2023年 四川省 乐山市 数学 中考真题 解析版

这是一份2023年 四川省 乐山市 数学 中考真题 解析版，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2023•乐山第1题3分）计算：2a﹣a＝（ A ）
A．aB．﹣aC．3aD．1
2．（2023•乐山第2题3分）下面几何体中，是圆柱的为（ C ）
A．B．C．D．
3．（2023•乐山第3题3分）下列各点在函数y＝2x﹣1图象上的是（ D ）
A．（﹣1，3）B．（0，1）C．（1，﹣1）D．（2，3）
4．（2023•乐山第4题3分）从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为（ B ）
A．9×108B．9×109C．9×1010D．9×1011
5．（2023•乐山第5题3分）乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源．某校准备组织初一年级500名学生进行研学旅行活动，政教处周老师随机抽取了其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，如图所示．估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为（ C ）
A．100B．150C．200D．400
6．（2023•乐山第6题3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（ B ）
A．2B．C．3D．4
7．（2023•乐山第7题3分）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（ C ）
A．4B．8C．12D．16
8．（2023•乐山第8题3分）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sinθ＝​（ A ）
A．B．C．D．
9．（2023•乐山第9题3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（m，0），且1＜m＜2，有下列结论：①b＜0；②a+b＞0；③0＜a＜﹣c；
④若点C（﹣，y1），D（，y2）在抛物线上，则y1＞y2．
其中，正确的结论有（ B ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．（2023•乐山第10题3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD＝，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是（ D ）
A．8B．6C．4D．3
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2023•乐山第11题3分）不等式x﹣1＞0的解集是 x＞1 ．
12．（2023•乐山第12题3分）小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160．这组数据的众数为 160 ．
13．（2023•乐山第13题3分）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为 20° ．
14．（2023•乐山第14题3分）若m、n满足3m﹣n﹣4＝0，则8m÷2n＝ 16 ．
15．（2023•乐山第15题3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝ ．
16．（2023•乐山第16题3分）定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．
（1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝ ﹣7 ；
（2）若双曲线y＝（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，则k的取值范围 3＜k＜4 ．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2023•乐山第17题9分）计算：|﹣2|+20230﹣．
【解答】解：原式＝2+1﹣2＝1．
18．（2023•乐山第18题9分）解二元一次方程组：．
【解答】解：①×2得2x﹣2y＝2③，
②+③得：5x＝10，解得x＝2，
把x＝2代入①中得2﹣y＝1，
解得y＝1，
∴原方程组的解为．
19．（2023•乐山第19题9分）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．
​
【解答】证明：∵AC∥BD，
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴AC＝BD．
20．（2023•乐山第20题10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，连结EF．
​（1）求证：四边形ECFD是矩形；
（2）若CF＝2，CE＝4，求点C到EF的距离．
【解答】（1）证明：∵FD∥CA，BC∥DE，
∴四边形ECFD为平行四边形，
又∵∠C＝90°，
∴四边形ECFD为矩形；
（2）解：过点C作CH⊥EF于H，
在Rt△ECF中，CF＝2，CE＝4，
∴EF＝＝＝2，
∵S△ECF＝×CF•CE＝×EF•CH，
∴CH＝＝，
∴点C到EF的距离为．
21．（2023•乐山第21题10分）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？
【解答】解：设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树（1+20%）x棵，
根据题意得﹣＝2，
解得x＝500，
经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种植梨树500棵．
22．（2023•乐山第22题10分）为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求全班同学人人参与．经统计，同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“煮饭”“刷碗”，班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示．
根据上面图表信息，回答下列问题：
（1）m＝ 8 ；
（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为 108° ；
（3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名同学，其中有2名男生．现准备从表现优异的同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．
【解答】解：
（3）列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中所选同学中有男生的有10种结果，
