2024-2025学年辽宁省沈阳市沈河区第八十二中学九上数学开学统考试题【含答案】

这是一份2024-2025学年辽宁省沈阳市沈河区第八十二中学九上数学开学统考试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，得到的抛物线的解析式是( )．
A．B．C．D．
2、（4分）当1＜a＜2时，代数式＋|1－a|的值是( )
A．－1B．1C．2a－3D．3－2a
3、（4分）已知x=，y=，则x2+xy+y2的值为（ ）
A．2B．4C．5D．7
4、（4分）若一个多边形的内角和小于其外角和,则这个多边形的边数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
5、（4分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来100元降到81元.设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）某商场要招聘电脑收银员，应聘者需通过计算机、语言和商品知识三项测试，小明的三项成绩（百分制）依次是70分，50分，80分，其中计算算机成绩占50%，语言成绩占30%，商品知识成绩占20%．则小明的最终成绩是（ ）
A．66分B．68分C．70分D．80分
7、（4分）如图，四边形的对角线与相交于点，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8、（4分）下列式子中一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝4，BD＝7，CD＝3，则△ABO周长是__．
10、（4分）直线y=kx+b与直线y=-3x+4平行，且经过点（1，2），则k=______，b=______．
11、（4分）如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是对角线上的动点，连接，，则的最小值______．
12、（4分）长方形的长是宽的2倍，对角线长是5cm，则这个长方形的长是______．
13、（4分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分） “立定跳远”是我市初中毕业生体育测试项目之一．测试时，记录下学生立定跳远的成绩，然后按照评分标准转化为相应的分数，满分10分．其中男生立定跳远的评分标准如下：注：成绩栏里的每个范围，含最低值，不含最高值．
某校九年级有480名男生参加立定跳远测试，现从中随机抽取10名男生测试成绩（单位：分）如下：
1.96 2.38 2.56 2.04 2.34 2.17 2.60 2.26 1.87 2.32
请完成下列问题：
（1）求这10名男生立定跳远成绩的极差和平均数；
（2）求这10名男生立定跳远得分的中位数和众数；
（3）如果将9分（含9分）以上定为“优秀”，请你估计这480名男生中得优秀的人数．
15、（8分）把厚度相同的字典整齐地叠放在桌面上，已知字典顶端离地高度与字典本数成一次函数，根据图中所示的信息：
（1）若设有x本字典叠成一摞放在这张桌面上，字典的离地高度为y（cm）， 求y与x的关系式；
（2）每本字典的厚度为多少？
16、（8分）如图，在中，点是边的中点，设
（1）试用向量表示向量，则 ；
（2）在图中求作:.
（保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果）
17、（10分）如图，在平行四边形中，分别为边长的中点，连结．若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论．
18、（10分）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接．
（1）证明：；
（2）当点在何处时，的值最小，并说明理由；
（3）当的最小值为时，则正方形的边长为___________．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为______cm．
20、（4分）如图,在直角坐标系中,菱形ABCD的顶点坐标C(-1,0)、B(0,2)、D(n,2),点A在第二象限.直线y=-x+5与x轴、y轴分别交于点N、M.将菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位.当点A落在MN上时，则m+n= ________
21、（4分）如图，菱形ABCD的边长为2，点E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF＝BD＝2，设△BEF的面积为S，则S的取值范围是______．
22、（4分）计算：________________．
23、（4分）若关于有增根，则_____；
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF，点M、N在BA、DC延长线上，AM＝CN，连接ME、NF．试判断线段ME与NF的关系，并说明理由．
25、（10分）已知，在菱形ABCD中，G是射线BC上的一动点（不与点B，C重合），连接AG，点E、F是AG上两点，连接DE，BF，且知∠ABF=∠AGB，∠AED=∠ABC．
（1）若点G在边BC上，如图1，则：
①△ADE与△BAF______；（填“全等”或“不全等”或“不一定全等”）
②线段DE、BF、EF之间的数量关系是______；
（2）若点G在边BC的延长线上，如图2，那么上面（1）②探究的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明这三条线段之间又怎样的数量关系，并给出你的证明．
26、（12分）某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元．
设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为正整数）．
（I）根据题意，填写下表：
（Ⅱ）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？
（Ⅲ）当x>20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
试题解析：将抛物线向右平移2个单位，
得到的抛物线的解析式是
故选B.
