[数学]湖南省益阳市万源教育集团2024-2025学年八年级上学期开学考试试题(解析版)

这是一份[数学]湖南省益阳市万源教育集团2024-2025学年八年级上学期开学考试试题(解析版)，共19页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（本大题共10小题，共30分）
1. 已知，，，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，，，
∴，，，
∴，
故选A．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
．
故选：B
3. 如果，，，那么的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，，，
所以，
故选：B．
4. 已知a是方程的根，则的值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】∵a是方程的根，
∴，即
，
，
，
，
．
故选B．
5. 《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带売的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（ ）
A. 6 升B. 8 升C. 16 升D. 18 升
【答案】D
【解析】根据题意得：3斗＝30升，
设可以换得的粝米为x升，
则 ，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
答：可以换得的粝米为18升．
故选：D．
6. 如图，将四边形纸片ABCD沿PR翻折得到三角形PC′R，恰好C′P∥AB，C′R∥AD．若∠B＝120°，∠D＝50°，则∠C＝（ ）
A. 85°B. 95°C. 90°D. 80°
【答案】B
【解析】因为折叠前后两个图形全等，C′P∥AB，C′R∥AD
∴∠CPR＝∠C′PC =∠B＝×120°＝60°，
∠CRP＝∠C′RC =∠D＝×50°＝25°；
∴∠C＝180°−25°−60°＝95°
故选：B．
7. 给出下列命题：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的重心是三角形三条中线的交点；③三角形的外角等于两个内角的和；④三角形的角平分线是射线；⑤三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；⑥三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外．其中正确命题的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】①等边三角形是等腰三角形，①正确；
②三角形的重心是三角形三条中线的交点，②正确；
③三角形外角等于不相邻的两个内角的和，故③不正确；
④三角形的角平分线是线段，故④不正确；
⑤三角形相邻两边组成的角且位于三角形内部的角，叫三角形的内角，⑤错误；
⑥三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以在三角形内或在三角形外或者在三角形的边上．
正确的有①②，共计2个，
故选B
8. 已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A. 50°B. 130°C. 50°或130°D. 65°或130°
【答案】C
【解析】
①当为锐角三角形时，如图1，
∵∠ABD＝40°，BD⊥AC，
∴∠A＝90°−40°＝50°，
∴三角形的顶角为50°；
②当为钝角三角形时，如图2，
∵∠ABD＝40°，BD⊥AC，
∴∠BAD＝90°−40°＝50°，
∵∠BAD＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝130°
∴三角形的顶角为130°，
故选：C．
9. 如图，是的边的垂直平分线，若，，，则的周长为（ ）

A. 14B. 13C. 12D. 10
【答案】A
【解析】∵是的边的垂直平分线，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
10. 如图，在和中，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相较于F，连接OM，则下列结论中：①；②；③；④MO平分，正确的个数有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】 ，
∴，
即，
在和中，，
，
，，①正确；
，
由三角形的外角性质得：，
，②正确；
作于，于，如图所示：
则，
和中，，
，
，
平分，④正确；
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB=OC，
∵OA=OB
∴OA=OC
与OA＞OC矛盾，
∴③错误；
正确的个数有3个；
故选择：.
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11. 函数y=中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≥﹣3且x≠5
【解析】根据二次根式有意义，分式有意义得：且
解得：且
故答案为且
12. 已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有______．
【答案】2，3，5
【解析】
，
∵x为整数，且分式即的值为正整数，
∴x可取的值有2，3，5，
故答案为：2，3，5．
13. 华为于2023年8月29日开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟9000s芯片，该款芯片达到了7纳米工艺水平，1纳米米，7纳米用科学计数法表示为：______米．
【答案】
【解析】7纳米米，
故答案为：．
14. 若，则分式________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
15. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则方程为__________________________________
【答案】.
【解析】原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，由题意得：
故答案为
16. 如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为________秒．
【答案】1或3##3或1
【解析】∵等边的边长为，点是的中点，
∴，
∴当是等腰三角形时，可得三角形为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵动点的速度为/秒，
∴当从时，，当从时，．
故答案为：1或3．
17. 如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，），则___________．

