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人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程复习ppt课件
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程复习ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，x轴正向，°≤α180°，正切值，tanα，y＝kx＋b，1－1，探究核心题型，故方程为x＋y＝5，即x＋2y－4＝0等内容，欢迎下载使用。
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式).
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.直线的方向向量设A，B为直线上的两点，则 就是这条直线的方向向量.2.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准， 与直线l_____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为 .
3.直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝ .(α≠90°)(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝ .
4.直线方程的五种形式
y－y0＝k(x－x0)
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
1.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.3.斜率为k的直线的一个方向向量为(1，k).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角.( )(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大.( )(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.( )(4)经过P0(x0，y0)的任意直线方程可表示为y－y0＝k(x－x0).( )
2.(选择性必修第一册P55T4改编)已知点A(2,0)，B(3， )，则直线AB的倾斜角为A.30° B.60° C.120° D.150°
∵0°≤α<180°，∴α＝60°.
3.(选择性必修第一册P67T7)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_______________________.
3x－2y＝0或x＋y－5＝0
当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，
解得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.所以直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
4.(选择性必修第一册P80T16改编)直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所过的定点坐标为__________.
直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)可以化为m(y＋1)＋y＋x＝0，
例1 (1)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， )为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是
题型一 直线的倾斜角与斜率
本例(1)条件不变，则直线l的倾斜角的取值范围是_________.
设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<π)，
(2)(2024·广州模拟)在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线斜率为 ，则边AC所在直线斜率的一个可能值为_____________.
设直线AB的倾斜角为α，
设直线AC的倾斜角为θ，则kAC＝tan θ，因为在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，所以θ＝α±60°，当θ＝α＋60°时，tan θ＝tan(α＋60°)
当θ＝α－60°时，tan θ＝tan(α－60°)
例2 求符合下列条件的直线方程：
(3)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍.
当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，又直线过点(2,1)，
当横截距与纵截距都不为0时，
综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式.(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数.
跟踪训练2 (1)过点P(1,4)在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有A.1条 B.2条C.3条 D.4条
当截距为0时，设直线方程为y＝kx，将P(1,4)代入y＝kx，求得k＝4，故方程为y＝4x；当截距不为0时，
故方程为x－y＋3＝0.一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条.
(2)在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则∠BAC的角平分线所在直线l的方程是A.2x－y＋1＝0 B.2x－y－1＝0C.2x－3y－2＝0 D.3x－y－1＝0
如图所示，设∠BAC的角平分线所在直线l与横轴的交点为D(a,0)，
例3 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
题型三 直线方程的综合应用
方法一 设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，
因为直线l过点M(2,1)，
1.在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程.
2.在本例条件下，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程.
即k＝－1时等号成立.此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决.(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决.
跟踪训练3 (1)(2023·贵州联考)若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为
由kx－y＋2k－2＝0，得y＝k(x＋2)－2.∴直线kx－y＋2k－2＝0恒过定点(－2，－2)，即A(－2，－2)，∵点A在直线mx＋ny＋2＝0上，∴m＋n＝1，
一、单项选择题1.(2023·阜阳模拟)在x轴与y轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为A.45° B.135° C.90° D.180°
由题意知直线过点(－2,0)，(0,2)，设直线斜率为k，倾斜角为α，
2.已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c不过A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
3.已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为
因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，
∴其倾斜角为60°，∴直线l的倾斜角为120°，
5.(2023·南通联考)已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4,3)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为A.4x－3y＋1＝0 B.3x－4y－1＝0C.4x＋3y＋1＝0 D.3x＋4y－1＝0
因为直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4,3)，所以4a1＋3b1＋1＝0,4a2＋3b2＋1＝0.由上式可得点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)都在直线4x＋3y＋1＝0上，即过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为4x＋3y＋1＝0.
二、多项选择题7.已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，则下列判断正确的是A.若ab>0，则直线l的斜率小于0B.若b＝0，a≠0，则直线l的倾斜角为90°C.直线l可能经过坐标原点D.若a＝0，b≠0，则直线l的倾斜角为0°
将(0,0)代入ax＋by－2＝0中，显然不成立，故C错误；
8.(2023·盐城模拟)下列说法正确的是A.直线的倾斜角越大，其斜率就越大B.倾斜角相等的两直线的斜率一定相等C.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－ y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示D.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后， 回到原来的位置，则该直线l的斜率为
对于C，当x1＝x2时，经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为x＝x1，此时适合(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)；当y1＝y2时，经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为y＝y1，此时适合(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)；
也即(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，故经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程可以表示为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，故C正确；对于D，设直线l为y＝kx＋b，由题意得y＝k(x＋3)＋b＋2＝kx＋3k＋b＋2，则3k＋b＋2＝b，即k＝ ，故D正确.
