2024-2025学年初中上学期九年级数学第一次月考卷（苏科版）（解析版）【测试范围：第一章~第二章】

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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选6题，填空10题，解答8题。
2．测试范围：第一章~第二章（苏科版）。
第Ⅰ卷
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（ ）
A．x2+2x=-1B．x2﹣4＝2y
C．﹣2x2+3＝0D．（a﹣1）x2﹣2x＝0
【分析】根据一元二方程的定义进行判断即可．
【解答】解：A．x2+2x=-1是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
B．x2﹣4＝2y是二元二次方程，不符合题意；
C．﹣2x2+3＝0是一元二次方程，符合题意；
D．当a＝1时，（a﹣1）x2﹣2x＝0化为一元一次方程﹣2x＝0，不符合题意．
故选：C．
2．（3分）将一元二次方程4x2+81＝5x化为一般形式后，常数项为81，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．4，5B．4，﹣5C．4，81D．4x2，﹣5x
【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可．
【解答】解：方程整理得：4x2﹣5x+81＝0，
则二次项系数和一次项系数分别为4，﹣5．
故选：B．
3．（3分）如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m，边BC的长为25m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为x m，下列方程正确的是（ ）
A．（40﹣3x）（25﹣2x）＝200
B．（40﹣4x）（25﹣2x）＝600
C．40×25﹣80x﹣100x+8x2＝200
D．40×25﹣80x﹣100x＝600
【分析】由人行通道的宽度为x m，可得出每个展位的长为（25﹣2x）m，宽为40-4x3m，根据每个展位的面积都为200m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵人行通道的宽度为x m，
∴每个展位的长为（25﹣2x）m，宽为40-4x3m．
依题意得：40-4x3•（25﹣2x）＝200，
即（40﹣4x）（25﹣2x）＝600．
故选：B．
4．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，点B．点E为⊙O上一点（点E与A，B两点不重合）．若∠P＝70°，则∠AEB＝（ ）
A．75°B．30°或50°C．60°或120°D．75°或105°
【分析】连接OA，OB，分为E是优弧AB⌢上一点，和E是劣弧AB⌢上一点，两种情况计算即可．
【解答】解：（1）如图，点E为优弧上一点，连接OA，OB，
∵PA，PB分别与⊙O相切，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝30°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°，
∴∠AEB=12∠AOB=75°，
（2）如图，点E为劣弧上一点，若M是优弧AMB⌢上一点，连接OA、OB，
∵PA，PB分别与⊙O相切，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝30°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°，
∴∠AMB=12∠AOB=75°，
∵四边形AEBM是⊙O的内接四边形，
∴∠AMB+∠AEB＝180°，
∴∠AEB＝180°﹣75°＝105°，
故选：D．
5．（3分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣2）
【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点D的坐标即可．
【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：
在CB的垂直平分线上找到一点D，
CD＝DB＝DA=32+12=10，
∴点D是过A、B、C三点的圆的圆心，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
故选：C．
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A．133B．92C．4313D．25
【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点得到∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF＝BF＝AE＝BG＝2，由勾股定理列方程即可求出结果．
【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，
∴DE＝3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝3，MN＝MG，
∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，
∴NM=43，
∴DM＝3+43=133，
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
7．（3分）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2024﹣9a+3b的值为 2018 ．
【分析】把x＝3代入关于x的方程ax2﹣bx＝6得﹣9a+3b＝﹣6，再把所求结果整体代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：把x＝3代入关于x的方程ax2﹣bx＝6得：9a﹣3b＝6，
