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2024-2025学年广东省惠州一中高二（上）段考数学试卷（9月份）（含解析）
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这是一份2024-2025学年广东省惠州一中高二（上）段考数学试卷（9月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(1,2)，b=(3,m)，若a⊥(a+b)，则m的值为( )
A. −4B. 4C. −6D. 6
2.已知复数z=2−i1+i，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )
A. 若a//α，b⊆α，则a//b
B. 若a//α，b//β，α//β，则a//b
C. 若a⊆α，b⊆β，a//b，则α//β
D. 若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
4.已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为16，且P(A)=2P(B)，则P(B−)=( )
A. 59B. 49C. 518D. 1318
5.如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知库底与水坝所成的二面角为120°，测得从D，C到库底与水坝的交线的距离分别为DA=30m，CB=40m，又已知AB=20 3m，则甲、乙两人相距( )
A. 50mB. 10 37mC. 60mD. 70m
6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ca= 33，B=π6，△ABC的面积为 3，则b=( )
A. 2 3B. 4C. 2D. 6
7.已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为( )
A. 12πB. 16πC. 48πD. 96π
8.某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中AB=6 3km，BC=10km，∠ABC=90°，现计划在工业园区内选择P处建一仓库，若∠APB=120°，则CP的最小值为( )
A. 6kmB. 8kmC. 4 3kmD. 6 2km
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则( )
A. 平均数为3B. 标准差为85C. 众数为2D. 85%分位数为5
10.有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用x表示第一次取到的小球的标号，用y表示第二次取到的小球的标号，记事件A：x+y为偶数，B：xy为偶数，C：x>2，则( )
A. P(B)=34B. A与B相互独立C. A与C相互独立D. B与C相互独立
11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上一个动点，则( )
A. 当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P−AA1D1D的体积不变
B. 当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是[π3,π2]
C. 使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π+4 2
D. 若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面B1CD1时，PF长度的最小值是 5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,1)，b=(−1,2)，则a在b方向上的投影向量坐标是______．
13.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=4，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为______．
14.已知向量a,b均为单位向量，且a⊥b，向量c满足|c|= 3，则(c−a)⋅(c−b)的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，四面体ABCD，E，F，G，H，K，M分别为棱AB，BC，CD，DA，BD，AC的中点．
(1)设AB=a，AC=b，AD=c，用向量a，b，c分别表示EG、FH、KM；
(2)若|EG|=|FH|=|KM|，求证AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC．
16.(本小题15分)
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，连接AE．
(1)证明：AE⊥PC；
(2)连接DE，求DE与底面ABCD所成角的正切值；
(3)求二面角E−CD−A的平面角的正切值．
17.(本小题15分)
为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分(满分100分)，并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品．
(1)求图中a的值，并求综合评分的平均数；
(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；
(3)已知落在[50,60)的平均综合评分是54，方差是3，落在[60,70)的平均综合评分为63，方差是3，求落在[50,70)的总平均综合评分z−和总方差s2．
18.(本小题17分)
设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(2csA+sin2C)=csinBsinC+b．
(1)求A的值；
(2)设c= 3，△ABC为锐角三角形，D是边AC的中点，求DB⋅AC的取值范围．
19.(本小题17分)
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：n−e+f=2，其中n为顶点数，e为棱数，f为面数．
我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点、棱、面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，e=12，f=6，可以得到顶点数n=8．
(1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；
(2)证明：n个顶点的凸多面体，至多有3n−6条棱；
