2024-2025学年山东省莱芜市数学九上开学考试试题【含答案】

这是一份2024-2025学年山东省莱芜市数学九上开学考试试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．，，D．
2、（4分）已知，则的值为( )
A．B．-2C．D．2
3、（4分）若分式的值为零，则（）
A．B．C．D．
4、（4分）下列各式成立的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）不等式组的整数解有三个，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0B．﹣1＜a≤0C．﹣1≤a≤0D．﹣1＜a＜0
6、（4分）一次函数与的图像在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7、（4分）反比例函数y＝在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是( )
A．1B．2C．3D．4
8、（4分）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．B．且C．x＜2且D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若多项式，则=_______________．
10、（4分）方程的解是 ．
11、（4分）如图，在平面直角坐标系中，点，射线轴，直线交线段于点，交轴于点，是射线上一点．若存在点，使得恰为等腰直角三角形，则的值为_______.
12、（4分）如图，中，是延长线上一点，，连接交于点，若平分，，则________．
13、（4分）如图，在中，，点、、分别为、、的中点，若，则_________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）解方程：
(1)9x2＝(x﹣1)2
(2)x2﹣2x﹣＝0
15、（8分）解下列一元二次方程
（1）
（2）
16、（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点.
（1）求，的值；
（2）根据图象判断，当不等式成立时，的取值范围是什么？
17、（10分）张老师打算在小明和小白两位同学之间选一位同学参加数学竞赛，他收集了小明、小白近期10次数学考试成绩，并绘制了折线统计图(如图所示)
(1)根据折线统计图，张老师绘制了不完整的统计表，请你补充完整统计表；
(2)你认为张老师会选择哪位同学参加比赛？并说明你的理由
18、（10分）如图，反比例函数 y＝的图象与一次函数y＝mx＋b的图象交于两点A（1,3）,B（n,－1）．
（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；
（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）连接AO、BO，求△ABO的面积；
（4）在y轴上存在点P，使△AOP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）关于的方程有实数根,则的取值范围是_________.
20、（4分）已知：函数，，若，则__________(填“”或“”或 “”)．
21、（4分）如图，函数y=ax+4和y=bx的图象相交于点A，则不等式bx≥ax+4的解集为_____．
22、（4分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，若平分，则的面积为________.
23、（4分）已知菱形一内角为，且平分这个内角的一条对角线长为8，则该菱形的边长__________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN＝90°，CM＝MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．
（1） ①依题意补全图形；②求证：BE⊥AC．
（2）设AB＝1，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为 （直接写出答案）．
25、（10分）甲、乙两位运动员在相同条件下各射靶10次，毎次射靶的成绩情况如图.
(1)请填写下表:
(2)请你从平均数和方差相结合对甲、乙两名运动员6次射靶成绩进行分析:
(3)教练根据两人的成绩最后选择乙去参加比赛，你能不能说出教练让乙去比赛的理由?(至少说出两条理由)
26、（12分）矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、AB上，且DE=BF，∠ECA=∠FCA．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB=8，BC=4，求菱形AFCE的面积．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据三角形内角和定理以及直角三角形的性质即可求出答案．
【详解】
A. ∵，,∴∠C=90°, ∴是直角三角形，故能确定；
B. ，,∴∠C=90°, ∴是直角三角形，故能确定；
C. ∵， ∴是直角三角形，故能确定；
D.设a=1，b=2，c=2，
∵12+22≠22，∴△ABC不是直角三角形，故D不能判断.
