广东省东莞市香市中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试卷

这是一份广东省东莞市香市中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试卷，共14页。
A．1.56×10﹣6B．1.56×10﹣5C．156×10﹣5D．1.56×106
2．（3分）下列各图中，∠1与∠2属于对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）计算正确的是（ ）
A．（m2）3＝m5B．（mn）2＝mn2C．m2•m3＝m5D．m6÷m2＝m3
4．（3分）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路MN旁有一村庄P，现要建一个汽车站，且有A，B，C，D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在（ ）
A．点A处B．点B处C．点C处D．点D处
5．（3分）多多从家步行到学校，离家的路程x（米）与步行时间t（分）的函数关系如图所示．若多多步行速度保持不变，则中途停留时间为（ ）
A．5分B．5.6分C．6分D．6.4分
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．6x3y÷2x＝3x2B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．（2x+y）（x﹣y）＝2x2﹣y2D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
7．（3分）周末，小明骑车从家出发去博物馆，途中突然发现钥匙不见了，于是原路折返，在刚才等红绿灯的路口找到了钥匙，便立即前往博物馆．小明从家出发到博物馆的过程中，离家距离y（m）与时间x（min）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小明家到博物馆的距离为2400m
B．小明等红绿灯的时间为6min
C．小明发现钥匙不见后，原路折返找钥匙的骑车速度是120m/min
D．小明从家出发到博物馆的过程中，离家距离y是自变量，时间x是因变量
8．（3分）若am＝6，an＝2，则am﹣n的值为（ ）
A．8B．4C．12D．3
9．（3分）下列图形阴影部分的面积能够直观地解释（x﹣1）2＝x2﹣2x+1的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，∠BAC＝90°，DE∥AC．则结论：①FG∥AD；②DE平分∠ADB；③∠B＝∠ADE；④∠CFG+∠BDE＝90°．正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）计算的结果为 ．
12．（3分）如图，点O在直线AB上，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝42°时，∠BOD的度数为 ．
13．（3分）某地海拔高度h（km）与温度T（℃）的关系可用T＝20﹣6h来表示，则该地区某海拔高度为2000m的山顶上的温度为 ．
14．（3分）如图，AB∥CD，AE，CD相交于点C．如果∠A＝34°，那么∠ECF的度数为 ．
15．（3分）如图，在大长方形ABCD中放入5张相同的小长方形（图中空白部分）．若大长方形的周长是48，图中阴影部分的面积是78，则一张小长方形的面积 ．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（5分）计算：（﹣1）3﹣|﹣3|+（π﹣2020）0+（）﹣2．
17．（5分）先化简，再求值：[4（x﹣1）2+（x﹣2）（x+2）]÷2x，其中x＝﹣2．
18．（6分）如图，已知AD∥BC，∠1+∠4＝180°，求证：∠1＝∠2．
19．（8分）【问题背景】
尽享春日好时光，张梅和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时张梅用所学过的知识来记录他们的行程．
【收集信息】
张梅从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图①．
【建立模型】
张梅通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图②所示的函数图象，观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后继续行驶到达终点．折线AB﹣BC﹣CD表示观光车到终点的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系．
【解决问题】
（1）请求出线段CD表示的函数表达式；
（2）请通过计算求观光车在景点甲停留的时间．
20．（8分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，四边形ABCD．
求作：点E，使CE∥AB，CE＝AB，且点E在四边形ABCD的内部．
21．（8分）已知有甲、乙两个长方形纸片，它们的边长如图中所示（m是正整数），面积分别为S甲和S乙．
