左平移了2个单位长度．
故答案为：左．
本题考查了坐标与图形变化-平移，用到的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
18、（1）;（2）150元; 425元.
【解析】
（1）分类讨论：购买数量不超过5件，购买数量超过5件，根据单价乘以数量，可得函数解析式．
（2）把x=3，x=10分别代入（1）中的函数关系式即可求出贷款数．
【详解】
（1）根据商场的规定，
当0＜x≤5时，y=50x，
当x＞5时，y=50×5+（x-5）×50×0.7=35x+75，
所以，货款y （元）与购买数量x （件）之间的函数关系是y＝ （x是正整数）；
（2）当x=3时，y=50×3=150 （元）
当x=10时，y=35×10+75=425（元）．
本题考查了一次函数的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．注意分类讨论．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【详解】
解：多边形的边数是： ＝1，
故答案为：1．
此题考查多边形内角（和）与外角（和），解题关键在于掌握运算公式
20、
【解析】
根据二次根式的乘法公式：和除法公式计算即可．
【详解】
解：（1）；
（2）；
（3）．
故答案为：；；．
此题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的乘法公式：和除法公式是解决此题的关键．
21、1
【解析】
根据中位数的定义求解可得．
【详解】
解：∵这20个数据的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10个、11个全部位于第三组（40≤x＜10）内，
∴第10个、11个数据均为40，
∵小于40的有6个，
∴第7、8、9、10、11个数据一定为40，
∴仰卧起坐次数为40次的女生人数至少有1人，
故答案为：1．
本题主要考查频数分布直方图和中位数，解题的关键是掌握中位数的概念．
22、3
【解析】
分析：根据算术平方根的概念求解即可.
详解：因为32=9
所以=3.
故答案为3.
点睛：此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方.
23、1
【解析】
先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算即可．
【详解】
解：∵数据6，x，1，3，4的平均数是4，
∴（6+x+1+3+4）÷5=4，
解得：x=5，
∴这组数据的方差是[（6-4）1+（5-4）1+（1-4）1+（3-4）1+（4-4））1]=1；
故答案为：1．
本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x1，…xn的平均数和方差，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、详见解析
【解析】
求出CE=EH，AC=AH，证△CAF≌△HAF，推出∠ACD=∠AHF，求出∠B=∠ACD=∠FHA，推出HF∥CE，推出CF∥EH，得出平行四边形CFHE，根据菱形判定推出即可．
【详解】
∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，
∴CE=EH，
在Rt△ACE和Rt△AHE中，AE=AE，CE=EH，
∴Rt△ACE≌ Rt△AHE(HL)，
∴AC=AH，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAF=∠HAF，
在△CAF和△HAF中，
，
∴△CAF≌△HAF(SAS)，
∴∠ACD=∠AHF，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠CDA=∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B=∠AHF，
∴FH∥CE，
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴CF∥EH，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CE=EH，
∴四边形CFHE是菱形．
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，角平分线性质等知识点的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键.
25、（1）（2）（3）
【解析】
(1)先通分，然后利用同分母分式加减法的法则进行计算即可；
(2)括号内先通分进行分式加减法运算，然后再进行分式乘除法运算，最后把数值代入化简后的结果进行计算即可；
(3)方程两边同时乘以(x+2)(x-2)，化为整式方程后解整式方程，然后进行检验即可.
【详解】
(1)原式
=
；
(2)原式
=
=，
当，时，原式；
(3)两边同时乘以(x+2)(x-2)，得：
，
解得：，
检验：当时，(x+2)(x-2)≠0，
所以x=10是原分式方程的解．
本题考查了分式的化简求值，解分式方程，熟练掌握分式混合运算的法则是解(1)(2)的关键，掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解(3)的关键.
26、（1）④；（2）80；（3）八年级得分的那位同学名次较靠前，理由详见解析.
【解析】
（1）根据题意，七年级由40人，则中位数应该在第20和21个人取平均值，即可得到答案；
（2）利用加权平均数，即可求出100名学生的平均成绩；
（3）由题意，八九年级人数一样，则比较中位数，即可得到答案.
【详解】
解：根据直方图可知，七年级第20和第21个人都落在；
故答案为：④.
(2)这名学生的平均成绩为：
；
(3)八年级得分的那位同学名次较靠前，
理由如下：
依题意得：八年级和九年级被挑选的学生人数相同，分别把两个年级的成绩按从高到低排列，由两个年级的中位数可知，八年级跳下的学生在该年级排名中上，而八年级跳下的学生在该年级排名中下，八年级得分的那位同学名次较靠前.
本题考查了众数，中位数，平均数，熟练掌握众数，中位数，平均数的定义是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
年级
平均成绩
中位数
众数
七年级
78.5
m
85
八年级
80
78
82
九年级
82
85
84