点睛：二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减.
2、B
【解析】
解：∵1＜a＜2，
∴=|a-2|=-（a-2），
|1-a|=a-1，
∴+|1-a|=-（a-2）+（a-1）=2-1=1．
故选B．
3、B
【解析】
试题分析：根据二次根式的运算法则进行运算即可．
试题解析：
.
故应选B
考点：1.二次根式的混合运算；2.求代数式的值．
4、A
【解析】
试题分析：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和等于它的外角和，则内角和是360度，
∴这个多边形是四边形．
故选B．
考点：多边形内角与外角．
5、D
【解析】
此题利用基本数量关系：商品原价×（1-平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可．
【详解】
由题意可列方程是：.
故选：D.
此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于列出方程
6、A
【解析】
根据加权平均数的定义列式计算可得．
【详解】
解：小明最终的成绩是70×50%+50×30%+80×20%=66（分），
故选：A．
本题考查了加权平均数的计算，加权平均数：（其中w1、w2、……、wn分别为x1、x2、……、xn的权）． 数据的权能反映数据的相对“重要程度”，对于同样的一组数据，若权重不同，则加权平均数很可能是不同的．
7、C
【解析】
利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可．
【详解】
：A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、AB∥DC，AB=DC可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
C. ，不能判断四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
D. ，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意.
故选C.
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．
8、A
【解析】
一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，据此进行判断即可．
【详解】
A. ，是二次根式；
B. 中，根指数为3，故不是二次根式；
C. 中，-2＜0，故不是二次根式；
D. 中，x不一定是非负数，故不是二次根式；
故选A．
本题主要考查了二次根式的定义，解决问题的关键是理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、8.1．
【解析】
直接利用平行四边形的性质得出AO＝CO＝2，BO＝DO＝，DC＝AB＝3，进而得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD＝3，
∵AC＝4，BD＝7，
∴AO＝2，OB＝，
∴△ABO的周长＝AO+OB+AB＝2++3＝8.1．
故答案为：8.1．
此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形周长的计算，正确得出AO+BO的值是解题关键．
10、-3， 1
【解析】
根据两直线平行，得到k=-3，然后把(1，2)代入y=-3x+b中，可计算出b的值．
【详解】
∵直线y=kx+b与直线y=-3x+4平行，
∴k=-3，
∵直线y=-3x+b过点(1，2)，
∴1×(-3)+b=2，
∴b=1．
故答案为:-3；1．
本题主要考查两平行直线的函数解析式的比例系数关系，掌握若两条直线是平行的关系，那么它们的函数解析式的自变量系数相同，是解题的关键．
11、
【解析】
根据在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点,据此可以作对称点，找到最小值．
【详解】
解：连接AE．
∵四边形ABCD为菱形，
∴点C、A关于BD对称，
∴PC=AP，
∴PC+EP=AP+PE，
∴当P在AE与BD的交点时，
AP+PE最小，
∵E是BC边的中点，
∴BE=1，
∵AB=2，B=60°，
∴AE⊥BC，
此时AE最小，为，
最小值为.
本题考查了线段之和的最小值，熟练运用菱形的性质是解题的关键．
12、
【解析】
设矩形的宽是a，则长是2a，再根据勾股定理求出a的值即可．
【详解】
解：设矩形的宽是a，则长是2a，
对角线的长是5cm，
，
解得，
这个矩形的长，
故答案是：．
考查的是矩形的性质，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
13、1
【解析】
根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，以及中点的定义可得DE=AF=AC，EF=AD=AB，再根据四边形的周长的定义计算即可得解.