所以所选同学中有男生的概率为＝．
23．（2023•乐山第23题10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数y＝图象上的一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标．
​
【解答】解：（1）∵点A（m，4）在反比例函数 的图象上，
∴，∴m＝1，∴A（1，4），
又∵点A（1，4）、C（0，3）都在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+3；
（2）对于y＝x+3，当y＝0时，x＝﹣3，
∴OB＝3，
∵C（0，3），∴OC＝3，
过点A作 AH⊥y 轴于点H，过点P作 PD⊥x 轴于点D，
∵S△OBP＝2S△OAC，
∴，即，
解得PD＝2，
∴点P的纵坐标为2或﹣2，
将y＝2或﹣2代入 得x＝2或﹣2，
∴点P（2，2）或（﹣2，﹣2）．
24．（2023•乐山第24题10分）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连结AD，AE，且AD＝AE，CA＝CE．
​（1）求证：直线AE是⊙O是的切线；
（2）若sinE＝，⊙O的半径为3，求AD的长．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∵AD＝AE，
∴∠E＝∠D，
∵∠B＝∠D，
∴∠E＝∠B，
∵CA＝CE，
∴∠E＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠B，
∴∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴直线AE是⊙O是的切线．
（2）解：作CF⊥AE于点F，则∠CFE＝90°，
∵∠E＝∠CAE＝∠B，
∴＝sinB＝sinE＝＝，
∵OA＝OB＝3，
∴AB＝6，
∴CE＝CA＝AB＝×6＝4，
∴CF＝CE＝×4＝，
∴AF＝BF＝＝＝，
∴AD＝AE＝2AF＝2×＝，
∴AD的长是．
25．（2023•乐山第25题12分）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△A′B′C′的位置，那么可以得到：
AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；
∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由： 旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等 ；
（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．
①请在图中作出点O；
②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为 cm ；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．
​
【解答】解：【问题解决】
（2）①如图：
作线段BB'，AA'的垂直平分线，两垂直平分线交于O，点O为所求；
②∵∠BOB'＝90°，OB＝OB'，
∴△BOB'是等腰直角三角形，
∵BB'＝6，
∴OB＝＝3，
∵＝（cm），
∴点B经过的路径长为cm，
故答案为：cm；
【问题拓展】
连接PA'，交AC于M，连接PA，PD，AA'，PB'，PC，如图：
∵点P为中点，
∴∠PAB＝，
由旋转得∠PA'B'＝30°，PA＝PA′＝4，
在Rt△PAM中，PM＝PA•sin∠PAM＝4×sin30°＝2，
∴A'M＝PA'﹣PM＝4﹣2＝2，
在Rt△A′DM中，
A'D＝＝＝，DM＝A'D＝，
∴S△A'DP＝××4＝；
S扇形PA'B'＝＝，
下面证明阴影部分关于PD对称：
∵∠PAC＝∠PA'B'＝30°，∠ADN＝∠A'DM，
∴∠AND＝∠A'MD＝90°，
∴∠PNA'＝90°，
∴PN＝PA'＝2，
∴AN＝PA﹣PN＝2，
∴AN＝A′M，
∴△AND≌△A'MD（AAS），
∴AD＝A′D，
∴CD＝B'D，
∵PD＝PD，PB'＝PC，
∴△PB′D≌△PCD（SSS），
∴阴影部分面积被PD等分，
∴S阴影＝2（S扇形PA'B'﹣S△A'DP）＝2（﹣）＝（cm2）．
∴两个纸板重叠部分的面积是cm2．
26．（2023•乐山第26题13分）已知（x1，y1），（x2，y2）是抛物线C1：y＝﹣x2+bx（b为常数）上的两点，当x1+x2＝0时，总有y1＝y2．
（1）求b的值；
（2）将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y＝﹣（x﹣m）2+1（m＞0）．
当0≤x≤2时，探究下列问题：
①若抛物线C1与抛物线C2有一个交点，求m的取值范围；
②设抛物线C2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线C2的顶点为点E，△ABC外接圆的圆心为点F．如果对抛物线C1上的任意一点P，在抛物线C2上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求EF长的取值范围．
【解答】解：（1）由题可知：y1＝﹣+bx1，y2＝﹣+bx2，
∵当x1+x2＝0 时，总有 y1＝y2，
∴﹣+bx1＝﹣+bx2，
整理得：（x1﹣x2）（x1+x2﹣4b）＝0，
∵x1≠x2，
∴x1﹣x2≠0，
∴x1+x2﹣4b＝0，
∴b＝0；
（2）①注意到抛物线 C2 最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移．
下面考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线 C2 过点（0，0）时，如图1所示，
此时，x＝0，，解得m＝2或﹣2（舍）．
（i）当抛物线 C2 过点（2，﹣1）时，如图2所示，
此时，x＝2，
解得 或 （舍）．
综上所述，2≤m≤2+2；
②同①考虑满足题意的两种临界情形：
（i）当抛物线 C2 过点（0，﹣1）时，如图3所示，
此时，x＝0，，解得 或 （舍）．
（ii）当抛物线 C2 过点（2，0）时，如图4所示，
此时，x＝2，，解得 m＝4 或0（舍）．
综上所述，．
如图5，由圆的性质可知，点E、F在线段AB的垂直平分线上，
，解得 xA＝m﹣2，xB＝m+2，
∴HB＝m+2﹣m＝2，
∵FB＝FC．
∴FH2+HB2＝FG2+GC2，
设FH＝t，
∴t2+22＝（﹣1﹣t）2+m2，
∴（﹣1）2﹣2（﹣1）t+m2﹣4＝0，
∴（﹣1）（﹣2t+3）＝0，
∵m≥2，
∴﹣1≠0，
∴，即 ，
∵
∴，即＜FH≤，
∵EF＝FH+1，
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家务类型
洗衣
拖地
煮饭
刷碗
人数（人）
10
12
10
m
男1
男2
女1
女2
男1
（男1，男2）
（男1，女1）
（男1，女2）
男2
（男2，男1）
（男2，女1）
（男2，女2）
女1
（女1，男1）
（女1，男2）
（女1，女2）
女2
（女2，男1）
（女2，男2）
（女2，女1）