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2023年 四川省 雅安市 数学 中考真题 解析版
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这是一份2023年 四川省 雅安市 数学 中考真题 解析版，共6页。
A．0B．C．﹣D．2
2．（2023•雅安第2题3分）计算20﹣1的结果是（ D ）
A．﹣1B．1C．19D．0
3．（2023•雅安第3题3分）如图，是由3个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（ C ）
A．B．C．D．
4．（2023•雅安第4题3分）如图，AB∥CD，AC⊥BC于点C，∠1＝65°，则∠2的度数为（ B ）
A．65°B．25°C．35°D．45°
5．（2023•雅安第5题3分）若m2+2m﹣1＝0，则2m2+4m﹣3的值是（ A ）
A．﹣1B．﹣5C．5D．﹣3
6．（2023•雅安第6题3分）下列运算正确的是（ D ）
A．2a+3b＝5abB．（a2）3＝a5C．a2•a4＝a8D．a3÷a＝a2
7．（2023•雅安第7题3分）不等式组的解集是（ D ）
A．﹣1＜x＜1B．﹣1≤x＜1C．﹣1＜x≤3D．﹣1≤x＜3
8．（2023•雅安第8题3分）如图，某小区要绿化一扇形OAB空地，准备在小扇形OCD内种花，在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB＝120°，OA＝15m，OC＝10m，则种草区域的面积为（ B ）
A．B．C．D．
9．（2023•雅安第9题3分）某位运动员在一次射击训练中，10次射击的成绩如图，则这10次成绩的平均数和中位数分别是（ B ）
A．9.7，9.5B．9.7，9.8C．9.8，9.5D．9.8，9.8
10．（2023•雅安第10题3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ A ）
A．y＝﹣x+1B．y＝x+1C．y＝﹣x﹣1D．y＝x﹣1
11．（2023•雅安第11题3分）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（ C ）
A．4B．6C．8D．10
12．（2023•雅安第12题3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B两点，对称轴是直线x＝2，下列结论中，所有正确结论的序号为（ C ）
①a＞0；②点B的坐标为（6，0）；
③c＝3b；④对于任意实数m，都有4a+2b≥am2+bm．
A．①② B．②③ C．②③④ D．③④
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接填写在答题卡相应的横线上。
13．（2023•雅安第13题3分）在一个不透明的口袋中，装有1个红球和若干个黄球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球是红球的概率为，则口袋中黄球有 3 个．
14．（2023•雅安第14题3分）若a+b＝2，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值为 2 ．
15．（2023•雅安第15题3分）已知关于x的方程x2+mx﹣4＝0的一个根为1，则该方程的另一个根为 ﹣4 ．
16．（2023•雅安第16题3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 3 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。
18．（2023•雅安第18题12分）（1）计算：（）﹣1+（）2﹣4×|﹣|．
（2）先化简，再求值：（1+），其中a＝2．
【解答】解：（1）原式＝2+2﹣4×＝4﹣2＝2；
（2）原式＝（+）•＝•＝，
当a＝2时，原式＝＝．
19．（2023•雅安第19题8分）某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
请根据图表信息解答下列问题：
（1）求a，b，c的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
【解答】解：（1）调查人数为：10÷0.1＝100（人），
b＝15÷100＝0.15，a＝0.35×100＝35，c＝40÷100＝0.4，
答：a＝35，b＝0.15，c＝0.4；
（2）由各组频数补全频数分布直方图如图.
（3）用树状图法表示所有等可能出现的结果如图.
