广东省佛山市禅城区荣山中学2023—-2024学年下学期七年级期中数学试卷

这是一份广东省佛山市禅城区荣山中学2023—-2024学年下学期七年级期中数学试卷，共16页。
1．（3分）下列四句话中的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的一句是（ ）
A．上海自来水来自海上B．有志者事竟成
C．清水池里池水清D．蜜蜂酿蜂蜜
2．（3分）随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.0000034m，用科学记数法表示0.0000034是（ ）
A．0.34×10﹣5B．3.4×106C．3.4×10﹣5D．3.4×10﹣6
3．（3分）如图，a，b，c三条直线两两相交，下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同位角B．∠2与∠4是内错角
C．∠3与∠4是对顶角D．∠1与∠3是同旁内角
4．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cmB．5cm，6cm，10cm
C．1cm，1cm，3cmD．3cm，4cm，9cm
5．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．x2•x5＝x10B．（﹣x2）4＝﹣x8
C．（﹣xy2）2＝xy4D．x5÷x3＝x2
6．（3分）要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（ ）
A．1根B．2根C．3根D．4根
7．（3分）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为（ ）
A．10°B．15°C．30°D．45°
8．（3分）折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支．按如图所示方法折纸，则下列说法不正确的是（ ）
A．∠1与∠3互余B．∠2＝90°
C．AE平分∠BEFD．∠1与∠AEC互补
9．（3分）观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．a（a+b）＝a2+abD．（a+b）2＝a2+2ab+b2
10．（3分）初二年级在小学段期间外出游学，同学们所乘的客车先在公路上匀速行驶，在服务区休息一段时间后，进入高速路继续匀速行驶．已知客车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（小时）的函数关系的图象如图所示，则客车在高速路上行驶的速度为（ ）
A．60千米/小时B．75千米/小时
C．80千米/小时D．90千米小时
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）如果一个角的补角是这个角的4倍，那么这个角为 度．
13．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF．要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件，这个条件可以是 ．
14．（3分）如图，点P在∠AOB的平分线上，过点P作PC⊥OA，交OA于点C，且PC＝5，D是OB上一动点，则PD的最小值为 ．
15．（3分）如图，点O为△ABC的重心，S△ABC＝12，则S△OBC＝ ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交BC于点E，连接AE，若BE＝1，则AB的长为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）如图，∠ABC＝40°，∠BAE＝140°，点D在线段BC上．
（1）请用无刻度的直尺和圆规在AE上找一点F，使∠FDC＝2∠ABC（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，求∠DFE的度数．
18．（4分）如图，某中学校园内有一块长为（x+2y）米，宽为（2x+y）米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场．
（1）用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简；
（2）当x＝2，y＝3时，求文化广场的面积．
19．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣2（x+3）（﹣3+x），其中x＝﹣2．
20．（6分）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，点E，F在AC上，且AE＝CF．求证：∠B＝∠D．
21．（8分）如图，已知线段a，求作以a为底边，以a为高的等腰三角形，这个等腰三角形有什么特征？
22．（10分）如图，△ABC中，D是BC边的中点，E是BC边上的一个动点，连接AE．设△ADE的面积是变量y，BE的长是变量x，小明对变量x和y之间的关系进行了探究，得到了以下的数据：
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）自变量和因变量分别是什么？
（2）a和b的值分别是多少？
（3）请用关系式法表示两个变量之间的关系．并且说一说△ADE的面积是怎样变化的？
23．（10分）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．
（1）请表示图①中阴影部分的面积；
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图②），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？