(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：向量a=(1,2)，b=(3,m)，
则a+b=(4,m+2)，
a⊥(a+b)，
则4×1+2(m+2)=0，解得m=−4．
故选：A．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了复数运算法则的运用，主要考查了复数几何意义的理解，属于基础题．
由复数的运算法则求出z的代数形式，由复数的几何意义得到对应的点的坐标，即可得到答案．
【解答】
解：因为z=2−i1+i=(2−i)(1−i)2=12−32i，
所以复数z在复平面内对应的点为(12,−32)，在第四象限．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】解：选项A：a//α，b⊆α，只有当a，b在同一平面内的时候，才有a//b，故不正确；
选项B：a//α，b//β，α//β，则a，b可相交、平行或异面，故不正确；
选项C：a⊆α，b⊆β，a//b，则α，β还可能是相交平面，故不正确；
选项D：两个平面垂直时，与它们垂直的两条直线一定是垂直的，所以若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b，故正确．
故选：D．
根据直线和平面的平行和垂直的性质定理对各选项逐一判断即可．
本题考查直线和平面的平行和垂直的性质定理，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题可知，P(A∪B)=P(A)+P(B)=1−16=56，
又P(A)=2P(B)，所以2P(B)+P(B)=56，解得P(B)=518，
所以P(B−)=1−P(B)=1318．
故选：D．
根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解．
本题主要考查据互斥事件，对立事件的概率关系，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由题意得DC=DA+AB+BC，
∴|DC|2=(DA+AB+BC)2=DA2+AB2+BC2+2DA⋅AB+2BC⋅DA+2AB⋅BC，
又DA=30m，CB=40m，AB=20 3m，
∴|DC|2=302+(20 3)2+402+0+2×30×40×12+0=4900，即|DC|=70m，
故甲、乙两人相距70m，
故选：D．
利用向量法，DC=DA+AB+BC，结合向量的线性运算，即可得出答案．
本题考查向量的线性运算和平面向量的数量积，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：由于ca= 33，故a= 3c，
由于B=π6，△ABC的面积为 3，
故S△ABC=12acsinB= 3，
整理得12⋅c⋅ 3c⋅12= 3，解得c=2，a=2 3，
利用余弦定理b2=a2+c2−2accsB=12+4−2×2×2 3× 32=16−12=4，
解得b=2．
故选：C．
直接利用三角形的面积公式和余弦定理求出结果．
本题考查的知识点：三角形的面积公式，余弦定理，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，球O的半径为R，
则πl=2πr，得l=2r，
又圆锥的高为3，可得3= l2−r2= 3r，r= 3，
圆锥的底面半径为 3，母线长为2 3，
∴R=2 3．
因此，球O的表面积为：4πR2=48π．
故选：C．
由题中条件得出圆锥的母线长l，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆周长可计算出底面圆半径r，再利用勾股定理可计算出圆锥的高h，进而求出球O的半径，最后利用球体体积公式可得出答案．
本题考查球体的表面积的计算，考查外接球模型的应用，考查了计算能力，是中档题．
8.【答案】B
【解析】解：设∠BAP=θ，(0°<θ<60°)，
则∠ABP=60°−θ，∠PBC=90°−(60°−θ)=30°+θ，
在△BAP中由正弦定理BPsin∠BAP=ABsin∠APB，即BPsinθ=6 3 32，
所以BP=12sinθ，
在△PBC中，CP2=BP2+BC2−2BP⋅BC⋅cs∠PBC
=144sin2θ+100−240sinθcs(θ+30°)
=144sin2θ+100−240sinθ(csθcs30°−sinθsin30°)
=144sin2θ+100−240sinθ( 32csθ−12sinθ)
=264sin2θ+100−120 3sinθcsθ
=232−12(11cs2θ+5 3sin2θ)
=232−12×14sin(2θ+φ)(其中tanφ=115 3)，
所以当2θ+φ=90°时，(CP2)min=232−12×14=64，
所以CP最小值为8km．
故选：B．
设∠BAP=θ，(0°<θ<60°)，利用正弦定理得到BP=12sinθ，再在△PBC中利用余弦定理得到CP2，再由三角恒等变换公式及三角函数的性质求出(CP2)min，即可得解．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换及三角函数的性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：由平均数的计算公式，可得x−=5+5+4+3+3+3+2+2+2+110=3，所以A正确；
由方程的公式，可得s2=110×[(5−3)2×2+(4−3)2+(3−3)2×3+(2−3)2×3+(1−3)2]=85，
所以标准差为 85，所以B错误；
由众数的定义，可得数据的众数为2和3，所以C错误；
将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，可得i=10×85%=8.5，
所以第85百分位数为5，所以D正确．
故选：AD．
根据平均数、方差、众数和百分位数的概念与计算方法，逐项判定，即可求解．
本题考查了极差，方差，标准差问题，涉及到平均数，众数问题的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，
用x表示第一次取到的小球的标号，用y表示第二次取到的小球的标号，
基本事件(x,y)总数n=6×6=36，
记事件A：x+y为偶数，
则事件A包含的基本事件(x,y)有18个，分别为：
(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，
∴P(A)=1836=12，
B：xy为偶数，
则事件B包含的基本事件(x,y)有27个，分别为：
(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
∴P(B)=2736=34，故A正确；
C：x>2，
则事件C包含的基本事件(x,y)有24个，分别为：
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
∴P(C)=2436=23，
