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初中数学湘教版（2024）七年级上册（2024）4.3 角精品测试题
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这是一份初中数学湘教版（2024）七年级上册（2024）4.3 角精品测试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD=3∠DOE，∠COE=α，则∠BOE的度数为( )
A. 360°-4αB. 180°-4αC. αD. 2α−60°
2.如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠DOE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，则∠BOD的度数为
A. 22°B. 32°C. 34°D. 56°
3.如图，已知∠AOB=α，∠BOC=β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是( )
A. 12β
B. 12(α−β)
C. 12α
D. α−12β
4.如图，已知∠AOB=α，∠BOC=β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是( )
A. 12β
B. 12(α−β)
C. α−12β
D. 12α
5.如图，OE平分∠AOB，C为∠AOE内的一点，∠EOC=2∠AOC，∠AOB=114°，则∠EOC的度数为( )．
A. 36°B. 38°C. 45°D. 66°
6.如图，将一块直角三角板的直角顶点O放在直尺的一边CD上，如果∠AOC=28°，那么∠BOD等于( )
A. 72°B. 62°C. 52°D. 28°
7.如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它北偏东30°的方向上，海岛B在它南偏东60°方向上．则下列结论：
①∠NOA=30°；
②图中∠NOB的补角有两个，分别是∠SOB和∠EOA；
③图中有4对互余的角；
④货轮O在海岛B的西偏北30°的方向上．
其中正确结论的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α与∠β一定相等的图形个数共有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9.如图，点O为线段AD外一点，M，C，B，N为AD上任意四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论不正确的是( )
A. 以O为顶点的角共有15个
B. 若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD=5∠COB则∠MON=32(∠MOC+∠BON)
C. 若M为AB中点，N为CD中点，则MN=12(AD−CB)
D. 若MC=CB，MN=ND，则CD=2CN
10.如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论： ①∠1=2∠2; ②∠BOC=3∠2;③∠BOC=90∘+∠1; ④∠BOC=90∘+∠2正确的是( )
A. ① ② ③B. ① ④C. ① ③ ④D. ① ② ④
11.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN // BC交AB于点M，交AC于点N，若BM+CN=9，则线段MN的长为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
12.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，P是AD的中点，则下列结论错误的是( )
A. AD⊥BC
B. CD=BD
C. ∠ACP=∠DCP
D. S△ACP=S△BDP
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知∠AOB=100°，射线OC在同平面内绕点O旋转，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，则∠EOF的度数为______．
14.如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，若∠AOC=115°，则∠BOD=_______．
15.如图，∠AOB=150°，∠COD=40°，OE平分∠AOC，则2∠BOE−∠BOD= °.
16.如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOE，∠COE=90∘，∠COD=15∘，则∠BOD的度数为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，已知∠MON=140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB．
(1)在图1中，若∠AOC=40°，则∠BOC= ______，∠NOB= ______；
(2)在图2中，设∠AOC=α，∠BON=β，请探究α与β之间的数量关系．
18.(本小题8分)
如图，∠AOB和∠AOD分别是∠AOC的余角和补角，且OC是∠BOD的平分线，求∠AOC的度数．
19.(本小题8分)
如图，点A，O，B在一条直线上，且∠AOC=50°，OD平分∠AOC.求∠BOD的度数．
20.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC.若∠ABC=64°，∠AEB=70°．
(1)求∠CAD的度数；
(2)若F为线段BC上的任意一点，当▵EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数．
21.(本小题8分)
如图，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.若∠AOC=30°，求∠DOE的度数．
22.(本小题8分)
已知O是直线AB上的一点，∠COD=90°，OE平分∠BOC．
(1)如图1，射线OC，OD在直线AB的同侧．
①若∠AOC=28°，∠DOE= ______；若∠AOC=32°，∠DOE= ______度；
②猜想∠AOC与∠DOE之间的数量关系；
③若∠AOC=30°，∠BOC的内部有一射线OG，射线OG将∠BOC分为1：4两部分，求∠DOG的度数；
(2)如图2，射线OC，OD在直线AB的异侧，判断∠AOC与∠DOE之间的数量关系与②中的是否相同，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查角的计算，角的平分线，设∠DOE=x，则∠BOD=3x，∠BOE=2x，根据角之间的等量关系求出∠AOD、∠COD、∠COE的大小，然后解得x即可．
【解答】
解：设∠DOE=x，则∠BOD=3x，∠BOE=2x，
∴∠AOD=180°−∠BOD=180°−3x．
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD=12∠AOD=12(180°−3x)=90°−32x.