三、填空题9.已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为__________.
10.过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为______________________.
过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数，
当截距不为0时，设所求直线方程为x－y＝a，代入M的坐标，可得a＝－3－5＝－8，即直线方程为x－y＋8＝0.
11.已知点A(2,4)，B(4,2)，直线l：y＝kx－2，则直线l经过定点________，若直线l与线段AB有公共点，则k的取值范围是_______.
要使直线l与线段AB有公共点，由图可知k∈[1,3].
12.若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________.
又因为C(－2，－2)在该直线上，
又因为ab>0，故a<0，b<0.
故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号，即ab的最小值为16.
四、解答题13.根据所给条件求直线方程.(1)直线过点A(1,2)，倾斜角α的正弦值为 ；
即3x－4y＋5＝0或3x＋4y－11＝0.
(2)直线过点A(1,3)，且在两坐标轴上的截距之和为8；
依题意得，直线的横截距、纵截距均不为0，
即所求直线方程为3x＋y－6＝0或x＋y－4＝0.
(3)直线过点A(2,4)，B(－2,8).
则所求直线方程为y－4＝－(x－2)，即x＋y－6＝0.
14.已知直线l：x－ky＋2＋k＝0(k∈R).(1)若直线l不经过第一象限，求k的取值范围；
当k＝0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为x＝－2，不经过第一象限；
要使直线不经过第一象限，
综上，k的取值范围为[－2,0].
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程.
由题意可得k>0，由x－ky＋2＋k＝0，令y＝0，得x＝－2－k，
此时Smin＝4，直线l的方程为x－2y＋4＝0.
15.如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限(每个圆与相邻的圆或坐标轴外切)，设L为八个圆形区域的并集，斜率为3的直线l将L划分为面积相等的两个区域，则直线l的方程为_________________________.
3x－y－5＝0(答案不唯一)
∴直线AB的方程为y－1＝3(x－2)，即直线l：3x－y－5＝0(答案不唯一).
16.设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为______.
由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1,0)，动直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0，
又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，
当且仅当|PA|＝|PB|＝3时取等号，即|PA|＋|PB|的最大值为6.
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式).
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.直线的方向向量设A，B为直线上的两点，则 就是这条直线的方向向量.2.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准， 与直线l_____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为 .
3.直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝ .(α≠90°)(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝ .
4.直线方程的五种形式
y－y0＝k(x－x0)
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
1.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.3.斜率为k的直线的一个方向向量为(1，k).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角.( )(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大.( )(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.( )(4)经过P0(x0，y0)的任意直线方程可表示为y－y0＝k(x－x0).( )
2.(选择性必修第一册P55T4改编)已知点A(2,0)，B(3， )，则直线AB的倾斜角为A.30° B.60° C.120° D.150°
∵0°≤α<180°，∴α＝60°.
3.(选择性必修第一册P67T7)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_______________________.
3x－2y＝0或x＋y－5＝0
当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，
解得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.所以直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
4.(选择性必修第一册P80T16改编)直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所过的定点坐标为__________.
直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)可以化为m(y＋1)＋y＋x＝0，
例1 (1)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， )为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是
题型一 直线的倾斜角与斜率
本例(1)条件不变，则直线l的倾斜角的取值范围是_________.
设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<π)，
(2)(2024·广州模拟)在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线斜率为 ，则边AC所在直线斜率的一个可能值为_____________.
设直线AB的倾斜角为α，
设直线AC的倾斜角为θ，则kAC＝tan θ，因为在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，所以θ＝α±60°，当θ＝α＋60°时，tan θ＝tan(α＋60°)
当θ＝α－60°时，tan θ＝tan(α－60°)
例2 求符合下列条件的直线方程：
(3)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍.
当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，又直线过点(2,1)，
当横截距与纵截距都不为0时，
综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式.(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数.
跟踪训练2 (1)过点P(1,4)在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有A.1条 B.2条C.3条 D.4条
当截距为0时，设直线方程为y＝kx，将P(1,4)代入y＝kx，求得k＝4，故方程为y＝4x；当截距不为0时，
故方程为x－y＋3＝0.一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条.