AB包含的基本事件有(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共9个，
P(AB)=936=14，P(AB)≠P(A)P(B)，∴A与B不是相互独立事件，故B错误；
AC包含的基本事件有12个，分别为：
(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，
∴P(AC)=1236=13，P(AC)=P(A)P(C)，
∴A与C是相互独立事件，故C正确；
BC包含的基本事件有18个，分别为：
(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
∴P(BC)=1836=12，P(BC)=P(B)P(C)，
∴B与C是相互独立事件，故D正确．
故选：ACD．
利用古典概型、列举法、相互独立事件定义求解．
本题考查古典概型、列举法、相互独立事件定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：对于选项A：因为平面BCC1B1//平面AA1D1D，
所以点P到侧面ADD1A1的距离为定值，故四棱锥P−AA1D1D的体积为定值，故A正确；
对于选项B：因为A1C1//AC，D1P与A1C1所成角是∠D1PA或其补角，
因为△D1AC是正三角形，所以D1P与A1C1成角的取值范围是[π3,π2]，故B正确；
对于选项C：①当点P在侧面CC1D1D上时(不包括正方形的边界)，过点P作平面ABCD的垂线，垂足为H，连AH，
根据正方体易知PH⊥平面ABCD，则∠PAH为PA与平面ABCD所成的角，故∠PAH=45°，所以PH=AH，
在Rt△ADH中，由AH>AD=2，但是PH=AH<2，矛盾，
故点P不能在侧面CC1D1D上(不包括正方形的边界)，
同理，点P不在侧面BB1C1C上(不包括正方形的边界)．
②当点P在上底面A1B1C1D1上时，过点P作平面ABCD的垂线，垂足为G，连结A1P，AG，
根据正方体易知PG⊥平面ABCD，且四边形A1PGA为矩形，则∠PAG为PA与平面ABCD所成的角，故∠PAG=45°，
所以PG=AG=2，所以A1P=AG=2，此时点P的轨迹是以A1为圆心，2为半径的四分之一圆，点P的轨迹长度为14×2π×2=π；
③当点P在侧面AA1D1D，AA1BB上时，根据正方体特征易知点P在线段AB1，AD1上，都符合题意，
此时点P的轨迹长为4 2；由上知点P的轨迹长度为π+4 2，故C选项正确；
对于选项D：取 BC中点M，CD中点N，连结FM，FN，
因为M、N是BC、CD的中点，可知MN//BD且MN=12BD= 2，
又BD//B1D1，所以MN//B1D1，又MN⊄平面B1CD1，B1D1⊂平面B1CD1，所以MN//平面B1CD1，
因为F，N是A1B1、CD中点，根据正方体可得，四边形B1FNC是平行四边形，
所以FN//B1C，FN⊄平面B1CD1，B1C⊂平面B1CD1，所以FN//平面B1CD1，
又FN∩MN=N，FN，MN⊂平面FMN，所以平面FMN//平面平面B1CD1，
因为P在底面ABCD上运动，且PF//平面B1CD1，所以PF⊂平面FMN，
因为平面FMN∩底面ABCD=MN，所以点P在底面ABCD上的轨迹为MN，
根据正方体的棱长为2，结合勾股定理可得，FN=2 2，FM= 6，所以FN2=FM2+MN2，故MN⊥FM，
所以PF长度的最小值为FM= 6，故D错误．
故选：ABC．
对于选项A，由点P到侧面ADD1A1的距离相等，故四棱锥P−AA1D1D的体积为定值，即可判断；
对于选项B，找到所求角为∠D1PA或其补角，根据正三角形△D1AC，即可判断；
对于选项C，分别求当点P在侧面BB1C1C，侧面CC1D1D上时(不包括正方形的边界)、在上底面A1B1C1D1上、点P在侧面AA1D1D，AA1BB上点P的轨迹长，即可判断；
对于选项D，取BC中点M，CD中点N，连结FM，FN，可证明平面FMN//平面B1CD1，即可求得P的轨迹是MN，即可求得PF的最小值，进而判定选项．
本题考查了棱锥的体积，直线与直线所成角，直线与平面所成角以及轨迹问题，属于较难题．
12.【答案】(−15,25)
【解析】解：根据题意，设a和b的夹角为θ，
则a在b方向上的投影向量为|a|csθb|b|=a⋅b|b|2b=15b，
而b=(−1,2)，则a在b方向上的投影向量坐标是(−15,25)．
故答案为：(−15,25)．
根据题意，设a和b的夹角为θ，由投影向量的计算公式分析可得答案．
本题考查投影向量的计算，涉及向量数量积的计算公式，属于基础题．
13.【答案】 3010
【解析】解：由于PA⊥底面ABCD，AD，AB⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
而底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD，
PD=AD−AP,|PD|= (AD−AP)2= 16+4=2 5，
又E为PC的中点，
所以BE=12(BP+BC)=12(AP−AB+AD)，
因为PA=AB=2，AD=4，
所以|BE|=12 (AP−AB+AD)2=12 4+4+16= 6，
PD⋅BE=12(AD−AP)⋅(AP−AB+AD)=12(16−4)=6．
所以异面直线PD与BE所成角的余弦值为PD⋅BE|PD||BE|=62 5× 6= 3010．
故答案为： 3010．
根据向量数量积、模的运算、夹角等知识来求得正确答案．
本题考查向量法求异面直线所成角，属于中档题．
14.【答案】3+ 6
【解析】解：因为向量a,b均为单位向量，且a⊥b，所以不妨设a=(1,0),b=(0,1)，
设c=(x,y)，因为|c|= 3，所以x2+y2=3，
则设x= 3csα,y= 3sinα,α∈[0,2π),
所以c−a=( 3csα−1, 3sinα)，c−b=( 3csα, 3sinα−1)，
所以(c−a)⋅(c−b)=3cs2α− 3csα+3sin2α− 3sinα
=3− 3(sinα+csα)
=3− 6sin(α+π4)，
所以当sin(α+π4)=−1时，3− 6sin(α+π4)取得最大值3+ 6，
所以(c−a)⋅(c−b)的最大值为3+ 6．
故答案为：3+ 6．
由题意不妨设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y)，则x2+y2=3，所以设x= 3csα,y= 3sinα,α∈[0,2π)，然后利用数量积的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由题意四面体ABCD，E，F，G，H，K，M分别为棱AB，BC，CD，DA，BD，AC的中点．
设AB=a，AC=b，AD=c，
EG=EA+AG=−12AB+12(AC+AD)=−12a+12b+12c，
FH=FA+AH=−12(AB+AC)+12AD=−12a−12b+12c，
KM=KA+AM=−12(AB+AD)+12AC=−12a+12b−12c．
(2)因为|EG|=|FH|=|KM|，所以|EG|=|FH|=|KM|，