∵∠COE=∠COD+∠DOE=90°−32x+x=90°−x2，
由题意有90°−x2=α，解得x=180°−2α，∠BOE=2x=360°−4α，
故选：A．
2.【答案】A
【解析】解：∵∠DOE是直角，
∴∠COE=90°，
∵∠COF=34°，
∴∠EOF=90°−34°=56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=56°，
∴∠AOC=56°−34°=22°，
∴∠BOD=∠AOC=22°．
故选：A．
先根据∠COE是直角，∠COF=34°求出∠EOF的度数，再根据OF平分∠AOE求出∠AOC的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、直角的定义等知识是解答此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：因为∠AOB=α，∠BOC=β，
所以∠AOC=α+β，
因为OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
所以∠NOC=12∠BOC=12β，∠MOC=12∠AOC=12(α+β)，
所以∠MON=∠MOC−∠NOC=12(α+β)−12β=12α，
故选：C．
求出∠AOC，根据角平分线定义求出∠NOC和∠MOC，相减即可求出答案．
本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是求出∠NOC和∠MOC的大小．
4.【答案】D
【解析】解：因为∠AOB=α，∠BOC=β，
所以∠AOC=α+β，
因为OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
所以∠NOC=12∠BOC=β2，∠MOC=12∠AOC=α+β2，
所以∠MON=∠MOC−∠NOC=α+β2−β2=α2．
故选：D．
本题主要考查的是角平分线的定义、角的计算，熟练掌握相关知识是解题的关键．
先求得∠AOC的度数，然后再依据角平分线的定义求得∠MOC和∠NOC的度数，最后，再依据∠MON=∠MOC−∠NOC求解即可．
5.【答案】B
【解析】∵OE平分∠AOB，∠AOB=114°，
∴∠AOE=12∠AOB=12×114∘=57∘．
∵∠EOC=2∠AOC，
∴∠EOC=23×57∘=38∘.故选B．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查角的计算和补角，解此题的关键是能根据图形得出∠BOD=180°−∠AOB−∠AOC，数形结合思想的运用．根据图形得出∠BOD=180°−∠AOB−∠AOC，代入求出即可．
【解答】
解：∵∠AOB=90°，∠AOC=28°，
∴∠BOD=180°−∠AOB−∠AOC=180°−90°−28°=62°．
故选B．
7.【答案】D
【解析】【分析】
根据方向角的意义、互余意义结合图形逐个进行判断，最后得出答案．
本题考查方向角的概念，互余的意义以及角度的有关计算等知识，理解方向角的意义和角度的计算是正确解答的前提．
【解答】
解：由方向角意义可知：∠NOA=30°，因此①正确；
根据题意可求出；∠NOB=120°，∠SOB=60°，∠EOA=60°，因此②正确；
图中互余的角有：∠NOA和∠AOE，∠NOA和∠BOS，∠BOE和∠AOE，∠BOE和∠BOS，因此③正确；
根据方向角，海岛B在轮船O南偏东60°方向，即∠BOS=60°，也就是∠BOE=30°，反之货轮O在海岛B的西偏北30°的方向上．因此④正确；
综上所述，正确的个数有4个，
故选：D．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了余角和补角，角的大小比较，熟记概念与性质是解题的关键．
根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等，对各小题分析判断即可得解．
【解答】
解：图①，∠α+∠β=180°−90°，互余，不一定有∠α=∠β；
图②，根据同角的余角相等，∠α=∠β；
图③，∠α+∠β=180°，互补，显然∠α>∠β．
图④，根据等角的补角相等∠α=∠β；
故选：B．
9.【答案】D
【解析】略
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．根据这些定理和性质，依次判断各条结论是否正确即可．
【解答】
解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2=∠DCE−∠DBE=12(∠ACD−∠ABC)=12∠1，
即∠1=2∠2，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)
=180°−12(∠ABC+∠ACB)
=180°−12(180°−∠1)
=90°+12∠1，故②、③错误；
∵∠1=2∠2，
∴∠BOC=90°+12∠1=90°+∠2，故④正确；
综上，正确的是①④．
故选B．
11.【答案】D
【解析】略
12.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD，故A，B选项正确，不符合题意；
∵P是AD的中点，
∴AP=DP，
又∵P到AC的距离小于AP，
∴P到AC的距离小于DP，
∴∠ACP≠∠DCP，
故C选项错误，符合题意；
∵P是AD的中点，
∴S△ACP=S△CDP，
∵BD=CD，
∴S△DBP=S△CDP，
∴S△ACP=S△BDP，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
根据等腰三角形三线合一得AD⊥BC，BD=CD，根据角平分线的性质可得∠ACP≠∠DCP，利用等底等高面积相等可得S△ACP=S△BDP，进而可以解决问题．