故选：D．
本题考查了三角形的内角和，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练运用三角形的性质，本题属于基础题型．
2、C
【解析】
首先根据x的范围确定x−3与x−2的符号，然后即可化简二次根式，然后合并同类项即可．
【详解】
∵，
∴x−3＜0，x−2＜0，
∴＝3−x＋（2−x）＝5−2x．
故选：C．
本题主要考查了二次根式的化简，化简时要注意二次根式的性质：＝|a|．
3、D
【解析】
分式的值为零：分子为零，且分母不为零．
【详解】
解：根据题意，得
x+3＝1，x﹣2≠1，
解得，x＝﹣3，x≠2；
故选：D．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为1；（2）分母不为1．这两个条件缺一不可．
4、D
【解析】
直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：D．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
5、B
【解析】
根据不等式组的整数解有三个，确定出a的范围即可．
【详解】
∵不等式组的整数解有三个，
∴这三个整数解为2、1、0，
则﹣1＜a≤0，
故选：B．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是解本题的关键．
6、D
【解析】
按照当k、b为正数或负数逐次选择即可．
【详解】
解：当k＞0，b＞0时，过一二三象限，也过一二三象限，各选项都不符合；
当k＜0，b＜0时，过二三四象限，也过二三四象限，各选项都不符合；
当k＞0，b＜0，过一三四象限，过一二四象限，图中D符合条件，
故选：D．
本题考查的是一次函数的图象，解题的关键是熟知k、b在图象上代表的意义．
7、C
【解析】
如图，当x=2时，y=，
∵1＜y＜2，
∴1＜＜2，
解得2＜k＜4，
所以k=1．
故选C．
8、B
【解析】
由已知得：且，
解得：且．
故选B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、-1
【解析】
利用多项式乘法去括号，根据对应项的系数相等即可求解．
【详解】
∵
∴，
故答案为：-1．
本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算，并且考查了代数式相等的条件：对应项的系数相等．
10、
【解析】
解：，．
11、3或6
【解析】
先表示出A、B坐标，分①当∠ABD=90°时，②当∠ADB=90°时，③当∠DAB=90°时，建立等式解出b即可.
【详解】
解：①当∠ABD=90°时，如图1，则∠DBC+∠ABO=90°，,
∴∠DBC=∠BAO，
由直线交线段OC于点B，交x轴于点A可知OB=b，OA=b，
∵点C（0，6），
∴OC=6，
∴BC=6-b，
在△DBC和△BAO中，
∴△DBC≌△BAO（AAS），
∴BC=OA，
即6-b=b，
∴b=3；
②当∠ADB=90°时，如图2，作AF⊥CE于F，
同理证得△BDC≌△DAF，
∴CD=AF=6，BC=DF，
∵OB=b，OA=b，
∴BC=DF=b-6，
∵BC=6-b，
∴6-b=b-6，
∴b=6；
③当∠DAB=90°时，如图3，
作DF⊥OA于F，
同理证得△AOB≌△DFA，
∴OA=DF，
∴b=6；
综上，b的值为3或6，
故答案为3或6.
本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，作辅助线构建求得三角形上解题的关键．
12、1
【解析】
平行四边形的对边平行，AD∥BC，AB=AE，所以BC=2AF，根据CF平分∠BCD，可证明AE=AF，从而可求出结果．
【详解】
解：∵CF平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠DFC，
∴∠BCE=∠EFA，
∵BE∥CD，
∴∠E=∠DCF，
∴∠E=∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠EFA，
∴∠E=∠EFA，
∴AE=AF=AB=5，
∵AB=AE，AF∥BC，
∴△AEF∽△BEC，
∴，
∴BC=2AF=1．
故答案为：1．
本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，平行四边形的对边平行，以等腰三角形的判定和性质．
13、1
【解析】
根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理求出EF．
【详解】
解：∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴AB＝2CD＝16，
∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF＝AB＝1，
故答案为：1．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1），；（2），．
【解析】
（1）利用因式分解法即可解答
（2）先将分数化为整数，再利用判别式进行计算即可
【详解】
（1）
，
则，
故，
解得：，；
（2）
则，
△，
则，
解得：，．
此题考查解一元二次方程-因式分解法和判别式，掌握运算法则是解题关键
15、（1），；（2），.
【解析】
（1）将方程左边因式分解，继而求解可得；
（2）运用配方法求解即可.
【详解】
（1）∵（x+3）（x+7）=0，
∴x+3=0或x+7=0，
解得：，；
（2）
，
，
∴
∴ .
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
16、（1）， ;（2）或.
【解析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象写出反比例函数图象在一次函数的图象上方的x的取值范围即可．
【详解】
解：（1）把A（1，1）代入中，得到m＝1，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把B（n，1）代入y＝中，得到n＝1；
（2）∵A（1，1），B（1，1），
观察图象可知：不等式成立时，x的取值范围是0＜x≤1或x≥1．
本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会利用图象法解决取值范围问题，属于中考常考题型．
17、 (1)90,90,100;85,145;(2) 选择小明同学,理由见解析.