24．（12分）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以以AP为一边在AP右侧做等边三角形APP′，连接CP′，此时可证△ACP′≌△ABP，这样就可以将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题．
已知，如图②，点P为等边△ABC外一点，∠APC＝30°，BP＝，AP＝3，求PC长．
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠BAC＝30°，点D是AC上一点，线段BD绕点D顺时针旋转60°，点B的对应点为点E，当△ABE为直角三角形时，求△ABE面积．
25．（12分）综合与实践：
（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
①∠AEB的度数为 ；（直接写出）
②线段AD，BE之间的数量关系为 ．（直接写出）
（2）类比探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
①∠AEB的度数为 ；（直接写出）
②证明：线段CM，AE，BE之间的数量关系；（详细过程）
（3）拓展延伸；在（2）的条件下，若BE＝4，CM＝3，求四边形ABEC的面积．（详细过程）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：在A中，上海自来水来自海上，可将“水”理解为对称轴，对折后重合的字相同；
在B中，有志者事竟成，五字均不相同，所以不对称；
在C中，清水池里池水清，可将“里”理解为对称轴，对折后重合的字相同；
在D中，蜜蜂酿蜂蜜，可将“酿”理解为对称轴，对折后重合的字相同．
故选：B．
2． 解：用科学记数法表示0.0000034是3.4×10﹣6．
故选：D．
3． 解：A．∠1与∠2是直线a、直线b被直线c所截，所得到的同位角，因此选项A不符合题意；
B．∠2与∠4是直线a、直线c被直线b所截，所得到的同位角，因此选项B符合题意；
C．∠3与∠4是对顶角，因此选项C不符合题意；
D．∠1与∠3是直线b、直线c被直线a所截，所得到的同旁内角，因此选项D不符合题意；
故选：B．
4． 解：根据三角形的三边关系，知A、2+3＝5，不能组成三角形；
B、5+6＞10，能够组成三角形；
C、1+1＜3，不能组成三角形；
D、3+4＜9，不能组成三角形．
故选：B．
5． 解：A、x2•x5＝x7，故A不符合题意；
B、（﹣x2）4＝x8，故B不符合题意；
C、（﹣xy2）2＝x2y4，故C不符合题意；
D、x5÷x3＝x2，故D符合题意；
故选：D．
6． 解：根据三角形的稳定性可得，至少要再钉上1根木条，
故选：A．
7． 解：由题意得，∠ABC＝45°，∠EDF＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠FDB＝∠ABC＝45°，
∴∠EDB＝∠FDB﹣∠EDF＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
8． 解：根据折叠的性质可知，∠1＝∠AEB，∠3＝∠FEC，
∵∠1+∠AEB+∠3+∠FEC＝180°，
∴2（∠1+∠3）＝180°，
即∠1+∠3＝90°，故A不符合题意；
∴∠2＝90°，故B不符合题意，C符合题意；
∵∠1+∠AEC＝180°，
∴∠1与∠AEC互补，
故D不符合题意．
故选：C．
9． 解：由题意得：
图1的面积＝（a+b）（a﹣b），
图2的面积＝a2﹣b2，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：B．
10． 解：由题意可得，
客车在高速路上行驶的速度为：（300﹣60）÷（5﹣2）＝80（千米/小时），
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：
＝1+4
＝5，
故答案为：5．
12． 解：设这个角为x，则它的补角为180°﹣x，
根据题意，得180°﹣x＝4x，
解得x＝36°，
故这个角为36°．
13． 解：添加一个条件是：BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：BC＝EF（答案不唯一）．
14． 解：如图，作PD⊥OB交OB与点D，
∵垂线段最短，
∴当PD⊥OB时，PD最短，
∵OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，
∴PD＝PC，
∵PC＝5，
∴PD＝5，
即PD长度最小为5，
故答案为：5．
15． 解：如图，分别延长AO、BO、CO，交BC、AC、AB于点D、E、F，
∵O是△ABC的重心，
∴AD、BE、CF是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ABE＝S△ABC，
S△BOD＝S△AOE，
又∵S△AOE＝S△COE，
S△BOD＝S△COD，
∴S△AOC＝S△BOC，
同理可得S△BOC＝S△AOB，
∴S△AOB＝S△BOC＝S△AOC．
∴S△ABC＝3S△OBC，
∵S△ABC＝12，
∴S△OBC＝4，
故答案为：4．
16． 解：在矩形ABCD中，∠B＝90°，
根据作图过程可知：
MN是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴EA＝CE＝BC﹣BE＝2AB﹣BE＝2AB﹣1，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得
EA2＝AB2+BE2，
∴（2AB﹣1）2＝AB2+12，