本题考查了全等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识点，能熟记等腰三角形的性质是解此题的关键．
13.【答案】50°或130°
【解析】解：当射线OC在∠AOB的内部时，如图，
∵射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=12∠AOC，∠FOC=12∠BOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=12(∠AOC+∠BOC)，
∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=100°，
∴∠EOF=50°；
当射线OC在∠AOB的外部时，
①射线OE，OF中有一个在∠AOB的内部时，如图，
∵射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=12∠AOC，∠FOC=12∠BOC，
∴∠EOF=∠EOC−∠FOC=12(∠AOC−∠BOC)，
∵∠AOC−∠BOC=∠AOB=100°，
∴∠EOF=50°；
②射线OE，OF两个都在∠AOB的外部时，如图，
∵射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=12∠AOC，∠FOC=12∠BOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=12(∠AOC+∠BOC)，
∵∠AOC+∠BOC=360°−∠AOB=260°，
∴∠EOF=130°；
综上，∠EOF的度数为50°或130°．
故答案为：50°或130°．
分射线OC在∠AOB的内部和在∠AOB的外部两种情况讨论解答，画出符合题意的图形，利用已知条件和角平分线的定义分别解答即可．
本题主要考查了角平分线的定义，角的计算，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
14.【答案】65°
【解析】【分析】
本题考查了余角，角的计算的知识，掌握互余的角之和为90°是解决问题的关键．
首先确定这几个角之间的关系，求出∠BOD的度数，即可得出答案．
【解答】
解：∵∠AOC=115°，∠AOB=90°，
∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=25°，
∵∠DOC=90°，
∴∠BOD=90°−∠BOC=90°−25°=65°．
15.【答案】110
【解析】解：设∠EOD=x，则∠EOC=∠EOD+∠COD=x+40°．
因为OE平分∠AOC，所以∠AOE=∠EOC=x+40°．
因为∠AOB=150°，所以∠BOC=∠AOB−∠AOE−∠EOC=70°−2x．
因此2∠BOE−∠BOD=2(∠AOB−∠AOE)−(∠COD+∠BOC)
=2[150°−(x+40°)]−(40°+70°−2x)=110°．
16.【答案】105∘
【解析】略
17.【答案】50° 40°
【解析】解：(1)∵∠AOC与∠BOC互余，
∴∠AOC+∠BOC=90°，
∵∠AOC=40°，
∴∠BOC=90°−∠AOC=50°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB=2∠BOC=100°，
∵∠MON=140°，
∴∠NOB=∠MON−∠MOB=40°，
故答案为：50°；40°；
(2)β=2α−40°，
理由：∵∠AOC与∠BOC互余，
∴∠AOC+∠BOC=90°，
∵∠AOC=α，
∴∠BOC=90°−∠AOC=90°−α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB=2∠BOC=180°−2α，
∵∠MON=140°，
∴∠NOB=∠MON−∠MOB=2α−40°．
∵∠BON=β，
∴β=2α−40°．
(1)根据余角的定义可得：∠AOC+∠BOC=90°，从而可得∠BOC=50°，然后利用角平分线的定义可得∠MOB=100°，从而利用角的和差关系进行计算即可解答；
(2)利用(1)的解题思路进行计算，即可解答．
本题考查了角的计算，余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
18.【答案】解：设∠AOC=x°，则∠AOB=(90−x)°，∠AOD=(180−x)°，
∠BOC=∠AOC−∠AOB=[x−(90−x)]°=(2x−90)°，
∠COD=∠AOD−∠AOC=[(180−x)−x]°=(180−2x)°，
∵OC是∠BOD的平分线，
∴∠BOC=∠COD，
即2x−90=180−2x．
解之，得x=67.5．
即∠AOC=67.5°．
【解析】此题考查了余角和补角，本题体现了方程等代数知识在几何中的应用，设∠AOC=x°，则∠AOB=(90−x)°，∠AOD=(180−x)°.根据∠BOC=∠COD列方程解答即可．
19.【答案】解：∵点A、O、B在一条直线上，
∴∠COB=180°−∠AOC=180°−50°=130°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=12×50°=25°，
∴∠BOD=∠COB+∠COD=130°+25°=155°．
【解析】本题考查的是角平分线的定义，邻补角的性质，角的计算有关知识，根据点A、O、B在一条直线上，利用邻补角的性质求出∠COB，再利用OD平分∠AOC，求出∠COD，然后用∠BOD=∠COB+∠COD即可求解．
20.【答案】解：(1)∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=12∠ABC=32∘．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∵∠C=∠AEB−∠EBC=70∘−32∘=38∘，