【详解】
解：∵在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴DE=AF=AC=2.5，EF=AD=AB=1.5，
∴四边形ADEF的周长是(2.5+1.5)×2=1．
故答案为：1．
本题考查了三角形中位线定理，中点的定义以及四边形周长的定义．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）0.73，2.25；（2）2，10；（3）1．
【解析】
（1）根据极差、平均数的定义求解；
（2）对照表格得到10名男生立定跳远得分，然后根据中位线、众数的概念解答；
（3）用样本根据总体．
【详解】
解：（1）10名男生“立定跳远”成绩的极差是：2.60-1.87=0.73（米）
10名男生“立定跳远”成绩的平均数是：
（1.26+2.38+2.56+2.04+2.34+2.17+2.60+2.26+1.87+2.32）=2.25（米）；
（2）抽查的10名男生的立定跳远得分依次是：
7，10，10，8，10，8，10，2，6，2．
∴10名男生立定跳远得分的中位数是2分，众数是10分；
（3）∵抽查的10名男生中得分2分（含2分）以上有6人，
∴有480×=1；
∴估计该校480名男生中得到优秀的人数是1人．
本题考查了极差，平均数，中位线，众数的概念，极差是一组数据中最大的数与最小的数的差．众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．平均数、众数及中位数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，但描述的角度和适用范围有所不同．
15、（1）y=5x+85，（2）5cm.
【解析】
分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）每本字典的厚度==5（cm）．
详（1）解：根据题意知y与x之间是一次函数关系，故设y与x之间的关系的关系式为y=kx+b则
，
解得：k=5，b=85
∴关系式为y=5x+85，
（2）每本字典的厚度==5（cm）．
点睛：本题考查一次函数的应用、解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题．
16、 (1) ;(2)图见解析.
【解析】
（1）利用平行四边形的性质，三角形法则即可解决问题．
（2）根据三角形法则解决问题即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∵，，.
∴；
（2）如图：
，，
向量，向量即为所求．
本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17、四边形是菱形，证明详见解析
【解析】
根据平行四边形性质得出DC=AB，DC//AB，推出BE=DF，得出平行四边形BFDE，根据直角三角形斜边上中线得出DE=BE，根据菱形的判定推出即可．
【详解】
解：四边形是菱形．
证明：∵四边形是平行四边形，
；
∵点是的中点，；
，
∴四边形是平行四边形；
又；
∴平行四边形是菱形．
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形斜边上中线等知识点的应用，关键是证出DE=BE和推出平行四边形BEDF．
18、（1）见解析；（2）当点位于与的交点处时，的值最小，理由见解析；（3）．
【解析】
(1) 由题意得MB=NB，∠ABN=15°， 所以∠EBN=45°， 容易证出△AMB≌△ENB；
(2)根据"两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长；
(3)过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF=30°， 设正方形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾股定理求得正方形的边长为.
【详解】
解：（1）∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，即．
又∵，
∴；
（2）如图，连接，当点位于与的交点处时，的值最小．
理由如下：
连接，
由（1）知，，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
∴根据“两点之间线段最短”，得最短．
当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长．
（3）正方形的边长为边．
过点作交的延长线于，
∴．
设正方形的边长为，则，．
在中，
∵，
∴，
解得，（舍去负值）．
∴正方形的边长为．
此题是四边形的综合题，考查里正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，最短路径问题，解题中注意综合各知识点.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1．
【解析】
试题分析：设这块铁片的宽为xcm，则铁片的长为2xcm，由题意，得3（2x﹣6）（x﹣6）=240，解得x1=1，x2=﹣2（不合题意，舍去），答：这块铁片的宽为1cm．
故答案为1．
考点： 一元二次方程的应用．
20、1.
【解析】
根据菱形的对角线互相垂直平分表示出点A、点D的坐标，再根据直线解析式求出点A移动到MN上时的x的值，从而得到m的取值，由此即可求得答案.
【详解】
∵菱形ABCD的顶点C(-1，0)，点B(0，2)，
∴点A的坐标为(-1，4)，点D坐标为(-2，2)，
∵D(n，2)，
∴n=-2，
当y=4时，-x+5=4，
解得x=2，
∴点A向右移动2+1=3时，点A在MN上，
∴m的值为3，
∴m+n=1，
故答案为：1．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，坐标与图形变化-平移，正确把握菱形的性质、一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键.