【解析】
（1）先根据折线统计图得出两人的成绩，再根据众数、中位数、平均数和方差的定义计算可得；
（2）根据众数、中位数、平均数和方差的意义解答，合理即可得．
【详解】
.解：（1）小明同学的成绩为：70、70、80、80、90、90、90、90、90、100，
所以小明成绩的众数为90、中位数为90、最高分为100；
小白同学的成绩为：70、70、70、80、80、90、90、100、100、100，
所以小白同学成绩的平均数为 ＝85，
则方差为×[3×（70﹣85）2+2×（80﹣85）2+2×（90﹣85）2+3×（100﹣85）2]＝145，
补全表格如下：
（2）选择小明同学，
∵小明、小白的平均成绩相同，而小明成绩的方差较小，发挥比较稳定，
∴选择小明同学参加比赛．
此题主要考查了方差的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
18、（1）y=，y=x+2；（2）-1＜x＜0或x＞1；（1）3；（3）P（0，- ）或P（0，）或P（0，6）或P（0，）．
【解析】
（1）利用待定系数法求得一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，当自变量取相同的值时，函数图象对应的点在上边的函数值大，据此即可确定；
（1）设一次函数交y轴于D，根据S△ABO=S△DBO+S△DAO即可求解；
（3）求得OA的长度，分O是顶角的顶点，和A是顶角顶点，以及OA是底边三种情况进行讨论即可求解．
【详解】
解：（1）∵A（1，1）在反比例函数图象上，∴k=1，
∵B（n,－1）在y=的图象上，
∴n=-1．
∵A（1，1），B（-1，-1）在一次函数y＝mx＋b图象上，
∴，
解得m=1，b=2．
∴两函数关系式分别是：y=和y=x+2．
（2）由图象得：当-1＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（1）设一次函数y=x+2交y轴于D，则D（0，2），则OD=2，
∵A（1，1），B（-1，-1）
∴S△DBO=×1×2=1，S△DAO=×1×2=1
∴S△ABO=S△DBO+S△DAO=3．
（3）OA= = ，
O是△AOP顶角的顶点时，OP=OA，则P（0，- ）或P（0，），
A是△AOP顶角的顶点时，由图象得， P（0，6），
OA是底边，P是△AOP顶角的顶点时，
设 P（0，x），分别过A、P作AN⊥x轴于N，PM⊥AN于M，
则AP=OP=x，PM=1，AM=1-x,
在Rt△APM中， 即
解得x= ，
∴P（0，）．
故答案为：（1）y=，y=x+2；（2）-1＜x＜0或x＞1；（1）3；（3）P（0，- ）或P（0，）或P（0，6）或P（0，）．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同时在求解面积时，要巧妙地利用分割法，将面积分解为两部分之和．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、k≤2
【解析】
当k-1=0时，解一元一次方程可得出方程有解；当k-1≠0时，利用根的判别式△=16-2k≥0，即可求出k的取值范围．综上即可得出结论．
【详解】
当k-1=0，即k=1时，方程为2x+1=0，
解得x=-，符合题意；
②当k-1≠0，即k≠1时，△=22-2（k-1）=16-2k≥0，
解得：k≤2且k≠1．
综上即可得出k的取值范围为k≤2．
故答案为k≤2．
本题考查了根的判别式，分二次项系数为零和非零两种情况考虑是解题的关键．
20、＜
【解析】
联立方程组，求出方程组的解，根据方程组的解以及函数的图象进行判断即可得解.
【详解】
根据题意联立方程组得，
解得，，
画函数图象得，
所以，当，则＜.
故答案为：＜.
本题考查了一次函数图象的性质与特征，求出两直线的交点坐标是解决此题的关键.
21、x≥2
【解析】
根据一元一次函数和一元一次方程的关系，从图上直接可以找到答案.
【详解】
解：由bx≥ax+4，即函数y=bx的图像位于y=ax+4的图像的上方，所对应的自变量x的取值范围，即为不等式bx≥ax+4的解集.
本题参数较多，用代数的方法根本不能解决，因此数形结合成为本题解答的关键.