故|EG|2=|FH|2=|KM|2即(−12a+12b+12c)2=(−12a−12b+12c)2=(−12a+12b−12c)2，
故(−a+b+c)2=(−a−b+c)2=(−a+b−c)2，
得a⋅b=a⋅c=b⋅c，
故a⋅b−a⋅c=a⋅(b−c)=0，a⋅c−b⋅c=c⋅(a−b)=0，a⋅b−b⋅c=b⋅(a−c)=0，
即AB⋅DC=0，AC⋅DB=0，AD⋅CB=0，
故AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC．
【解析】(1)根据空间向量的加减法及数乘的运算可得；
(2)根据|EG|=|FH|=|KM|，及空间向量模的运算可得a⋅b=a⋅c=b⋅c，进而可证．
本题考查空间向量的运算知识，属于中档题．
16.【答案】解：(1)证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD
∴PA⊥BC．
∵底面ABCD为正方形，∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB．
∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE．
∵E为PB的中点，PA=AB，∴AE⊥PB．
又∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC．
因为PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC．
(2)解：作EF⊥AB于点F，
则F是AB的中点，EF//PA，且EF=12PA，EF⊥平面ABCD．
连接DF，则∠EDF是DE与底面ABCD所成角．
设PA=AB=a，在Rt△EFD中，EF=12a，FD= 52a，
∴DE与底面ABCD所成角的正切值为：
tan∠EDF=EFFD= 55．
(3)解：作FG⊥CD，垂足为G，则G为CD的中点，
连接EG，则CD⊥EG，所以∠EGF为所求二面角的平面角．
在Rt△EFG中，EF=12a，FG=a，∴tan∠EGF=EFFG=12，
∴二面角E−CD−A的平面角的正切值为12．
【解析】(1)推导出PA⊥BC，BC⊥AB，从而BC⊥平面PAB.BC⊥AE.AE⊥PB.从而AE⊥平面PBC.由此能证明AE⊥PC．
(2)作EF⊥AB于点F，连接DF，则∠EDF是DE与底面ABCD所成角．由此能求出DE与底面ABCD所成角的正切值．
(3)作FG⊥CD，垂足为G，则G为CD的中点，连接EG，则CD⊥EG，则∠EGF为所求二面角的平面角．由此能求出二面角E−CD−A的平面角的正切值．
本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正切值、二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得：(0.005+0.010+0.025+a+0.020)×10=1，
解得a=0.040，
则综合评分的平均数为x−=10×(55×0.005+65×0.010+75×0.025+85×0.040+95×0.020)=81；
(2)由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个，
一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E，
从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间Ω={ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE}，共10个样本点，
记事件A=“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”，则A={aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE}，共7个样本点，
所以所求的概率为P=710；
(3)z−=13×54+23×63=60，
s2=13[3+(54−60)2]+23[3+(63−60)2]=21．
【解析】(1)根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，求出a的值，再结合平均数的定义求解；
(2)利用古典概型的概率公式求解；
(3)利用分层随机抽样的均值和方差公式求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为b(2csA+sin2C)=csinBsinC+b，
所以利用正弦定理可得sinB(2csA+sin2C)=sinCsinBsinC+sinB，
又B为三角形内角，sinB>0，
所以2csA+sin2C=sinCsinC+1，可得csA=12，
因为A∈(0,π)，
所以A=π3；
(2)c= 3，△ABC为锐角三角形，A=π3；
可知AC∈( 32,2 3)，即b∈( 32,2 3).
DB=12CA+AB，
DB⋅AC=(12CA+AB)⋅AC=−12AC2+|AB|⋅|AC|csπ3=−12AC2+ 32|AC|=−12b2+ 32b，
即f(b)=−12b2+ 32b，
二次函数的开口向下，对称轴为b= 32，DB⋅AC的取值范围(f(2 3),f( 32))，
即(−3,38).
【解析】(1)利用正弦定理，转化求解A即可．
(2)求解AC的范围，结合向量的数量积，推出AC的表达式，然后求解范围即可．
本题考查三角形的中的几何计算，正弦定理以及向量的数量积的应用，是中档题．
19.【答案】解：(1)证明：设足球有m个正五边形，则有32−m个正六边形，
足球的顶点n=5m+6(32−m)3，棱数e=5m+6(32−m)2，
由欧拉公式得5m+6(32−m)3−5m+6(32−m)22+32=2，
解得m=12，即此足球中有12个面为正五边形，
所以此足球的棱数e=5m+6(32−m)2=90．
(2)由n个顶点的凸多面体，其面数尽可能多，那么相当于每一个面尽可能均为三角形，
当棱数最多时，该凸多面体每一个面均为三角形，此时e=3f2，即f=23e，
又n−e+f=2，即n−e+23e=2，解得e=3n−6，
故n个顶点的凸多面体，至多有3n−6条棱．
(3)设正多面体每个顶点有p条棱，每个面都是正q边形，
则此多面体棱数e=qf2=pn2,p,q≥3，即f=pnq，
由欧拉公式n−e+f=2，得n=4q2q+2p−qp，
所以2q+2p−qp>0，即1q+1p>12，即1p>12−1q≥12−13=16，
所以p<6，
当p=3时，q<6，所以q=3，4，5，n=4，8，20，e=6，12，30；
当p=4时，q<4，所以q=3，n=6，e=12；
当p=5时，q<103，所以q=3，n=12，e=30；
综上：棱数可能为6，12，30．
【解析】(1)设此足球有m个正五边形，分别得顶点与棱数，再利用欧拉公式解得m的值．
(2)当凸多面体每个面均为三角形时，棱数最多，此时棱数与面数有3e=2f关系．