(2)在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则∠BAC的角平分线所在直线l的方程是A.2x－y＋1＝0 B.2x－y－1＝0C.2x－3y－2＝0 D.3x－y－1＝0
如图所示，设∠BAC的角平分线所在直线l与横轴的交点为D(a,0)，
例3 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
题型三 直线方程的综合应用
方法一 设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，
因为直线l过点M(2,1)，
1.在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程.
2.在本例条件下，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程.
即k＝－1时等号成立.此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决.(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决.
跟踪训练3 (1)(2023·贵州联考)若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为
由kx－y＋2k－2＝0，得y＝k(x＋2)－2.∴直线kx－y＋2k－2＝0恒过定点(－2，－2)，即A(－2，－2)，∵点A在直线mx＋ny＋2＝0上，∴m＋n＝1，
一、单项选择题1.(2023·阜阳模拟)在x轴与y轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为A.45° B.135° C.90° D.180°
由题意知直线过点(－2,0)，(0,2)，设直线斜率为k，倾斜角为α，
2.已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c不过A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
3.已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为
因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，
∴其倾斜角为60°，∴直线l的倾斜角为120°，
5.(2023·南通联考)已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4,3)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为A.4x－3y＋1＝0 B.3x－4y－1＝0C.4x＋3y＋1＝0 D.3x＋4y－1＝0
因为直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4,3)，所以4a1＋3b1＋1＝0,4a2＋3b2＋1＝0.由上式可得点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)都在直线4x＋3y＋1＝0上，即过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为4x＋3y＋1＝0.
二、多项选择题7.已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，则下列判断正确的是A.若ab>0，则直线l的斜率小于0B.若b＝0，a≠0，则直线l的倾斜角为90°C.直线l可能经过坐标原点D.若a＝0，b≠0，则直线l的倾斜角为0°
将(0,0)代入ax＋by－2＝0中，显然不成立，故C错误；
8.(2023·盐城模拟)下列说法正确的是A.直线的倾斜角越大，其斜率就越大B.倾斜角相等的两直线的斜率一定相等C.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－ y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示D.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后， 回到原来的位置，则该直线l的斜率为
对于C，当x1＝x2时，经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为x＝x1，此时适合(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)；当y1＝y2时，经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为y＝y1，此时适合(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)；
也即(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，故经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程可以表示为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，故C正确；对于D，设直线l为y＝kx＋b，由题意得y＝k(x＋3)＋b＋2＝kx＋3k＋b＋2，则3k＋b＋2＝b，即k＝ ，故D正确.
三、填空题9.已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为__________.
10.过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为______________________.
过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数，
当截距不为0时，设所求直线方程为x－y＝a，代入M的坐标，可得a＝－3－5＝－8，即直线方程为x－y＋8＝0.
11.已知点A(2,4)，B(4,2)，直线l：y＝kx－2，则直线l经过定点________，若直线l与线段AB有公共点，则k的取值范围是_______.
要使直线l与线段AB有公共点，由图可知k∈[1,3].
12.若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________.
又因为C(－2，－2)在该直线上，
又因为ab>0，故a<0，b<0.
故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号，即ab的最小值为16.
四、解答题13.根据所给条件求直线方程.(1)直线过点A(1,2)，倾斜角α的正弦值为 ；
即3x－4y＋5＝0或3x＋4y－11＝0.
(2)直线过点A(1,3)，且在两坐标轴上的截距之和为8；
依题意得，直线的横截距、纵截距均不为0，
即所求直线方程为3x＋y－6＝0或x＋y－4＝0.
(3)直线过点A(2,4)，B(－2,8).
则所求直线方程为y－4＝－(x－2)，即x＋y－6＝0.
14.已知直线l：x－ky＋2＋k＝0(k∈R).(1)若直线l不经过第一象限，求k的取值范围；
当k＝0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为x＝－2，不经过第一象限；
要使直线不经过第一象限，
综上，k的取值范围为[－2,0].
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程.
由题意可得k>0，由x－ky＋2＋k＝0，令y＝0，得x＝－2－k，
此时Smin＝4，直线l的方程为x－2y＋4＝0.
15.如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限(每个圆与相邻的圆或坐标轴外切)，设L为八个圆形区域的并集，斜率为3的直线l将L划分为面积相等的两个区域，则直线l的方程为_________________________.
3x－y－5＝0(答案不唯一)
∴直线AB的方程为y－1＝3(x－2)，即直线l：3x－y－5＝0(答案不唯一).
16.设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为______.
由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1,0)，动直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0，
又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，
当且仅当|PA|＝|PB|＝3时取等号，即|PA|＋|PB|的最大值为6.
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