∴∠CAD=90∘−∠C=90∘−38∘=52∘．
(2)分两种情况：
①当∠EFC=90∘时，如图 ①所示．
则∠BFE=90∘，
∴∠BEF=90∘−∠EBC=90∘−32∘=58∘;
②当∠FEC=90∘时，如图 ②所示，
则∠EFC=90∘−∠C=90∘−38∘=52∘，
∴∠BEF=∠EFC−∠EBC=52∘−32∘=20∘．
综上所述，∠BEF的度数为58∘或20∘．
【解析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，余角的知识以及分类讨论的思想．
(1)由角平分线的定义得∠EBC=12∠ABC=32∘.再求∠C=∠AEB−∠EBC=70∘−32∘=38∘，即可求得结果；
(2)分当∠EFC=90∘时，当∠FEC=90∘时两种情况讨论，计算求解即可．
21.【答案】解：因为∠AOB=180°，∠COD=90°，
所以∠AOC+∠BOD=90°，
因为∠AOC=30°，
所以∠BOD=60°．
因为∠AOB=180°，∠AOC=30°，
所以∠BOC=150°．
因为OE平分∠BOC，
所以∠BOE=12∠BOC=75°，
所以∠DOE=∠BOE−∠BOD
=75°−60°
=15°．
【解析】本题考查了角平分线的定义、角的和差及角的计算．解决本题的关键是弄清楚要求角和已知角间的关系．因为∠DOE=∠BOE−∠BOD，要求∠DOE的度数，只要求出∠BOE与∠BOD的度数即可，可利用角平分线的定义和平角、直角及互余关系．
22.【答案】14° 16
【解析】解：(1)①∵∠AOC=28°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=152°，
∵OE平分∠BOC．
∴∠COE=∠BOE=12∠BOC=76°，
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−76°=14°，
∵∠AOC=32°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=148°，
∵OE平分∠BOC．
∴∠COE=∠BOE=12∠BOC=74°，
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−74°=16°，
故答案为：14°；16°．
②猜想∠AOC=2∠DOE，
证明：∵∠BOC=180°−∠AOC，OE平分∠BOC．
∴∠COE=∠BOE=12∠BOC=12(180°−∠AOC)=90°−12∠AOC，
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−(90°−12∠AOC)=12∠AOC，
即∠AOC=2∠DOE．
③如图，当OG在OD左侧时，∠COG=14∠BOG，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=150°，
∴∠COG=15∠BOC=30°，
∵∠COD=90°，
∴∠DOG=∠COD−∠COG=90°−30°=60°，
如图，当OG在OD右侧时，∠BOG=14∠BOC，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=150°，
∴∠COG=45∠BOC=120°，
∵∠COD=90°，
∴∠DOG=∠COG−∠COD=120°−90°=30°，
综上可知，∠DOG的度数为60°或30°；
(2)∠AOC与∠DOE之间的数量关系与②中的相同，即∠AOC=2∠DOE，
理由如下：
∵∠BOC=180°−∠AOC，OE平分∠BOC．
∴∠COE=∠BOE=12∠BOC=12(180°−∠AOC)=90°−12∠AOC，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−(90°−12∠AOC)=12∠AOC，
即∠AOC=2∠DOE．
(1)①先求出∠BOC=152°，根据OE平分∠BOC得到∠COE=76°，即可得到∠DOE=∠COD−∠COE=14°，同理可得当∠AOC=32°时，∠DOE=16°；
②猜想∠AOC=2∠DOE，根据∠BOC=180°−∠AOC，OE平分∠BOC即可得到∠COE=∠BOE=90°−12∠AOC，由∠COD=90°，得到∠DOE=12∠AOC，猜想得证；
③分OG在OD左侧和OG在OD右侧两种情况，分别进行求解即可；
(2)根据∠BOC=180°−∠AOC，OE平分∠BOC即可得到∠COE=∠BOE=90°−12∠AOC，由∠COD=90°，得到∠DOE=12∠AOC，结论得证．
本题考查角度的计算，关键涉及角平分线，垂直，邻补角的相关知识，计算过程中注意合理利用已知条件，利用角的和差来求解要求的角．
1.如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD=3∠DOE，∠COE=α，则∠BOE的度数为( )
A. 360°-4αB. 180°-4αC. αD. 2α−60°
2.如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠DOE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，则∠BOD的度数为
A. 22°B. 32°C. 34°D. 56°
3.如图，已知∠AOB=α，∠BOC=β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是( )
A. 12β
B. 12(α−β)
C. 12α
D. α−12β
4.如图，已知∠AOB=α，∠BOC=β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是( )
A. 12β
B. 12(α−β)
C. α−12β
D. 12α