（1）含m的代数式表示S甲＝ ，S乙＝ ；
（2）用“＜”、“＝”或“＞”号填空：S甲 S乙；
（3）若一个正方形纸片的周长与甲的周长相等，其面积设为S正小方同学发现“S正与S甲的差是定值”请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．
22．（10分）假期，甲乙两人沿同一条笔直的马路同时从同一小区出发到南京博物院参观，小区与南京博物院的路程是4千米，甲骑自行车，乙步行，当甲从原路回到小区时，乙刚好到达南京博物院，图中折线O﹣A﹣B﹣C和线段OD分别表示两人离小区的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
（1）甲在南京博物院参观的时间为 分钟，甲返回小区的速度为 千米/分钟；
（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两人之间的距离为y千米，请画出y（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数图象．
23．（12分）综合运用
已知A＝（x+2y）2﹣（x+y）（x﹣2y），B＝（x3y﹣+xy2﹣3xy3）÷xy．
（1）化简A和B；
（2）若变量y满足2x﹣A＝B﹣6，求出y与x之间的关系式；
（3）在（2）的条件下，求（x﹣y+2）2﹣x（x﹣2）（x+2）+x（xy﹣x﹣4）的值．
24．（13分）（1）如图1，AC∥BD，点P在AC与BD之间，过P作PE∥AC，探究∠A、∠APB、∠B之间的数量关系；
（2）如图2，变换点P的位置，∠A、∠APB、∠B之间的数量关系发生了怎样的变化；写出关系式，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的基础上，AQ平分∠PAC，BQ平分∠PBD，写出∠APB与∠Q之间的关系式，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：0.0000156用科学记数法表示为1.56×10﹣5，
故选：B．
2． 解：A．∠1与∠2不属于对顶角，故A选项不符合题意；
B．∠1与∠2不属于对顶角，故B选项符合题意；
C．∠1与∠2属于对顶角，故C选项不符合题意；
D．∠1与∠2不属于对顶角，故D选项不符合题意，
故选：C．
3． 解：A、（m2）3＝m6，故该项不正确，不符合题意；
B、（mn）2＝m2n2，故该项不正确，不符合题意；
C、m2•m3＝m5，故该项正确，符合题意；
D、m6÷m2＝m4，故该项不正确，不符合题意；
故选：C．
4． 解：建在点C处，根据垂线段最短，
故选：C．
5． 解：由题意得，多多步行速度为：600÷6＝100（米/分），
（1240﹣600）÷100＝6.4（分），
18﹣6﹣6.4＝5.6（分），
即中途停留时间为5.6分．
故选：B．
6． 解：A、6x3y÷2x＝3x2y，故A不符合题意；
B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故B不符合题意；
C、（2x+y）（x﹣y）＝2x2﹣2xy+xy﹣y2＝2x2﹣xy﹣y2，故C不符合题意；
D、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，故D符合题意；
故选：D．
7． 解：由题意可得：
A．小明家到博物馆的距离为2400m，说法正确，故本选项符合题意；
B．小明等红绿灯的时间为：6﹣5＝1（min），原说法错误，故本选项不符合题意；
C．小明发现钥匙不见后，原路折返找钥匙的骑车速度是：（1600﹣1000）÷（13﹣9）＝150（m/min），原说法错误，故本选项不符合题意；
D．小明从家出发到博物馆的过程中，离家距离y是因变量，时间x是自变量，原说法错误，故本选项不符合题意．
故选：A．
8． 解：∵am＝6，an＝2，
∴原式＝am÷an＝3，
故选：D．
9． 解：选项A中的阴影部分的面积可以用（x﹣1）2＝x2﹣2x+1来解释，
故选：A．
10． 解：∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴∠FGD＝∠ADB＝90°，
∴FG∥AD，
故①正确；
∵DE∥AC，∠BAC＝90°，
∴DE⊥AB，
不能证明DE为∠ADB的平分线，
故②错误；
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BAD+∠ADE＝90°，
∴∠B＝∠ADE，
故③正确；
∵∠BAC＝90°，DE⊥AB，
∴∠CFG+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∠C+∠B＝90°，
∴∠CFG+∠BDE＝90°，
故④正确，
综上所述，正确的选项①③④，
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：
＝•2x﹣×6
＝x2﹣3x．
12． 解：∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∵∠AOC＝42°，∠AOC+∠COD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝180°﹣90°﹣42°＝48°．