解得AB＝（0舍去）．
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17． 解：（1）如图，先在BC的上方作∠CDM＝∠ABC，再作∠MDF＝∠ABC，交AE于点F，
则∠FDC＝2∠ABC，
则点F即为所求．
（2）由（1）可知，∠FDC＝2∠ABC＝80°．
∵∠ABC＝40°，∠BAE＝140°，
∴∠ABC+∠BAE＝180°，
∴AE∥BC，
∴∠DFE＝180°﹣∠FDC＝100°．
18． 解：（1）（2x+y）（x+2y）﹣2y2
＝2x2+4xy+xy+2y2﹣2y2
＝2x2+5xy；
（2）当x＝2，y＝3时，
2x2+5xy
＝2×22+5×2×3
＝8+30
＝38（平方米），
答：文化广场的面积为38平方米．
19． 解：（x﹣1）2﹣2（x+3）（﹣3+x）
＝x2﹣2x+1﹣2（x2﹣9）
＝x2﹣2x+1﹣2x2+18
＝﹣x2﹣2x+19，
当x＝﹣2时，原式＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+19＝19．
20． 证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠B＝∠D．
21． 解：如图，△ABC即为所求．
22． 解：（1）自变量是BE的长x，因变量是△ADE的面积y；
（2）∵x＝0时，y＝3；x＝3时，y＝0，
∴BD＝3，BC＝6，△ABC的高是2，
∴x＝1时，DE＝2，
∴a＝＝2，
当x＝4时，DE＝1，
∴b＝＝1；
（3）当0≤x≤3时，y＝3﹣x，
3≤x≤6时，y＝x﹣3；
当0≤x≤3时，y随x的增大而减小；
当3≤x≤6时，y随x的增大而增大．
23． 解：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2；
（2）图②的阴影部分为长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形，其面积为（a+b）（a﹣b）；
（3）由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
24． 解：（1）∵△APP'和△ABC都是等边三角形，
∴AB＝AC，AP＝AP'＝PP'＝1，∠BAC＝∠PAP'＝60°，
∴∠BAP＝∠CAP'，
∴△ABP≌△ACP'（SAS），
∴BP＝P'C＝，∠APB＝∠AP'C，
∵P'P2+P'C2＝1+2＝3，PC2＝3，
∴PP'2+P'C2＝PC2，
∴∠PP'C＝90°，
∴∠AP'C＝150°，
∴∠APB＝150°，
故答案为：150°；
（2）如图②，将△BCP绕点C顺时针旋转60度，得到△ACE，连接PE，AE，
∴BP＝AE＝，CP＝CE，∠PCE＝60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴PE＝PC，∠CPE＝60°，
∵∠APC＝30°，
∴∠APE＝90°，
∴PE＝＝＝2，
∴CP＝2；
（3）当点D与点A重合时，∵线段BD绕点D顺时针旋转60°，
∴DB＝BE，∠DBE＝60°，
∴△DBE是等边三角形，
∴∠EDB＝∠EBE＝60°，
∴∠BAE＜60°，∠ABE＜60°，
∵△ABE为直角三角形，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
如图③，延长BC至F，使CF＝BC，连接DF，AF，
∵AC⊥BC，CF＝BC，
∴AB＝AF，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴AB＝BF，
∵△DBE是等边三角形，
∴DB＝BE，∠DBE＝60°＝∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBF，
∴△ABE≌△FBD（SAS），
∴AE＝DF，∠AEB＝∠FDB＝90°，S△AEB＝S△BDF，
又∵BC＝CF＝2，
∴BC＝CF＝DC＝2，
∴S△AEB＝S△BDF＝×2×4＝4．
25． 解：（1）∠AEB＝60°，AD＝BE，理由如下：
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC＝∠BEC．AD＝BE，
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°．
∴∠BEC＝120°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．
（2）猜想：①∠AEB＝90°，②AE＝BE+2CM．理由如下：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°．
∴∠BEC＝135°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME．
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM．
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
故答案为：90°，AE＝BE+2CM；
（3）由（2）得：∠AEB＝90°，AD＝BE＝4，
∵△DCE均为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，
∴CM⊥AE，DE＝2CM＝6，
∴AE＝AD+DE＝4+6＝10，
∴四边形ABEC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积＝AE×CM+AE×BE＝×10×3+×10×4＝35；
故答案为：35．
x
0
1
2
3
4
5
6
y
3
a
1
0
b
2
3