5.如图，OE平分∠AOB，C为∠AOE内的一点，∠EOC=2∠AOC，∠AOB=114°，则∠EOC的度数为( )．
A. 36°B. 38°C. 45°D. 66°
6.如图，将一块直角三角板的直角顶点O放在直尺的一边CD上，如果∠AOC=28°，那么∠BOD等于( )
A. 72°B. 62°C. 52°D. 28°
7.如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它北偏东30°的方向上，海岛B在它南偏东60°方向上．则下列结论：
①∠NOA=30°；
②图中∠NOB的补角有两个，分别是∠SOB和∠EOA；
③图中有4对互余的角；
④货轮O在海岛B的西偏北30°的方向上．
其中正确结论的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α与∠β一定相等的图形个数共有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9.如图，点O为线段AD外一点，M，C，B，N为AD上任意四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论不正确的是( )
A. 以O为顶点的角共有15个
B. 若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD=5∠COB则∠MON=32(∠MOC+∠BON)
C. 若M为AB中点，N为CD中点，则MN=12(AD−CB)
D. 若MC=CB，MN=ND，则CD=2CN
10.如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论： ①∠1=2∠2; ②∠BOC=3∠2;③∠BOC=90∘+∠1; ④∠BOC=90∘+∠2正确的是( )
A. ① ② ③B. ① ④C. ① ③ ④D. ① ② ④
11.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN // BC交AB于点M，交AC于点N，若BM+CN=9，则线段MN的长为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
12.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，P是AD的中点，则下列结论错误的是( )
A. AD⊥BC
B. CD=BD
C. ∠ACP=∠DCP
D. S△ACP=S△BDP
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知∠AOB=100°，射线OC在同平面内绕点O旋转，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，则∠EOF的度数为______．
14.如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，若∠AOC=115°，则∠BOD=_______．
15.如图，∠AOB=150°，∠COD=40°，OE平分∠AOC，则2∠BOE−∠BOD= °.
16.如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOE，∠COE=90∘，∠COD=15∘，则∠BOD的度数为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，已知∠MON=140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB．
(1)在图1中，若∠AOC=40°，则∠BOC= ______，∠NOB= ______；
(2)在图2中，设∠AOC=α，∠BON=β，请探究α与β之间的数量关系．
18.(本小题8分)
如图，∠AOB和∠AOD分别是∠AOC的余角和补角，且OC是∠BOD的平分线，求∠AOC的度数．
19.(本小题8分)
如图，点A，O，B在一条直线上，且∠AOC=50°，OD平分∠AOC.求∠BOD的度数．
20.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC.若∠ABC=64°，∠AEB=70°．
(1)求∠CAD的度数；
(2)若F为线段BC上的任意一点，当▵EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数．
21.(本小题8分)
如图，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.若∠AOC=30°，求∠DOE的度数．
22.(本小题8分)
已知O是直线AB上的一点，∠COD=90°，OE平分∠BOC．
(1)如图1，射线OC，OD在直线AB的同侧．
①若∠AOC=28°，∠DOE= ______；若∠AOC=32°，∠DOE= ______度；
②猜想∠AOC与∠DOE之间的数量关系；
③若∠AOC=30°，∠BOC的内部有一射线OG，射线OG将∠BOC分为1：4两部分，求∠DOG的度数；
(2)如图2，射线OC，OD在直线AB的异侧，判断∠AOC与∠DOE之间的数量关系与②中的是否相同，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查角的计算，角的平分线，设∠DOE=x，则∠BOD=3x，∠BOE=2x，根据角之间的等量关系求出∠AOD、∠COD、∠COE的大小，然后解得x即可．
【解答】
解：设∠DOE=x，则∠BOD=3x，∠BOE=2x，
∴∠AOD=180°−∠BOD=180°−3x．
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD=12∠AOD=12(180°−3x)=90°−32x.