(3)设正多面体每个顶点有p条棱，每个面都是正q边形，根据欧拉公式列出表达式，再由2q+2p−qp>0得不等式，分类取值即可．
本题主要考查归纳推理，属于中档题．
1.已知向量a=(1,2)，b=(3,m)，若a⊥(a+b)，则m的值为( )
A. −4B. 4C. −6D. 6
2.已知复数z=2−i1+i，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )
A. 若a//α，b⊆α，则a//b
B. 若a//α，b//β，α//β，则a//b
C. 若a⊆α，b⊆β，a//b，则α//β
D. 若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
4.已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为16，且P(A)=2P(B)，则P(B−)=( )
A. 59B. 49C. 518D. 1318
5.如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知库底与水坝所成的二面角为120°，测得从D，C到库底与水坝的交线的距离分别为DA=30m，CB=40m，又已知AB=20 3m，则甲、乙两人相距( )
A. 50mB. 10 37mC. 60mD. 70m
6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ca= 33，B=π6，△ABC的面积为 3，则b=( )
A. 2 3B. 4C. 2D. 6
7.已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为( )
A. 12πB. 16πC. 48πD. 96π
8.某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中AB=6 3km，BC=10km，∠ABC=90°，现计划在工业园区内选择P处建一仓库，若∠APB=120°，则CP的最小值为( )
A. 6kmB. 8kmC. 4 3kmD. 6 2km
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则( )
A. 平均数为3B. 标准差为85C. 众数为2D. 85%分位数为5
10.有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用x表示第一次取到的小球的标号，用y表示第二次取到的小球的标号，记事件A：x+y为偶数，B：xy为偶数，C：x>2，则( )
A. P(B)=34B. A与B相互独立C. A与C相互独立D. B与C相互独立
11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上一个动点，则( )
A. 当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P−AA1D1D的体积不变
B. 当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是[π3,π2]
C. 使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π+4 2
D. 若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面B1CD1时，PF长度的最小值是 5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,1)，b=(−1,2)，则a在b方向上的投影向量坐标是______．
13.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=4，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为______．
14.已知向量a,b均为单位向量，且a⊥b，向量c满足|c|= 3，则(c−a)⋅(c−b)的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，四面体ABCD，E，F，G，H，K，M分别为棱AB，BC，CD，DA，BD，AC的中点．
(1)设AB=a，AC=b，AD=c，用向量a，b，c分别表示EG、FH、KM；
(2)若|EG|=|FH|=|KM|，求证AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC．
16.(本小题15分)
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，连接AE．
(1)证明：AE⊥PC；
(2)连接DE，求DE与底面ABCD所成角的正切值；
(3)求二面角E−CD−A的平面角的正切值．
17.(本小题15分)
为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分(满分100分)，并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品．
(1)求图中a的值，并求综合评分的平均数；
(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；
(3)已知落在[50,60)的平均综合评分是54，方差是3，落在[60,70)的平均综合评分为63，方差是3，求落在[50,70)的总平均综合评分z−和总方差s2．
18.(本小题17分)
设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(2csA+sin2C)=csinBsinC+b．
(1)求A的值；
(2)设c= 3，△ABC为锐角三角形，D是边AC的中点，求DB⋅AC的取值范围．
19.(本小题17分)
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：n−e+f=2，其中n为顶点数，e为棱数，f为面数．
我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点、棱、面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，e=12，f=6，可以得到顶点数n=8．
(1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；
(2)证明：n个顶点的凸多面体，至多有3n−6条棱；
(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：向量a=(1,2)，b=(3,m)，
则a+b=(4,m+2)，
a⊥(a+b)，
则4×1+2(m+2)=0，解得m=−4．
故选：A．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了复数运算法则的运用，主要考查了复数几何意义的理解，属于基础题．