共有6种等可能出现的结果，其中1男1女的有4种，
所以抽取的2名学生恰好为1男1女的概率是＝．
20．（2023•雅安第20题8分）如图，已知E，F是▱ABCD对角线AC上两点，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若CH⊥AB交AB的延长线于点H，＝3，BC＝，tan∠CAB＝，求▱ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵＝3，∴CH＝3BH，∵CH⊥AB于H，∴∠H＝90°，∴BC2＝BH2+CH2，
∵BC＝，∴（）2＝BH2+（3BH）2，解得BH＝1，
∴CH＝3，在Rt△ACH中，tan∠CAB＝＝，∴AH＝4，
∴AB＝AH﹣BH＝4﹣1＝3，∴S▱ABCD＝AB•CH＝3×3＝9．
21．（2023•雅安第21题9分）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
（1）若他批发甲、乙两种蔬菜共40kg花180元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
（2）若他批发甲、乙两种蔬菜共80kg花m元，设批发甲种蔬菜nkg，求m与n的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于176元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
【解答】解：（1）设批发甲种蔬菜x千克，批发乙种蔬菜y千克，根据题意得，
，解得，
答：批发甲种蔬菜25千克，批发乙种蔬菜15千克；
（2）根据题意得m＝4.8n+（80﹣n）×4，整理得m＝0.8n+320；
（3）设全部卖完蔬菜后利润为w元，根据题意得
w＝（7.21﹣4.8）n+（5.6﹣4）（80﹣n），整理得w＝0.81n+128，
∵要保证利润不低于176元，∴w＝0.81n+128≥176，
解得n≥，∴至少批发甲种蔬菜千克．
22．（2023•雅安第22题10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，点A，C在坐标轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，S△OBD＝3，求直线BD的函数表达式．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴B（2，2），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）作DE⊥x轴于E，∵BA⊥x轴，∴S△DOE＝S△AOB＝，
设D（m，），则OE＝m，DE＝，∵S△OBD＝3，
∴S△OBD＝S△AOB+S梯形ABDE﹣S△DOE＝S梯形ABDE＝3，
∴，整理得m2﹣3m﹣4＝0，解得m＝4或m＝﹣1（舍去），
∴D（4，1），设直线BD的解析式为y＝ax+b，
把B、D的坐标代入得，解得，∴直线BD的函数表达式为y＝﹣．
23．（2023•雅安第23题10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD，DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，tan∠BAC＝，求AD的长；
（3）在（2）的条件下，点P是⊙O上一动点，求PA+PB的最大值．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示，
∵AB为OO的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°，
∵点E为BC的中点，∴DE＝BE＝BC，∴∠EDB＝∠EBD，
∵OB＝OD．∴∠ODB＝∠OBD．∵∠ABC＝90°，
∴∠EBD+∠OBD＝90°，∴∠ODB+∠EDB＝90°，∵OD是OO的半径，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：由（1）知，∠BDC＝90°，∵E是BC的中点，∴DE＝BC＝2．
∴BC＝4，∵tan∠BACE＝，∴AB＝8．AD＝2BD，
又∵在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，即（2BD）2+BD2＝82，
∴BD＝（负值已舍去），∴AD＝：
（3）解：设Rt△ABD中AB边上的高为h，由（2）可知AB＝8，
又∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴PA2+PB2＝82＝64，
∴（PA+PB）2＝64+2PA•PB，
.当PA+PB取最大值时，2PA•PB也取最大值，
又∵S△ABP＝PA•PB＝AB•h，当PA+PB取最大值时，S△ABP取最大值，
此时AB边高为取最大值为＝＝4，∴S△ABP＝AB•h＝2×8×4＝16．
∴PA•PB＝2S△ABP＝32，∴（PA+PB）2＝64+2×32＝128，∴PA+PB＝8．
综上所述：PA+PB的最大值为8．
24．（2023•雅安第24题12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过点A（0，2），对称轴是直线x＝2．
（1）求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
（2）若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C，当△BCM是等边三角形时，求出此三角形的边长；
（3）已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为（1，﹣1）是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵对称轴是直线x＝2，∴﹣＝2，解得b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x+c，