【答案】8
【解析】如图，延长交于点E，过点C作于点H，于点G，则，

在中，∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：8
18. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是________．
【答案】10
【解析】解方程，得，，
当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；
当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为．
故答案为10．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19. 先化简再求值：，其中．
解：
=，
当时，原式=．
20. 先化简，再求值．其中为的整数．
解：
＝
＝
＝
＝
＝
＝，
要使分式有意义，1−x≠0，x≠0，x−2≠0，
∴x不能为1，0，2，
∵x为−2≤x≤2的整数是−2，−1，0，1，2，
∴x＝−2或−1，
当x＝−2时，原式＝＝−，
当x＝−1时，原式＝＝−，
即分式的值是−或−．
21. 小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师博，给我加200元油．”（油箱未加满）．而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱加满！”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升．
（1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格．（用含x．y的代数式表示）
（2）爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由．
（1）解：妈妈两次加油总量是：升；
妈妈两次加油的平均价是（元/升）．
（2）解：设爸爸每次加满油箱的油是a升，则爸爸两次加油的平均价是（元/升），
∵，
∴．当时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱；
当时，妈妈的加油方式比爸爸的加油方式更省钱．
22. “节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车车行经营的型自行车去年销售总额为元，今年该自行车每辆售价比去年降低元．若该自行车今年的销售总额与去年相同，那么今年的销售总量需要比去年增加．请解答以下问题：
（1）型自行车今年每辆售价为多少？
（2）该车行今年计划新进一批型车和新款型车共辆，且型进货数量不超过型车数量的倍．型车和型车每辆的进价分别为元和元，型车每辆的售价为元，该自行车行应如何组织进货才能使这批自行车获利最多？获利最多是多少？
（1）解：设型自行车今年每辆售价为元，则去年每辆售价为元，根据题意得，
解得：
经检验，是原方程的解，
答：型自行车今年每辆售价为元；
（2）解：设购进型车辆，则购进型车共辆，
依题意，
解得：，
根据题意，型车和型车每辆的进价分别为元和元，型自行车今年每辆售价为元；型车每辆的售价为元，
设利润为元，则
即
∵，
∴当时取得最大值，最大值为（元）
∴购进型车辆，购进型车共辆，才能使这批自行车获利最多，获利最多元．
23. ▱ABCD中，点E在AD上，DE=CD，请仅用无刻度的直尺，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图1中，画出∠C的角平分线；
（2）在图2中，画出∠A的角平分线．

（1）解：如图1，由DE=DC得到∠DEC=∠DCE，由AD∥BC得∠DEC=∠BCE，则∠DCE=∠BCE，即CE平分∠BCD.CE为所求作；

（2）解：如图2，连结AC、BD，它们相交于点O，延长EO交BC于F，则AF为所作.因为三角形BOF和三角形DOE全等，导出BF=DE=AB=CD,从而得出∠BAF=∠BFA=∠FAD，则AF是所求作的角平分线.

24. 如图，在中，的角平分线交于点D．
（1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别与、、交于点E、点F、点H．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接、，完成下面证明的过程．
证明：∵的角平分线交于点D，
∴______．
∵垂直平分，
∴，______，______，
∴，
∴，
∴______．
∴．
（1）解：所作图形如下：
（2）证明：∵的角平分线交于点D，
∴，
∵垂直平分，
∴，，．
∴．
∴．
∴．
∴．
25. 如图，点C在线段上，平分．
（1）证明：；
（2）若，求的面积．
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
又∵平分，
∴，
∴垂直平分，
∵．
∴，
∴，
即的面积是12．
26. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段沿y轴向上平移4个单位，得到线段．
（1）写出点C，D的坐标；
（2）若点E在x轴上，求出点E坐标，使得；
（3）线段沿轴向下平移得线段，轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在请直接写出点坐标，并写出求其中一个点坐标的过程；若不存在，请说明理由．
（1）解： ，，将线段沿轴向上平移4个单位，
，；
（2）解：设，
，，
，
又，
过点作轴于点，连接，，，
则，
解得，
；
（3）解：轴上存在点，使得为等腰直角三角形，
使为等腰直角三角形，分三种情况，设，
①当时，连接，过点作轴，交延长线于点，如图，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
；
②当时，，
，，
，
，
，，
，
解得，
；
③当时，，
过点作轴，作轴，分别交于点和点，如图，
由题意知，，
，，
，
，
，
，
；
综上，存在，点坐标为或或．