由复数的运算法则求出z的代数形式，由复数的几何意义得到对应的点的坐标，即可得到答案．
【解答】
解：因为z=2−i1+i=(2−i)(1−i)2=12−32i，
所以复数z在复平面内对应的点为(12,−32)，在第四象限．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】解：选项A：a//α，b⊆α，只有当a，b在同一平面内的时候，才有a//b，故不正确；
选项B：a//α，b//β，α//β，则a，b可相交、平行或异面，故不正确；
选项C：a⊆α，b⊆β，a//b，则α，β还可能是相交平面，故不正确；
选项D：两个平面垂直时，与它们垂直的两条直线一定是垂直的，所以若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b，故正确．
故选：D．
根据直线和平面的平行和垂直的性质定理对各选项逐一判断即可．
本题考查直线和平面的平行和垂直的性质定理，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题可知，P(A∪B)=P(A)+P(B)=1−16=56，
又P(A)=2P(B)，所以2P(B)+P(B)=56，解得P(B)=518，
所以P(B−)=1−P(B)=1318．
故选：D．
根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解．
本题主要考查据互斥事件，对立事件的概率关系，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由题意得DC=DA+AB+BC，
∴|DC|2=(DA+AB+BC)2=DA2+AB2+BC2+2DA⋅AB+2BC⋅DA+2AB⋅BC，
又DA=30m，CB=40m，AB=20 3m，
∴|DC|2=302+(20 3)2+402+0+2×30×40×12+0=4900，即|DC|=70m，
故甲、乙两人相距70m，
故选：D．
利用向量法，DC=DA+AB+BC，结合向量的线性运算，即可得出答案．
本题考查向量的线性运算和平面向量的数量积，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：由于ca= 33，故a= 3c，
由于B=π6，△ABC的面积为 3，
故S△ABC=12acsinB= 3，
整理得12⋅c⋅ 3c⋅12= 3，解得c=2，a=2 3，
利用余弦定理b2=a2+c2−2accsB=12+4−2×2×2 3× 32=16−12=4，
解得b=2．
故选：C．
直接利用三角形的面积公式和余弦定理求出结果．
本题考查的知识点：三角形的面积公式，余弦定理，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，球O的半径为R，
则πl=2πr，得l=2r，
又圆锥的高为3，可得3= l2−r2= 3r，r= 3，
圆锥的底面半径为 3，母线长为2 3，
∴R=2 3．
因此，球O的表面积为：4πR2=48π．
故选：C．
由题中条件得出圆锥的母线长l，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆周长可计算出底面圆半径r，再利用勾股定理可计算出圆锥的高h，进而求出球O的半径，最后利用球体体积公式可得出答案．
本题考查球体的表面积的计算，考查外接球模型的应用，考查了计算能力，是中档题．
8.【答案】B
【解析】解：设∠BAP=θ，(0°<θ<60°)，
则∠ABP=60°−θ，∠PBC=90°−(60°−θ)=30°+θ，
在△BAP中由正弦定理BPsin∠BAP=ABsin∠APB，即BPsinθ=6 3 32，
所以BP=12sinθ，
在△PBC中，CP2=BP2+BC2−2BP⋅BC⋅cs∠PBC
=144sin2θ+100−240sinθcs(θ+30°)
=144sin2θ+100−240sinθ(csθcs30°−sinθsin30°)
=144sin2θ+100−240sinθ( 32csθ−12sinθ)
=264sin2θ+100−120 3sinθcsθ
=232−12(11cs2θ+5 3sin2θ)
=232−12×14sin(2θ+φ)(其中tanφ=115 3)，
所以当2θ+φ=90°时，(CP2)min=232−12×14=64，
所以CP最小值为8km．
故选：B．
设∠BAP=θ，(0°<θ<60°)，利用正弦定理得到BP=12sinθ，再在△PBC中利用余弦定理得到CP2，再由三角恒等变换公式及三角函数的性质求出(CP2)min，即可得解．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换及三角函数的性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：由平均数的计算公式，可得x−=5+5+4+3+3+3+2+2+2+110=3，所以A正确；
由方程的公式，可得s2=110×[(5−3)2×2+(4−3)2+(3−3)2×3+(2−3)2×3+(1−3)2]=85，
所以标准差为 85，所以B错误；
由众数的定义，可得数据的众数为2和3，所以C错误；
将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，可得i=10×85%=8.5，
所以第85百分位数为5，所以D正确．
故选：AD．
根据平均数、方差、众数和百分位数的概念与计算方法，逐项判定，即可求解．
本题考查了极差，方差，标准差问题，涉及到平均数，众数问题的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，
用x表示第一次取到的小球的标号，用y表示第二次取到的小球的标号，
基本事件(x,y)总数n=6×6=36，
记事件A：x+y为偶数，
则事件A包含的基本事件(x,y)有18个，分别为：
(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，
∴P(A)=1836=12，
B：xy为偶数，
则事件B包含的基本事件(x,y)有27个，分别为：
(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
∴P(B)=2736=34，故A正确；
C：x>2，
则事件C包含的基本事件(x,y)有24个，分别为：
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
∴P(C)=2436=23，
AB包含的基本事件有(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共9个，
P(AB)=936=14，P(AB)≠P(A)P(B)，∴A与B不是相互独立事件，故B错误；
AC包含的基本事件有12个，分别为：
(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，