将点A代入y＝x2﹣4x+c，可得c＝2，∴函数的解析式为y＝x2﹣4x+2，
当x＝2时，y＝﹣2，∴顶点M（2，﹣2）；
（2）设直线BC所在的直线为y＝m，当x2﹣4x+2＝m时，xB+xC＝4，xB•xC＝2﹣m，
∴|xB﹣xC|＝2，∵M（2，﹣2），∴M点到直线BC的距离为m+2，
∵△BCM是等边三角形，∴|xB﹣xC|＝（m+2），即＝（m+2），
解得m＝1或m＝﹣2（舍），∴三角形的边长为2；
（3）在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，
理由：设E（2，t），F（x，y），
①当AD为菱形对角线时，AE＝DE，
，解得，∴F（﹣1，0）；
②当AE为菱形对角线时，AD＝DE，
∴，解得（舍）或，∴F（1，5）；
③当AF为菱形对角线时，AE＝AD，
∴，解得或，
∴F（3，﹣1+）或（3，﹣5+）；
综上所述：F点坐标为（﹣1，0）或（1，5）或（3，﹣1+）或（3，﹣5+）．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/29 11:47:30；用户：15363988105；邮箱：15363988105；学号：37437978成绩/分
频数/人
频率
60≤x＜70
10
0.1
70≤x＜80
15
b
80≤x＜90
a
0.35
90≤x≤100
40
c
品名
甲蔬菜
乙蔬菜
批发价/（元/kg）
4.8
4
零售价/（元/kg）
7.21
5.6
A．0B．C．﹣D．2
2．（2023•雅安第2题3分）计算20﹣1的结果是（ D ）
A．﹣1B．1C．19D．0
3．（2023•雅安第3题3分）如图，是由3个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（ C ）
A．B．C．D．
4．（2023•雅安第4题3分）如图，AB∥CD，AC⊥BC于点C，∠1＝65°，则∠2的度数为（ B ）
A．65°B．25°C．35°D．45°
5．（2023•雅安第5题3分）若m2+2m﹣1＝0，则2m2+4m﹣3的值是（ A ）
A．﹣1B．﹣5C．5D．﹣3
6．（2023•雅安第6题3分）下列运算正确的是（ D ）
A．2a+3b＝5abB．（a2）3＝a5C．a2•a4＝a8D．a3÷a＝a2
7．（2023•雅安第7题3分）不等式组的解集是（ D ）
A．﹣1＜x＜1B．﹣1≤x＜1C．﹣1＜x≤3D．﹣1≤x＜3
8．（2023•雅安第8题3分）如图，某小区要绿化一扇形OAB空地，准备在小扇形OCD内种花，在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB＝120°，OA＝15m，OC＝10m，则种草区域的面积为（ B ）
A．B．C．D．
9．（2023•雅安第9题3分）某位运动员在一次射击训练中，10次射击的成绩如图，则这10次成绩的平均数和中位数分别是（ B ）
A．9.7，9.5B．9.7，9.8C．9.8，9.5D．9.8，9.8
10．（2023•雅安第10题3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ A ）
A．y＝﹣x+1B．y＝x+1C．y＝﹣x﹣1D．y＝x﹣1
11．（2023•雅安第11题3分）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（ C ）
A．4B．6C．8D．10
12．（2023•雅安第12题3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B两点，对称轴是直线x＝2，下列结论中，所有正确结论的序号为（ C ）
①a＞0；②点B的坐标为（6，0）；
③c＝3b；④对于任意实数m，都有4a+2b≥am2+bm．
A．①② B．②③ C．②③④ D．③④
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接填写在答题卡相应的横线上。
13．（2023•雅安第13题3分）在一个不透明的口袋中，装有1个红球和若干个黄球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球是红球的概率为，则口袋中黄球有 3 个．
14．（2023•雅安第14题3分）若a+b＝2，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值为 2 ．
15．（2023•雅安第15题3分）已知关于x的方程x2+mx﹣4＝0的一个根为1，则该方程的另一个根为 ﹣4 ．
16．（2023•雅安第16题3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 3 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。
18．（2023•雅安第18题12分）（1）计算：（）﹣1+（）2﹣4×|﹣|．
（2）先化简，再求值：（1+），其中a＝2．
【解答】解：（1）原式＝2+2﹣4×＝4﹣2＝2；
（2）原式＝（+）•＝•＝，
当a＝2时，原式＝＝．
19．（2023•雅安第19题8分）某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
请根据图表信息解答下列问题：
（1）求a，b，c的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
【解答】解：（1）调查人数为：10÷0.1＝100（人），
b＝15÷100＝0.15，a＝0.35×100＝35，c＝40÷100＝0.4，
答：a＝35，b＝0.15，c＝0.4；
（2）由各组频数补全频数分布直方图如图.
（3）用树状图法表示所有等可能出现的结果如图.