22、1
【解析】
首先根据矩形的性质和角平分线的性质得到EA＝DA，从而求得BE，然后利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，
∴∠CED＝∠ADE，
∵ED平分∠AEC，
∴∠AED＝∠CED，
∴∠EDA＝∠AED，
∴AD＝AE＝5，
∴BE＝，
∴△ABE的面积＝BE•AB＝×4×3＝1；
故答案为：1．
本题考查了矩形的性质，勾股定理等，了解矩形的性质是解答本题的关键，难度不大．
23、8
【解析】
根据已知可得该对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，从而可求得菱形的边长．
【详解】
菱形的一个内角为120°,则邻角为60°
则这条对角线和一组邻边组成等边三角形，
可得边长为8cm.
故答案为8.
此题考查菱形的性质，对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形是解题关键
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）①见解析；②见解析；（2）
【解析】
（1）①依照题意补全图形即可；②连接CE，由正方形以及等腰直角三角形的性质可得出∠ACD=∠MCN=45°，从而得出∠ACN=90°，再根据直角三角形的性质以及点E为AN的中点即可得出AE=CE，由此即可得出B、E在线段AC的垂直平分线上，由此即可证得BE⊥AC；
（2）找出EN所扫过的图形为四边形DFCN．根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出BD∥CN，由此得出四边形DFCN为梯形，再由AB=1，可算出线段CF、DF、CN的长度，利用梯形的面积公式即可得出结论．
【详解】
（1）①依题意补全图形，如图1所示．
②证明：连接CE，如图2所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，AB=BC，
∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=45°，
∵∠CMN=90°，CM=MN，
∴∠MCN=45°，
∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°．
∵在Rt△ACN中，点E是AN中点，
∴AE=CE=AN．
∵AE=CE，AB=CB，
∴点B，E在AC的垂直平分线上，
∴BE垂直平分AC，
∴BE⊥AC．
（2）在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．
∵∠BDC=45°，∠DCN=45°，
∴BD∥CN，
∴四边形DFCN为梯形．
∵AB=1，
∴CF=DF=BD=，CN=，
∴S梯形DFCN=（DF+CN）•CF=（+）×=．
故答案为：.
此题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质以及梯形的面积公式，解题的关键是：（1）根据垂直平分线上点的性质证出垂直；（2）用AD表示出EF、BF的长度；（3）找出EN所扫过的图形．根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．
25、（1）见解析；（2）甲的成绩比乙稳定；（1）见解析
【解析】
（1）根据中位数、平均数的概念计算；
（2）从平均数和方差相结合看，方差越小的越成绩越好；
（1）根据题意，从平均数，中位数两方面分析即可.
【详解】
解:(1) ：（1）通过折线图可知：
甲的环数按从小到大排列是5、6、6、7、7、7、7、8、8、9，
则数据的中位数是（7+7）÷2=7；
的平均数=（2+4+6+7+8+7+8+9+9+10）=7；
乙命中9环以上的次数（包括9环）为1．
填表如下：
(2)因为平均数相同，
所以甲的成绩比乙稳定.
(1)理由1:因为平均数相同，命中9环以上的次数甲比乙少，所以乙的成绩比甲好些；
理由2:因为平均数相同，甲的中位数小于乙的中位数，所以乙的成绩比甲好些；
理由1：甲的成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第4次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力.
本题考查了折线统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．也考查了中位数、平均数和方差的概念．在实际生活中常常用它们分析问题．
26、（1）证明见解析；（2）1.
【解析】
分析：（1）先证明四边形AFCE是平行四边形，再证明FA=FC，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论；
（2）设DE=x，则AE=EC=8-x，在Rt△ADE中，由勾股定理列方程求得x的值，再求菱形的面积即可．
详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵DE=BF，
∴EC=AF，
而EC∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
由DC∥AB可得∠ECA=∠FAC，
∵∠ECA=∠FCA，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC，
∴平行四边形AFCE是菱形；
（2）解：设DE=x，则AE=EC=8-x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得
42+x2=(8-x)2，
解得x=3，
∴菱形的边长EC=8-3=5，
∴菱形AFCE的面积为：4×5=1．
点睛：本题考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、菱形的面积、勾股定理.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
项目
众数
中位数
平均数
方差
最高分
小明
85
85
小白
70，100
85
100
平均数
方差
中位数
命中9环以上的次数(包括9环)
甲
7
1.2
1
乙
5.4
7.5
项目
众数
中位数
平均数
方差
最高分
小明
90
90
85
85
100
小白
70，100
85
85
145
100
平均数
方差
中位数
命中9环以上的次数(包括9环)
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
1