∵∠COE=∠COD+∠DOE=90°−32x+x=90°−x2，
由题意有90°−x2=α，解得x=180°−2α，∠BOE=2x=360°−4α，
故选：A．
2.【答案】A
【解析】解：∵∠DOE是直角，
∴∠COE=90°，
∵∠COF=34°，
∴∠EOF=90°−34°=56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=56°，
∴∠AOC=56°−34°=22°，
∴∠BOD=∠AOC=22°．
故选：A．
先根据∠COE是直角，∠COF=34°求出∠EOF的度数，再根据OF平分∠AOE求出∠AOC的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、直角的定义等知识是解答此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：因为∠AOB=α，∠BOC=β，
所以∠AOC=α+β，
因为OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
所以∠NOC=12∠BOC=12β，∠MOC=12∠AOC=12(α+β)，
所以∠MON=∠MOC−∠NOC=12(α+β)−12β=12α，
故选：C．
求出∠AOC，根据角平分线定义求出∠NOC和∠MOC，相减即可求出答案．
本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是求出∠NOC和∠MOC的大小．
4.【答案】D
【解析】解：因为∠AOB=α，∠BOC=β，
所以∠AOC=α+β，
因为OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
所以∠NOC=12∠BOC=β2，∠MOC=12∠AOC=α+β2，
所以∠MON=∠MOC−∠NOC=α+β2−β2=α2．
故选：D．
本题主要考查的是角平分线的定义、角的计算，熟练掌握相关知识是解题的关键．
先求得∠AOC的度数，然后再依据角平分线的定义求得∠MOC和∠NOC的度数，最后，再依据∠MON=∠MOC−∠NOC求解即可．
5.【答案】B
【解析】∵OE平分∠AOB，∠AOB=114°，
∴∠AOE=12∠AOB=12×114∘=57∘．
∵∠EOC=2∠AOC，
∴∠EOC=23×57∘=38∘.故选B．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查角的计算和补角，解此题的关键是能根据图形得出∠BOD=180°−∠AOB−∠AOC，数形结合思想的运用．根据图形得出∠BOD=180°−∠AOB−∠AOC，代入求出即可．
【解答】
解：∵∠AOB=90°，∠AOC=28°，
∴∠BOD=180°−∠AOB−∠AOC=180°−90°−28°=62°．
故选B．
7.【答案】D
【解析】【分析】
根据方向角的意义、互余意义结合图形逐个进行判断，最后得出答案．
本题考查方向角的概念，互余的意义以及角度的有关计算等知识，理解方向角的意义和角度的计算是正确解答的前提．
【解答】
解：由方向角意义可知：∠NOA=30°，因此①正确；
根据题意可求出；∠NOB=120°，∠SOB=60°，∠EOA=60°，因此②正确；
图中互余的角有：∠NOA和∠AOE，∠NOA和∠BOS，∠BOE和∠AOE，∠BOE和∠BOS，因此③正确；
根据方向角，海岛B在轮船O南偏东60°方向，即∠BOS=60°，也就是∠BOE=30°，反之货轮O在海岛B的西偏北30°的方向上．因此④正确；
综上所述，正确的个数有4个，
故选：D．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了余角和补角，角的大小比较，熟记概念与性质是解题的关键．
根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等，对各小题分析判断即可得解．
【解答】
解：图①，∠α+∠β=180°−90°，互余，不一定有∠α=∠β；
图②，根据同角的余角相等，∠α=∠β；
图③，∠α+∠β=180°，互补，显然∠α>∠β．
图④，根据等角的补角相等∠α=∠β；
故选：B．
9.【答案】D
【解析】略
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．根据这些定理和性质，依次判断各条结论是否正确即可．
【解答】
解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2=∠DCE−∠DBE=12(∠ACD−∠ABC)=12∠1，
即∠1=2∠2，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)
=180°−12(∠ABC+∠ACB)
=180°−12(180°−∠1)
=90°+12∠1，故②、③错误；
∵∠1=2∠2，
∴∠BOC=90°+12∠1=90°+∠2，故④正确；
综上，正确的是①④．
故选B．
11.【答案】D
【解析】略
12.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD，故A，B选项正确，不符合题意；
∵P是AD的中点，
∴AP=DP，
又∵P到AC的距离小于AP，
∴P到AC的距离小于DP，
∴∠ACP≠∠DCP，
故C选项错误，符合题意；
∵P是AD的中点，
∴S△ACP=S△CDP，
∵BD=CD，
∴S△DBP=S△CDP，