∴﹣9a+3b＝﹣6，
∴2024﹣9a+3b＝2024﹣6＝2018，
故答案为：2018．
8．（3分）已知⊙O的圆心坐标为（3，0），直径为6，则⊙O与y轴的位置关系是 相切 ．
【分析】由已知条件可证得圆心O到y轴的距离为等于⊙O的半径，根据直线与圆的位置关系可得结论．
【解答】解：∵⊙O的圆心坐标为（3，0），
∴圆心O到y轴的距离为3，
∵⊙O的直径为6，
∴⊙O的半径为3，
∴圆心O到y轴的距离为等于⊙O的半径，
∴⊙O与y轴相切．
故答案为：相切．
9．（3分）如图，⊙O的弦AB和直径CD交于点E，且CD平分AB，已知AB＝8，CE＝2，那么⊙O的半径长是 5 ．
【分析】连接OA，由垂径定理的推论得出AB⊥CD，由已知可得AE=12AB＝4，OE＝OC﹣CE＝r﹣2，OA＝r，在Rt△AOE中，利用勾股定理求r．
【解答】解：连接OA，
∵，⊙O的弦AB和直径CD交于点E，且CD平分AB，
∴AB⊥CD，
∴AE=12AB＝4，又OE＝OC﹣CE＝r﹣2，OA＝r，
在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE2+OE2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
故答案为：5．
10．（3分）若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的母线长是 6 ．
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，
则：120πl180=4π，
解得l＝6．
故答案为：6．
11．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式x13-2024x1+x22的值为 4049 ．
【分析】先利用一元二次方程的根的意义和根与系数的关系得出x12-x1﹣2024＝0，x1+x2＝1，x1x2＝﹣2024，即x13-2024x1=x12，最后代入即可得出结论．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0两个实数根，
∴x12-x1﹣2024＝0，x1+x2＝1，x1x2＝﹣2024，
∴x13-x12-2024x1＝0，
∴x13-2024x1=x12，
∴x13-2024x1+x22
=x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝12+4048
＝4049．
故答案为：4049．
12．（3分）已知⊙O的直径为8，点P到圆心O的距离为3，则经过点P的最短弦的长度为 27 ．
【分析】与OP垂直的弦最短，利用勾股定理求．
【解答】解：与OP垂直的弦AB最短．证明如下：
过点P任作一条弦CD，作OQ垂直于CD，垂足为Q，连接OD，
AB＝2AP＝2OA2-OP2=242-32=27，
CD＝2QD＝2OD2-OQ2=242-OQ2，
在Rt△OPQ中，OP＞OQ，即3＞OQ，
∴42﹣32＜42﹣OQ2，
∴AB＜CD，
∴弦AB最短，
故答案为：27．
13．（3分）如图，点A，B，C，D在⊙O上．若∠O＝∠C＝130°，则∠BAO＝ 75 °．
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解即可．
【解答】解：如图：连接AD，
∵∠O＝130°，OA＝OD，
∴∠OAD=12（180°﹣130°）＝25°，
∵∠C＝130°，
∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BAO＝∠BAD+∠OAD＝25°+50°＝75°．
故答案为：75．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上．将AC沿AC翻折与AB交于点D．若OA＝3cm，BC的度数为40°，则AD= 53π cm．
【分析】作D关于AC的对称点E，连接AE，BE，OE，则AD=AE，然后再根据BC的度数为40°知∠CAB＝20°，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得∠AOE＝180°﹣80°＝100°，最后运用弧长公式即可解答．
【解答】解：如图，作D关于AC的对称点E，连接AE，BE，OE，
则AD=AE，
∵BC 的度数为40°，
∴∠CAB＝20°，
∴∠EAB＝2∠CAB＝40°，
∴∠EOB＝2∠EAB＝80°，
∴∠AOE＝180°﹣80°＝100°，
∴AE的长度为100°×2π×3360°=53π，
∴AD 的长度为53π．
故答案为：53π．
15．（3分）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON＝ 105 °．
【分析】连接OA，OB，OE，OF，利用正六边形的性质得到OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，则△OAB为等边三角形，D，O，A在一条直线上；利用正方形的性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质求得∠AON的度数，则结论可得．
【解答】解：连接OA，OB，OE，OF，如图，
∵点O是正六边形ABCDEF的中心，
∴OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，
∴△OAB为等边三角形，∠AOF+∠FOE+∠EOD＝180°，
∴D，O，A在一条直线上，∠OAB＝60°，OA＝AB．
∵以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，
∴∠NAB＝90°，AB＝AN，
∴∠NAO＝30°，OA＝AN，
∴∠AON＝∠ANO=180°-30°2=75°，
∴∠NOD＝180°﹣∠AON＝105°．
故答案为：105．