故答案为：48°．
13． 解：2000米＝2千米，
T＝20﹣6h＝20﹣6×2＝8（℃）．
故答案为：8°C．
14． 解：∵AB∥CD，∠A＝34°，
∴∠ECD＝34°，
∴∠ECF＝180°﹣34°＝146°，
故答案为：146°．
15． 解：设小长方形的长为x，宽为y，
依题意得：，
整理得：，
由（①2﹣②）÷2得：xy＝，
∴一张小长方形的面积为．
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16． 解：原式＝﹣1﹣3+1+4＝1．
17． 解：[4（x﹣1）2+（x﹣2）（x+2）]÷2x
＝（4x2﹣8x+4+x2﹣4）÷2x
＝（5x2﹣8x）÷2x
＝x﹣4，
当x＝﹣2时，
原式＝×（﹣2）﹣4＝﹣5﹣4＝﹣9．
18． 证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1+∠4＝180°，
∴∠3+∠4＝180°
∴BE∥DF，
∴∠3＝∠2
∴∠1＝∠2．
19． 解：（1）设线段CD表示的函数表达式为y＝kx+b，
把（3，24），（4.5，0）分别代入，得：
，
解得：，
∴线段CD表示的函数表达式为y＝﹣16x+72．
（2）由图可得，当y＝40时，﹣16x+72＝40，
解得x＝2，
∴2﹣1＝1（小时），
∴观光车在景点甲停留了1小时．
20． 解：如图，连接AC，在AC的右侧作∠ACF＝∠BAC，再以点C为圆心，AB的长为半径画弧，交CF于点E，
则点E即为所求．
21． 解：（1）根据长方形面积公式可得：
S甲＝（m+1）（m+7）＝m2+8m+7，
S乙＝（m+2）（m+4）＝m2+6m+8，
故答案为：m2+8m+7，m2+6m+8；
（2）由（1）可得：
S甲﹣S乙＝m2+8m+7﹣（m2+6m+8）＝2m﹣1，
∵m是正整数，即m≥1，
∴2m≥2，2m﹣1＞0，
∴S甲﹣S乙＞0，即S甲＞S乙，
故答案为＞；
（3）小方同学的发现正确，理由如下：
由题意可得：
S正＝[2（m+1+m+7）÷4]2
＝（m+4）2
＝m2+8m+16，
∴S正﹣S甲＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣7＝9，为定值．
22． 解：（1）由题意，得甲在南京博物院参观的时间为20分钟，甲返回小区的速度为4÷（60﹣40）＝0.2（千米/分钟），
故答案为：20，0.2．
（2）设直线OD的函数表达式为s＝kt．
∵D（60，4），
∴60k＝4，
解得．
∴直线OD的函数表达式为，
当甲从图书馆返回时：设直线BC的函数表达式为s＝k1t+b．
∵B（40，4），C（60，0），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为．
∴，
解得t＝45．
当t＝45时，．
∴P（45，3）．
答：P的坐标为（45，3），实际意义为当经过的时间为45分钟时，甲乙两人相遇，此时距离小区的路程为3千米．
（3）如图，
即为y（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数图象．
23． 解：（1）A＝（x+2y）2﹣（x+y）（x﹣2y）
＝x2+4xy+4y2﹣（x2﹣xy﹣2y2）
＝x2+4xy+4y2﹣x2+xy+2y2
＝5xy+6y2，
B＝（x3y﹣+xy2﹣3xy3）÷xy
＝2x2﹣5xy+2y﹣6y2．
（2）∵2x﹣A＝B﹣6，
∴2x﹣5xy﹣6y2＝2x2﹣5xy+2y﹣6y2﹣6，
∴y＝﹣x2+x+3．
（3）（x﹣y+2）2﹣x（x﹣2）（x+2）+x（xy﹣x﹣4）
＝x2+y2+4﹣2xy+4x﹣4y﹣x（x2﹣4）+x2y﹣x2﹣4x
＝x2+y2+4﹣2xy+4x﹣4y﹣x3+4x+x2y﹣x2﹣4x
＝﹣x3+x2y﹣2xy+4x+y2﹣4y+4．
把y＝﹣x2+x+3代入上式得，
原式＝﹣x3+x2（﹣x2+x+3）﹣2x（﹣x2+x+3）+4x+（﹣x2+x+3）2﹣4（﹣x2+x+3）+4
＝﹣x3﹣x4+x3+3x2+2x3﹣2x2﹣6x+4x+x4+x2+9﹣2x3﹣6x2+6x+4x2﹣4x﹣12+4
＝9﹣12+4
＝1．
24． 解：（1）∵PE∥AC，
∴∠A+∠APE＝180°，
∴PE∥BD，
∴∠B+∠BPE＝180°，
∴∠A+∠B+∠APE+∠BPE＝360°，
即∠A+∠B+∠APB＝360°；
（2）∠A+∠B＝∠APB．理由如下：
如图，过P作PF∥AC，
∵PF∥AC，
∴∠A＝∠APF，
∴PF∥BD，
∴∠B＝∠BPF，
∴∠A+∠B＝∠APF+∠BPF，
即∠A+∠B＝∠APB；
（3）∠APB＝2∠Q．理由如下：
过Q作QG∥AC，如图，
∵QG∥AC，
∴∠CAQ＝∠AQG，
∵QG∥AC，AC∥BD，
∴QG∥BD，
∴∠DBQ＝∠BQG，
∴∠CAQ+∠DBQ＝∠AQG+∠BQG，
即∠CAQ+∠DBQ＝∠AQB，
∵AQ平分∠PAC，BQ平分∠PBD，
∴，，
∴，
由（2）得∠PAC+∠PBD＝∠APB，
∴∠APB＝2∠Q．