∴P(AC)=1236=13，P(AC)=P(A)P(C)，
∴A与C是相互独立事件，故C正确；
BC包含的基本事件有18个，分别为：
(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
∴P(BC)=1836=12，P(BC)=P(B)P(C)，
∴B与C是相互独立事件，故D正确．
故选：ACD．
利用古典概型、列举法、相互独立事件定义求解．
本题考查古典概型、列举法、相互独立事件定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：对于选项A：因为平面BCC1B1//平面AA1D1D，
所以点P到侧面ADD1A1的距离为定值，故四棱锥P−AA1D1D的体积为定值，故A正确；
对于选项B：因为A1C1//AC，D1P与A1C1所成角是∠D1PA或其补角，
因为△D1AC是正三角形，所以D1P与A1C1成角的取值范围是[π3,π2]，故B正确；
对于选项C：①当点P在侧面CC1D1D上时(不包括正方形的边界)，过点P作平面ABCD的垂线，垂足为H，连AH，
根据正方体易知PH⊥平面ABCD，则∠PAH为PA与平面ABCD所成的角，故∠PAH=45°，所以PH=AH，
在Rt△ADH中，由AH>AD=2，但是PH=AH<2，矛盾，
故点P不能在侧面CC1D1D上(不包括正方形的边界)，
同理，点P不在侧面BB1C1C上(不包括正方形的边界)．
②当点P在上底面A1B1C1D1上时，过点P作平面ABCD的垂线，垂足为G，连结A1P，AG，
根据正方体易知PG⊥平面ABCD，且四边形A1PGA为矩形，则∠PAG为PA与平面ABCD所成的角，故∠PAG=45°，
所以PG=AG=2，所以A1P=AG=2，此时点P的轨迹是以A1为圆心，2为半径的四分之一圆，点P的轨迹长度为14×2π×2=π；
③当点P在侧面AA1D1D，AA1BB上时，根据正方体特征易知点P在线段AB1，AD1上，都符合题意，
此时点P的轨迹长为4 2；由上知点P的轨迹长度为π+4 2，故C选项正确；
对于选项D：取 BC中点M，CD中点N，连结FM，FN，
因为M、N是BC、CD的中点，可知MN//BD且MN=12BD= 2，
又BD//B1D1，所以MN//B1D1，又MN⊄平面B1CD1，B1D1⊂平面B1CD1，所以MN//平面B1CD1，
因为F，N是A1B1、CD中点，根据正方体可得，四边形B1FNC是平行四边形，
所以FN//B1C，FN⊄平面B1CD1，B1C⊂平面B1CD1，所以FN//平面B1CD1，
又FN∩MN=N，FN，MN⊂平面FMN，所以平面FMN//平面平面B1CD1，
因为P在底面ABCD上运动，且PF//平面B1CD1，所以PF⊂平面FMN，
因为平面FMN∩底面ABCD=MN，所以点P在底面ABCD上的轨迹为MN，
根据正方体的棱长为2，结合勾股定理可得，FN=2 2，FM= 6，所以FN2=FM2+MN2，故MN⊥FM，
所以PF长度的最小值为FM= 6，故D错误．
故选：ABC．
对于选项A，由点P到侧面ADD1A1的距离相等，故四棱锥P−AA1D1D的体积为定值，即可判断；
对于选项B，找到所求角为∠D1PA或其补角，根据正三角形△D1AC，即可判断；
对于选项C，分别求当点P在侧面BB1C1C，侧面CC1D1D上时(不包括正方形的边界)、在上底面A1B1C1D1上、点P在侧面AA1D1D，AA1BB上点P的轨迹长，即可判断；
对于选项D，取BC中点M，CD中点N，连结FM，FN，可证明平面FMN//平面B1CD1，即可求得P的轨迹是MN，即可求得PF的最小值，进而判定选项．
本题考查了棱锥的体积，直线与直线所成角，直线与平面所成角以及轨迹问题，属于较难题．
12.【答案】(−15,25)
【解析】解：根据题意，设a和b的夹角为θ，
则a在b方向上的投影向量为|a|csθb|b|=a⋅b|b|2b=15b，
而b=(−1,2)，则a在b方向上的投影向量坐标是(−15,25)．
故答案为：(−15,25)．
根据题意，设a和b的夹角为θ，由投影向量的计算公式分析可得答案．
本题考查投影向量的计算，涉及向量数量积的计算公式，属于基础题．
13.【答案】 3010
【解析】解：由于PA⊥底面ABCD，AD，AB⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
而底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD，
PD=AD−AP,|PD|= (AD−AP)2= 16+4=2 5，
又E为PC的中点，
所以BE=12(BP+BC)=12(AP−AB+AD)，
因为PA=AB=2，AD=4，
所以|BE|=12 (AP−AB+AD)2=12 4+4+16= 6，
PD⋅BE=12(AD−AP)⋅(AP−AB+AD)=12(16−4)=6．
所以异面直线PD与BE所成角的余弦值为PD⋅BE|PD||BE|=62 5× 6= 3010．
故答案为： 3010．
根据向量数量积、模的运算、夹角等知识来求得正确答案．
本题考查向量法求异面直线所成角，属于中档题．
14.【答案】3+ 6
【解析】解：因为向量a,b均为单位向量，且a⊥b，所以不妨设a=(1,0),b=(0,1)，
设c=(x,y)，因为|c|= 3，所以x2+y2=3，
则设x= 3csα,y= 3sinα,α∈[0,2π),
所以c−a=( 3csα−1, 3sinα)，c−b=( 3csα, 3sinα−1)，
所以(c−a)⋅(c−b)=3cs2α− 3csα+3sin2α− 3sinα
=3− 3(sinα+csα)
=3− 6sin(α+π4)，
所以当sin(α+π4)=−1时，3− 6sin(α+π4)取得最大值3+ 6，
所以(c−a)⋅(c−b)的最大值为3+ 6．
故答案为：3+ 6．
由题意不妨设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y)，则x2+y2=3，所以设x= 3csα,y= 3sinα,α∈[0,2π)，然后利用数量积的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由题意四面体ABCD，E，F，G，H，K，M分别为棱AB，BC，CD，DA，BD，AC的中点．
设AB=a，AC=b，AD=c，
EG=EA+AG=−12AB+12(AC+AD)=−12a+12b+12c，
FH=FA+AH=−12(AB+AC)+12AD=−12a−12b+12c，
KM=KA+AM=−12(AB+AD)+12AC=−12a+12b−12c．
(2)因为|EG|=|FH|=|KM|，所以|EG|=|FH|=|KM|，
故|EG|2=|FH|2=|KM|2即(−12a+12b+12c)2=(−12a−12b+12c)2=(−12a+12b−12c)2，
故(−a+b+c)2=(−a−b+c)2=(−a+b−c)2，
得a⋅b=a⋅c=b⋅c，