16．（3分）如图，已知A（6，0），B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的⊙B经过原点O，BC⊥x轴于点C，点D为⊙B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为 5+132 ．
【分析】如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．因为AC＝CA′，DE＝EA，所以EC=12DA′，求出DA′的最大值即可解决问题．
【解答】解：如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．
由题意AC＝CA′＝2，BC＝3，BD＝OB=32+42=5，
∴BA′=32+22=13，
∵AC＝CA′，DE＝EA，
∴EC=12DA′，
∵DA′≤BD+BA′，
∴DA′≤5+13，
∴DA′的最大值为5+13，
∴EC的最大值为5+132，
故答案为5+132．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）x2+ax﹣2a2＝0．（a为常数且a≠0）
【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或x+1＝0，然后两个一次方程即可；
（2）先利用因式分解法把方程转化为x+2a＝0或x﹣a＝0，然后两个一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1；
（2）x2+ax﹣2a2＝0，
（x+2a）（x﹣a）＝0，
x+2a＝0或x﹣a＝0，
所以x1＝﹣2a，x2＝a．
18．（6分）如图，A、B是⊙O上的点，以OB为直径作⊙O1．仅用无刻度的直尺完成下列作图．
（1）在图①中，在⊙O1上作出一个点C，使BC与AB的长度相等；
（2）在图②中，在⊙O上作出一个点D，使AD与BD的长度相等．
【分析】（1）连接OA交⊙O1于点C，点C即为所求．
（2）连接AB交⊙O1于点T，作直线OT交⊙O于点D，点D′，点D，点D′即为所求．
【解答】解：（1）如图，点C即为所求．
（2）如图，点D或D′即为所求．
19．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边a＝3，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号进行证明；
（2）注意：分b＝c，b＝a两种情况做．
【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k＝（k﹣2）2，
∵无论k取何值，（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：①当b＝c时，则Δ＝0，
即（k﹣2）2＝0，
∴k＝2，
方程可化为x2﹣4x+4＝0，
∴x1＝x2＝2，
而b＝c＝2，
∴△ABC的周长＝a+b+c＝3+2+2＝7；
②解：当b＝a＝3时，
∵x2﹣（k+2）x+2k＝0．
∴（x﹣2）（x﹣k）＝0，
∴x＝2或x＝k，
∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，
∴k＝b＝3，
∴c＝2，
∴△ABC的周长＝a+b+c＝3+3+2＝8；
综上所述，△ABC的周长为7或8．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线交AB的延长线于点F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若AC＝13，BC＝10，求DE长．
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，得出∠ODB＝∠C，进而得出OD∥AC，由DE⊥AC，得出OD⊥EF，即可证明EF是⊙O的切线；
（2）先求出BD＝5，再由勾股定理求出AD=AB2-BD2=132-52=12，最后再用面积法求解即可．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥EF，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，
∴BD＝5，
∴AD=AB2-BD2=132-52=12，
∵在直角△ADC中，AD＝12，CD＝BD＝5，AC＝13，
∴12DE⋅AC=12AD⋅CD
即DE=6013．
21．（10分）如图所示，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为BC的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）若AB＝90cm，则圆心O到EF的距离是多少？说明你的理由．
（2）若DA=DF=63，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆周角定理分析得出OD⊥EF，即可得出圆心O到EF的距离为圆的半径；
（2）利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可；
【解答】解：（1）如图所示，连接OD，
∵D为BC的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴OD的长是圆心O到EF的距离，
∵AB＝90cm，
∴OD=12AB=45cm．
（2）如图所示，过点O作OG⊥AD交AD于点G．
∵DA＝DF，
∴∠F＝∠BAD，
由（1）得∠CAD＝∠BAD，
∴∠F＝∠CAD，
∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD，
∵在Rt△ODF中，OF2﹣OD2＝DF2，
∴(2OD)2-OD2=(63)2，解得OD＝6，
在Rt△OAG中，OA＝OD＝6，∠OAG＝30°，OG=12×6=3，
∴S△AOD=12×63×3=93，
∴S阴影=S扇形OBD+S△AOD=60π×62360+93=6π+93．
22．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