∴S△ACP=S△BDP，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
根据等腰三角形三线合一得AD⊥BC，BD=CD，根据角平分线的性质可得∠ACP≠∠DCP，利用等底等高面积相等可得S△ACP=S△BDP，进而可以解决问题．
本题考查了全等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识点，能熟记等腰三角形的性质是解此题的关键．
13.【答案】50°或130°
【解析】解：当射线OC在∠AOB的内部时，如图，
∵射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=12∠AOC，∠FOC=12∠BOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=12(∠AOC+∠BOC)，
∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=100°，
∴∠EOF=50°；
当射线OC在∠AOB的外部时，
①射线OE，OF中有一个在∠AOB的内部时，如图，
∵射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=12∠AOC，∠FOC=12∠BOC，
∴∠EOF=∠EOC−∠FOC=12(∠AOC−∠BOC)，
∵∠AOC−∠BOC=∠AOB=100°，
∴∠EOF=50°；
②射线OE，OF两个都在∠AOB的外部时，如图，
∵射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=12∠AOC，∠FOC=12∠BOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=12(∠AOC+∠BOC)，
∵∠AOC+∠BOC=360°−∠AOB=260°，
∴∠EOF=130°；
综上，∠EOF的度数为50°或130°．
故答案为：50°或130°．
分射线OC在∠AOB的内部和在∠AOB的外部两种情况讨论解答，画出符合题意的图形，利用已知条件和角平分线的定义分别解答即可．
本题主要考查了角平分线的定义，角的计算，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
14.【答案】65°
【解析】【分析】
本题考查了余角，角的计算的知识，掌握互余的角之和为90°是解决问题的关键．
首先确定这几个角之间的关系，求出∠BOD的度数，即可得出答案．
【解答】
解：∵∠AOC=115°，∠AOB=90°，
∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=25°，
∵∠DOC=90°，
∴∠BOD=90°−∠BOC=90°−25°=65°．
15.【答案】110
【解析】解：设∠EOD=x，则∠EOC=∠EOD+∠COD=x+40°．
因为OE平分∠AOC，所以∠AOE=∠EOC=x+40°．
因为∠AOB=150°，所以∠BOC=∠AOB−∠AOE−∠EOC=70°−2x．
因此2∠BOE−∠BOD=2(∠AOB−∠AOE)−(∠COD+∠BOC)
=2[150°−(x+40°)]−(40°+70°−2x)=110°．
16.【答案】105∘
【解析】略
17.【答案】50° 40°
【解析】解：(1)∵∠AOC与∠BOC互余，
∴∠AOC+∠BOC=90°，
∵∠AOC=40°，
∴∠BOC=90°−∠AOC=50°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB=2∠BOC=100°，
∵∠MON=140°，
∴∠NOB=∠MON−∠MOB=40°，
故答案为：50°；40°；
(2)β=2α−40°，
理由：∵∠AOC与∠BOC互余，
∴∠AOC+∠BOC=90°，
∵∠AOC=α，
∴∠BOC=90°−∠AOC=90°−α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB=2∠BOC=180°−2α，
∵∠MON=140°，
∴∠NOB=∠MON−∠MOB=2α−40°．
∵∠BON=β，
∴β=2α−40°．
(1)根据余角的定义可得：∠AOC+∠BOC=90°，从而可得∠BOC=50°，然后利用角平分线的定义可得∠MOB=100°，从而利用角的和差关系进行计算即可解答；
(2)利用(1)的解题思路进行计算，即可解答．
本题考查了角的计算，余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
18.【答案】解：设∠AOC=x°，则∠AOB=(90−x)°，∠AOD=(180−x)°，
∠BOC=∠AOC−∠AOB=[x−(90−x)]°=(2x−90)°，
∠COD=∠AOD−∠AOC=[(180−x)−x]°=(180−2x)°，
∵OC是∠BOD的平分线，
∴∠BOC=∠COD，
即2x−90=180−2x．
解之，得x=67.5．
即∠AOC=67.5°．
【解析】此题考查了余角和补角，本题体现了方程等代数知识在几何中的应用，设∠AOC=x°，则∠AOB=(90−x)°，∠AOD=(180−x)°.根据∠BOC=∠COD列方程解答即可．
19.【答案】解：∵点A、O、B在一条直线上，
∴∠COB=180°−∠AOC=180°−50°=130°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=12×50°=25°，