故a⋅b−a⋅c=a⋅(b−c)=0，a⋅c−b⋅c=c⋅(a−b)=0，a⋅b−b⋅c=b⋅(a−c)=0，
即AB⋅DC=0，AC⋅DB=0，AD⋅CB=0，
故AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC．
【解析】(1)根据空间向量的加减法及数乘的运算可得；
(2)根据|EG|=|FH|=|KM|，及空间向量模的运算可得a⋅b=a⋅c=b⋅c，进而可证．
本题考查空间向量的运算知识，属于中档题．
16.【答案】解：(1)证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD
∴PA⊥BC．
∵底面ABCD为正方形，∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB．
∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE．
∵E为PB的中点，PA=AB，∴AE⊥PB．
又∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC．
因为PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC．
(2)解：作EF⊥AB于点F，
则F是AB的中点，EF//PA，且EF=12PA，EF⊥平面ABCD．
连接DF，则∠EDF是DE与底面ABCD所成角．
设PA=AB=a，在Rt△EFD中，EF=12a，FD= 52a，
∴DE与底面ABCD所成角的正切值为：
tan∠EDF=EFFD= 55．
(3)解：作FG⊥CD，垂足为G，则G为CD的中点，
连接EG，则CD⊥EG，所以∠EGF为所求二面角的平面角．
在Rt△EFG中，EF=12a，FG=a，∴tan∠EGF=EFFG=12，
∴二面角E−CD−A的平面角的正切值为12．
【解析】(1)推导出PA⊥BC，BC⊥AB，从而BC⊥平面PAB.BC⊥AE.AE⊥PB.从而AE⊥平面PBC.由此能证明AE⊥PC．
(2)作EF⊥AB于点F，连接DF，则∠EDF是DE与底面ABCD所成角．由此能求出DE与底面ABCD所成角的正切值．
(3)作FG⊥CD，垂足为G，则G为CD的中点，连接EG，则CD⊥EG，则∠EGF为所求二面角的平面角．由此能求出二面角E−CD−A的平面角的正切值．
本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正切值、二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得：(0.005+0.010+0.025+a+0.020)×10=1，
解得a=0.040，
则综合评分的平均数为x−=10×(55×0.005+65×0.010+75×0.025+85×0.040+95×0.020)=81；
(2)由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个，
一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E，
从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间Ω={ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE}，共10个样本点，
记事件A=“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”，则A={aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE}，共7个样本点，
所以所求的概率为P=710；
(3)z−=13×54+23×63=60，
s2=13[3+(54−60)2]+23[3+(63−60)2]=21．
【解析】(1)根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，求出a的值，再结合平均数的定义求解；
(2)利用古典概型的概率公式求解；
(3)利用分层随机抽样的均值和方差公式求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为b(2csA+sin2C)=csinBsinC+b，
所以利用正弦定理可得sinB(2csA+sin2C)=sinCsinBsinC+sinB，
又B为三角形内角，sinB>0，
所以2csA+sin2C=sinCsinC+1，可得csA=12，
因为A∈(0,π)，
所以A=π3；
(2)c= 3，△ABC为锐角三角形，A=π3；
可知AC∈( 32,2 3)，即b∈( 32,2 3).
DB=12CA+AB，
DB⋅AC=(12CA+AB)⋅AC=−12AC2+|AB|⋅|AC|csπ3=−12AC2+ 32|AC|=−12b2+ 32b，
即f(b)=−12b2+ 32b，
二次函数的开口向下，对称轴为b= 32，DB⋅AC的取值范围(f(2 3),f( 32))，
即(−3,38).
【解析】(1)利用正弦定理，转化求解A即可．
(2)求解AC的范围，结合向量的数量积，推出AC的表达式，然后求解范围即可．
本题考查三角形的中的几何计算，正弦定理以及向量的数量积的应用，是中档题．
19.【答案】解：(1)证明：设足球有m个正五边形，则有32−m个正六边形，
足球的顶点n=5m+6(32−m)3，棱数e=5m+6(32−m)2，
由欧拉公式得5m+6(32−m)3−5m+6(32−m)22+32=2，
解得m=12，即此足球中有12个面为正五边形，
所以此足球的棱数e=5m+6(32−m)2=90．
(2)由n个顶点的凸多面体，其面数尽可能多，那么相当于每一个面尽可能均为三角形，
当棱数最多时，该凸多面体每一个面均为三角形，此时e=3f2，即f=23e，
又n−e+f=2，即n−e+23e=2，解得e=3n−6，
故n个顶点的凸多面体，至多有3n−6条棱．
(3)设正多面体每个顶点有p条棱，每个面都是正q边形，
则此多面体棱数e=qf2=pn2,p,q≥3，即f=pnq，
由欧拉公式n−e+f=2，得n=4q2q+2p−qp，
所以2q+2p−qp>0，即1q+1p>12，即1p>12−1q≥12−13=16，
所以p<6，
当p=3时，q<6，所以q=3，4，5，n=4，8，20，e=6，12，30；
当p=4时，q<4，所以q=3，n=6，e=12；
当p=5时，q<103，所以q=3，n=12，e=30；
综上：棱数可能为6，12，30．
【解析】(1)设此足球有m个正五边形，分别得顶点与棱数，再利用欧拉公式解得m的值．
(2)当凸多面体每个面均为三角形时，棱数最多，此时棱数与面数有3e=2f关系．
(3)设正多面体每个顶点有p条棱，每个面都是正q边形，根据欧拉公式列出表达式，再由2q+2p−qp>0得不等式，分类取值即可．
本题主要考查归纳推理，属于中档题．
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