23．（12分）【问题提出】
我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半．那在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？
【初步思考】
（1）如图1，AB是⊙O的弦，∠AOB＝100°，点P1、P2分别是优弧AB和劣弧AB上的点，则∠AP1B＝ 50 °，∠AP2B＝ 130 °．
（2）如图2，AB是⊙O的弦，圆心角∠AOB＝m（m＜180°），点P是⊙O上不与A、B重合的一点，求弦AB所对的圆周角∠APB的度数（用m的代数式表示） （m2）°或180°﹣（m2）° ．
【问题解决】
（3）如图3，已知线段AB，点C在AB所在直线的上方，且∠ACB＝135°，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）．
【实际应用】
（4）如图4，在边长为12的等边三角形ABC中，点E、F分别是边AC、BC上的动点，连接AF、BE，交于点P，若始终保持AE＝CF，在点E从点A运动到点C过程中，PC的最小值是 43 ．
【分析】（1）根据圆周角定理计算∠AP1B的度数，然后根据圆内接四边形的性质求∠AP2B的度数；
（2）与（1）的求法一样（注意分类讨论）；
（3）先作AB的垂直平分线得到AB的中点P，再以AB为直径作圆交AB的垂直平分线于O，然后以O点为圆心，OA为半径作⊙O，则⊙O在⊙P内的弧为满足条件的点C所组成的图形；
（4）由等边三角形的性质证明△AEB≌△CFA可以得出AF＝BE，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，结合勾股定理分别求得DC、DP，即可得解．
【解答】解：（1）∠AP1B=12∠AOB=12×100°＝50°，
∠AP2B＝180°﹣∠APB＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：50，130；
（2）当P在优弧AB上时，∠A PB=12∠AOB＝（m2）°；
当P在劣弧AB上时，∠A PB＝180°﹣（m2）°；
故答案为：（m2）°；180°﹣（m2）°；
（3）如图劣弧AB（不包含A、B两个端点）就是所满足条件的点C所组成的图形；
（4）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝12，∠BAC＝∠C＝60°．
在△AEB和△CFA中，
AB=AC∠BAC=∠CAE=CF，
∴△AEB≌△CFA（SAS），
∴AF＝BE．
点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，PC最小，此时△ABP为等腰三角形．且∠ABP＝∠BAP＝30°，OC⊥AB，如图3：
∴∠AOB＝120°，
∵AB＝12，AP＝2DP，
∴AD＝6，DP=(2DP)2-62，
∴DP＝23，
在Rt△ADC中，DC=AC2-AD2=122-62=63，
∴PC＝63-23=43．
故答案为：
24．（12分）已知△ABC的外接圆，圆心为点O，点P是该三角形的内心．
（1）如图1，在△ABC中，直线AP与△ABC外接圆交点为D，求证：BD＝PD＝CD；
（2）如图2，若该△ABC，M是弧ABC中点，MN⊥BC与点N，
①求证：AB+BN＝CN；
②如图3，若△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，求证：直线MN经过内心点P；
③将上述第②题中∠BAC＝90°改为∠BAC为任意角，参考图3，其他条件均不变，试猜想该结论是否成立： 是 （是，或者不是）．
【分析】（1）连接BP，可推出∠ABP＝∠CBP，∠BAD＝∠BCD，∠DAC＝∠CBD，从而∠DBP＝∠DPB，从而BD＝PD，进一步得出结论；
（2）过点M作ME⊥AB，交AB的延长线于E，连接BM，可证得Rt△AME≌Rt△CMN，从而MN＝EM，进而证得△BME≌△BMN，从而BE＝BN，进一步得出结论；
②设AE，AC切⊙P于点E，F，设AB＝a，AE＝AF＝x，则AC＝2a，在BC上截取CQ＝AB＝a，可证得△ABM≌△CQM，从而BM＝QM，进而得出BN＝NQ=12BQ，根据⊙P是△ABC的内切圆可得出BC＝BE+CF＝（a﹣x）+（2a﹣x）＝3a﹣2x，从而BQ＝BC﹣CQ＝2a﹣2x，进而得出BN=12BQ＝a﹣x，从而BE＝BN，进一步得出结论；
③由②得出结论．
【解答】（1）证明：如图1，
连接BP，
∵点P是△ABC的内心，
∴AP、BP分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABP＝∠CBP，
∴CD=BD，
∴CD＝BD，
∵∠BAD＝∠BCD，∠DAC＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠BAD，
∴∠CBD+∠CBP＝∠BAD+∠ABP，
∴∠DBP＝∠DPB，
∴BD＝PD，
∴BD＝PD＝CD；
（2）①证明：如图2，
过点M作ME⊥AB，交AB的延长线于E，连接BM，
则∠E＝90°，
∵MN⊥BC，
∴∠BNM＝∠CNM＝90°，
∴∠E＝∠BNM＝∠CMN，
∵M是弧ABC中点，
∴AM＝CM，
∵BM=BM，
∴∠MAB＝∠MCB，
∴Rt△AME≌Rt△CMN（HL），
∴MN＝EM，CN＝AE，
∵BM＝BM，
∴△BME≌△BMN（HL），
∴BE＝BN，
∵AB+BE＝AE，
∴AB+BN＝CN；
②证明：
设AE，AC切⊙P于点E，F，设AB＝a，AE＝AF＝x，则AC＝2a，在BC上截取CQ＝AB＝a，
∵∠C＝∠BAM，AM＝CM，
∴△ABM≌△CQM（SAS），
∴BM＝QM，CQ＝AB＝a，
∵MN⊥BC，
∴BN＝NQ=12BQ，
∵⊙P是△ABC的内切圆，
∴BC＝BE+CF＝（a﹣x）+（2a﹣x）＝3a﹣2x，
∴BQ＝BC﹣CQ＝2a﹣2x，
∴BN=12BQ＝a﹣x，
∴BE＝BN，
∴⊙P切BC于N，
∴M、N、P共线，
∴PN⊥BC，
∴直线MN经过圆内心点P；
③解：由②知：直线MN经过圆内心点P，
故答案为：是．