∴∠BOD=∠COB+∠COD=130°+25°=155°．
【解析】本题考查的是角平分线的定义，邻补角的性质，角的计算有关知识，根据点A、O、B在一条直线上，利用邻补角的性质求出∠COB，再利用OD平分∠AOC，求出∠COD，然后用∠BOD=∠COB+∠COD即可求解．
20.【答案】解：(1)∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=12∠ABC=32∘．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∵∠C=∠AEB−∠EBC=70∘−32∘=38∘，
∴∠CAD=90∘−∠C=90∘−38∘=52∘．
(2)分两种情况：
①当∠EFC=90∘时，如图 ①所示．
则∠BFE=90∘，
∴∠BEF=90∘−∠EBC=90∘−32∘=58∘;
②当∠FEC=90∘时，如图 ②所示，
则∠EFC=90∘−∠C=90∘−38∘=52∘，
∴∠BEF=∠EFC−∠EBC=52∘−32∘=20∘．
综上所述，∠BEF的度数为58∘或20∘．
【解析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，余角的知识以及分类讨论的思想．
(1)由角平分线的定义得∠EBC=12∠ABC=32∘.再求∠C=∠AEB−∠EBC=70∘−32∘=38∘，即可求得结果；
(2)分当∠EFC=90∘时，当∠FEC=90∘时两种情况讨论，计算求解即可．
21.【答案】解：因为∠AOB=180°，∠COD=90°，
所以∠AOC+∠BOD=90°，
因为∠AOC=30°，
所以∠BOD=60°．
因为∠AOB=180°，∠AOC=30°，
所以∠BOC=150°．
因为OE平分∠BOC，
所以∠BOE=12∠BOC=75°，
所以∠DOE=∠BOE−∠BOD
=75°−60°
=15°．
【解析】本题考查了角平分线的定义、角的和差及角的计算．解决本题的关键是弄清楚要求角和已知角间的关系．因为∠DOE=∠BOE−∠BOD，要求∠DOE的度数，只要求出∠BOE与∠BOD的度数即可，可利用角平分线的定义和平角、直角及互余关系．
22.【答案】14° 16
【解析】解：(1)①∵∠AOC=28°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=152°，
∵OE平分∠BOC．
∴∠COE=∠BOE=12∠BOC=76°，
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−76°=14°，
∵∠AOC=32°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=148°，
∵OE平分∠BOC．
∴∠COE=∠BOE=12∠BOC=74°，
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−74°=16°，
故答案为：14°；16°．
②猜想∠AOC=2∠DOE，
证明：∵∠BOC=180°−∠AOC，OE平分∠BOC．
∴∠COE=∠BOE=12∠BOC=12(180°−∠AOC)=90°−12∠AOC，
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−(90°−12∠AOC)=12∠AOC，
即∠AOC=2∠DOE．
③如图，当OG在OD左侧时，∠COG=14∠BOG，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=150°，
∴∠COG=15∠BOC=30°，
∵∠COD=90°，
∴∠DOG=∠COD−∠COG=90°−30°=60°，
如图，当OG在OD右侧时，∠BOG=14∠BOC，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=150°，
∴∠COG=45∠BOC=120°，
∵∠COD=90°，
∴∠DOG=∠COG−∠COD=120°−90°=30°，
综上可知，∠DOG的度数为60°或30°；
(2)∠AOC与∠DOE之间的数量关系与②中的相同，即∠AOC=2∠DOE，
理由如下：
∵∠BOC=180°−∠AOC，OE平分∠BOC．
∴∠COE=∠BOE=12∠BOC=12(180°−∠AOC)=90°−12∠AOC，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−(90°−12∠AOC)=12∠AOC，
即∠AOC=2∠DOE．
(1)①先求出∠BOC=152°，根据OE平分∠BOC得到∠COE=76°，即可得到∠DOE=∠COD−∠COE=14°，同理可得当∠AOC=32°时，∠DOE=16°；
②猜想∠AOC=2∠DOE，根据∠BOC=180°−∠AOC，OE平分∠BOC即可得到∠COE=∠BOE=90°−12∠AOC，由∠COD=90°，得到∠DOE=12∠AOC，猜想得证；
③分OG在OD左侧和OG在OD右侧两种情况，分别进行求解即可；
(2)根据∠BOC=180°−∠AOC，OE平分∠BOC即可得到∠COE=∠BOE=90°−12∠AOC，由∠COD=90°，得到∠DOE=12∠AOC，结论得证．
本题考查角度的计算，关键涉及角平分线，垂直，邻补角的相关知识，计算过程中注意合理利用已知条件，利用角的和差来求解要求的角．
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