共有6种等可能出现的结果，其中1男1女的有4种，
所以抽取的2名学生恰好为1男1女的概率是＝．
20．（2023•雅安第20题8分）如图，已知E，F是▱ABCD对角线AC上两点，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若CH⊥AB交AB的延长线于点H，＝3，BC＝，tan∠CAB＝，求▱ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵＝3，∴CH＝3BH，∵CH⊥AB于H，∴∠H＝90°，∴BC2＝BH2+CH2，
∵BC＝，∴（）2＝BH2+（3BH）2，解得BH＝1，
∴CH＝3，在Rt△ACH中，tan∠CAB＝＝，∴AH＝4，
∴AB＝AH﹣BH＝4﹣1＝3，∴S▱ABCD＝AB•CH＝3×3＝9．
21．（2023•雅安第21题9分）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
（1）若他批发甲、乙两种蔬菜共40kg花180元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
（2）若他批发甲、乙两种蔬菜共80kg花m元，设批发甲种蔬菜nkg，求m与n的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于176元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
【解答】解：（1）设批发甲种蔬菜x千克，批发乙种蔬菜y千克，根据题意得，
，解得，
答：批发甲种蔬菜25千克，批发乙种蔬菜15千克；
（2）根据题意得m＝4.8n+（80﹣n）×4，整理得m＝0.8n+320；
（3）设全部卖完蔬菜后利润为w元，根据题意得
w＝（7.21﹣4.8）n+（5.6﹣4）（80﹣n），整理得w＝0.81n+128，
∵要保证利润不低于176元，∴w＝0.81n+128≥176，
解得n≥，∴至少批发甲种蔬菜千克．
22．（2023•雅安第22题10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，点A，C在坐标轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，S△OBD＝3，求直线BD的函数表达式．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴B（2，2），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）作DE⊥x轴于E，∵BA⊥x轴，∴S△DOE＝S△AOB＝，
设D（m，），则OE＝m，DE＝，∵S△OBD＝3，
∴S△OBD＝S△AOB+S梯形ABDE﹣S△DOE＝S梯形ABDE＝3，
∴，整理得m2﹣3m﹣4＝0，解得m＝4或m＝﹣1（舍去），
∴D（4，1），设直线BD的解析式为y＝ax+b，
把B、D的坐标代入得，解得，∴直线BD的函数表达式为y＝﹣．
23．（2023•雅安第23题10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD，DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，tan∠BAC＝，求AD的长；
（3）在（2）的条件下，点P是⊙O上一动点，求PA+PB的最大值．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示，
∵AB为OO的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°，
∵点E为BC的中点，∴DE＝BE＝BC，∴∠EDB＝∠EBD，
∵OB＝OD．∴∠ODB＝∠OBD．∵∠ABC＝90°，
∴∠EBD+∠OBD＝90°，∴∠ODB+∠EDB＝90°，∵OD是OO的半径，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：由（1）知，∠BDC＝90°，∵E是BC的中点，∴DE＝BC＝2．
∴BC＝4，∵tan∠BACE＝，∴AB＝8．AD＝2BD，
又∵在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，即（2BD）2+BD2＝82，
∴BD＝（负值已舍去），∴AD＝：
（3）解：设Rt△ABD中AB边上的高为h，由（2）可知AB＝8，
又∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴PA2+PB2＝82＝64，
∴（PA+PB）2＝64+2PA•PB，
.当PA+PB取最大值时，2PA•PB也取最大值，
又∵S△ABP＝PA•PB＝AB•h，当PA+PB取最大值时，S△ABP取最大值，
此时AB边高为取最大值为＝＝4，∴S△ABP＝AB•h＝2×8×4＝16．
∴PA•PB＝2S△ABP＝32，∴（PA+PB）2＝64+2×32＝128，∴PA+PB＝8．
综上所述：PA+PB的最大值为8．
24．（2023•雅安第24题12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过点A（0，2），对称轴是直线x＝2．
（1）求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
（2）若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C，当△BCM是等边三角形时，求出此三角形的边长；
（3）已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为（1，﹣1）是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵对称轴是直线x＝2，∴﹣＝2，解得b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x+c，
将点A代入y＝x2﹣4x+c，可得c＝2，∴函数的解析式为y＝x2﹣4x+2，
当x＝2时，y＝﹣2，∴顶点M（2，﹣2）；
（2）设直线BC所在的直线为y＝m，当x2﹣4x+2＝m时，xB+xC＝4，xB•xC＝2﹣m，
∴|xB﹣xC|＝2，∵M（2，﹣2），∴M点到直线BC的距离为m+2，
∵△BCM是等边三角形，∴|xB﹣xC|＝（m+2），即＝（m+2），
解得m＝1或m＝﹣2（舍），∴三角形的边长为2；
（3）在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，
理由：设E（2，t），F（x，y），
①当AD为菱形对角线时，AE＝DE，
，解得，∴F（﹣1，0）；
②当AE为菱形对角线时，AD＝DE，
∴，解得（舍）或，∴F（1，5）；
③当AF为菱形对角线时，AE＝AD，
∴，解得或，
∴F（3，﹣1+）或（3，﹣5+）；
综上所述：F点坐标为（﹣1，0）或（1，5）或（3，﹣1+）或（3，﹣5+）．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/29 11:47:30；用户：15363988105；邮箱：15363988105；学号：37437978成绩/分
频数/人
频率
60≤x＜70
10
0.1
70≤x＜80
15
b
80≤x＜90
a
0.35
90≤x≤100
40
c
品名
甲蔬菜
乙蔬菜
批发价/（元/kg）
4.8
4
零售价/（元/kg）
7.21
5.6
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