21、≤S≤．
【解析】
先证明△BDE≌△BCF，再求出△BEF为正三角形即可解答.
【详解】
解：∵菱形ABCD的边长为2，BD＝2，
∴△ABD和△BCD都为正三角形，
∴∠BDE＝∠BCF＝60°，BD＝BC，
∵AE+DE＝AD＝2，而AE+CF＝2，
∴DE＝CF，
∴△BDE≌△BCF(SAS)；
∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF，
∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°，
∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°，
∴△BEF为正三角形；
设BE＝BF＝EF＝x，
则S＝•x•x•sin60°＝x2，
当BE⊥AD时，x最小＝2×sin60°＝，
∴S最小＝×()2＝，
当BE与AB重合时，x最大＝2，
∴S最大＝×22＝，
∴≤S≤．
故答案为：≤S≤．
本题考查三角形全等和几何的综合运用，找出表示面积的方法是解题关键.
22、
【解析】
二次根式相乘时，根号不变，直接把根号里面的数相乘，最后化简.二次根式相加减时，只有同类的二次根式才能相加减，根号部分不变，把整数部分相加减.
【详解】
原式=
故答案为
本题考察了二次根式的乘法和减法，这里需要注意的是，无论加减乘除，最后都要化为最简二次根式.
23、1
【解析】
方程两边都乘以最简公分母（x –1），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出a的值．
【详解】
解：方程两边都乘（x﹣1），得
1－ax+3x=3x﹣3，
∵原方程有增根
∴最简公分母x﹣1=0，即增根为x=1，
把x=1代入整式方程，得a=1．
此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．方程的增根不适合原方程，但适合去分母后的整式方程，这是求字母系数的重要思想方法．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、ME＝NF且ME∥NF，理由见解析
【解析】
利用SAS证得△BME≌△DNF后即可证得结论．
【详解】
证明：ME＝NF且ME∥NF．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EBM＝∠FDN，AB＝CD，
∵AM＝CN，
∴MB＝ND，
∵BE＝DF，
∴BF＝DE，
∵在△BME和△DNF中
，
∴△BME≌△DNF（SAS），
∴ME＝NF，∠MEB＝∠NFD，
∴∠MEF＝∠BFN．
∴ME∥NF．
∴ME＝NF且ME∥NF．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
25、（1）①全等；②DE=BF+EF；（2）DE=BF-EF，见解析
【解析】
(1)①根据菱形的性质得到AB=AD，AD∥BC，由平行线的性质得到∠BGA=∠DAE，等量代换得到∠BAF=∠ADE，求得∠ABF=∠DAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
②根据全等三角形的性质得到AE=BF，DE=AF，根据线段的和差即可得到结论．
(2)与(1)同理证△ABF≌△DAE得AE=BF，DE=AF，由AF=AE-EF=BF-EF可得答案．
【详解】
(1)①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AD∥BC，
∴∠BGA=∠DAE，
∵∠ABC=∠AED，
∴∠BAF=180-∠ABC -∠BGA =180-∠AED -∠DAE =∠ADE，
∵∠ABF=∠BGF，∠BGA=∠DAE，
∴∠ABF=∠DAE，
∵AB=DA，
∴△ABF≌△DAE(ASA)；
②∵△ABF≌△DAE，
∴AE=BF，DE=AF，
∵AF=AE+EF=BF+EF，
∴DE=BF+EF．
故答案为：全等，DE=BF+EF；
(2)DE=BF-EF，
如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AD∥BC，
∴∠BGA=∠DAE，
∵∠ABC=∠AED，
∴∠BAF=180-∠ABC -∠BGA =180-∠AED -∠DAE =∠ADE，
∵∠ABF=∠BGF，∠BGA=∠DAE，
∴∠ABF=∠DAE，
∵AB=DA，
∴△ABF≌△DAE(ASA)；
∴AE=BF，DE=AF，
∵AF=AE-EF=BF-EF，
则DE=BF-EF
本题是四边形的综合问题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
26、（I）200，100+5x，180，9x；（II）选择方式一付费方式，他游泳的次数比较多（III）当20