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【精品同步练习】全套专题数学2023-2024：雅礼教育集团七年级下学期期末数学试卷含解析
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这是一份【精品同步练习】全套专题数学2023-2024：雅礼教育集团七年级下学期期末数学试卷含解析，共17页。试卷主要包含了单项选择题，羊二，直金十九两；牛二，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）16的算术平方根为（ ）
A．16B．±16C．4D．±4
【分析】根据正的平方根是算术平方根，进行作答即可．
【解答】解：16的算术平方根为4．
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根，掌握正的平方根是算术平方根是关键．
2．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据坐标系中各个象限内点的坐标的符号以及坐标轴上的点的特征即可判断．
【解答】解：A．（2，3）在第一象限，故本选项不合题意；
B．（2，﹣3）在第四象限，故本选项不合题意；
C．（﹣2，3）在第二第象限，故本选项符合题意；
D．（﹣2，﹣3）在第三象限，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．（3分）下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ）
A．调查一批圆珠笔芯的使用寿命
B．调查长沙市湘江流域的水质情况
C．调查某学校初一2301班学生的视力情况
D．调查长沙市中学生的课外阅读时间
【分析】根据具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
【解答】解：A．调查一批圆珠笔芯的使用寿命，应采用抽样调查，不符合题意；
B．调查长沙市湘江流域的水质情况，应采用抽样调查，不符合题意；
C．调查某学校初一2301班学生的视力情况，人数不多，应采用普查，符合题意；
D．调查长沙市中学生的课外阅读时间，应采用抽样调查，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是普查和抽样调查的选择，掌握调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来是关键．
4．（3分）如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．三角形的稳定性
C．三角形的任意两边之和大于第三边
D．三角形的内角和等于180°
【分析】学校门口设置的移动拒马护栏做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案．
【解答】解：因为学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，
所以这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，掌握“三角形具有稳定性”是解题的关键．
5．（3分）已知一个三角形的两边长分别为6cm和12cm，则该三角形的第三边的长可能是（ ）
A．4cmB．6cmC．10cmD．20cm
【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来求出6＜x＜18，再结合选项的值，来进行作答即可．
【解答】解：设第三边的长为x，
∵一个三角形的两边长分别为6cm和12cm，
∴12﹣6＜x＜12+6，
即6＜x＜18，
观察A、B、C、D四个选项，只有C选项的10cm在6＜x＜18范围内，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
6．（3分）如果a＞b，那么下列不等式中不成立的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3B．3+a＞3+bC．﹣3a＞﹣3bD．
【分析】根据不等式的性质对选项逐个判断即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴a﹣3＞b﹣3，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，A正确，不符合题意；
3+a＞3+b，等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，B正确，不符合题意；
﹣3a＜﹣3b，不等号两边同时乘以或除以一个小于零的数，不等号方向改变，C错误，符合题意；
，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的有关性质．
7．（3分）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出多边形的边数．
【解答】解：∵360÷40＝9，
∴这个多边形的边数是9．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
8．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．所有实数不是正数就是负数
B．三角形的三条高都在三角形的内部
C．相等的角是对顶角
D．如果两个锐角的和为90°，那么这两个锐角互为余角
【分析】根据实数的分类、对顶角的概念、三角形的高、直角三角形的性质判断即可．
【解答】解：A、所有实数包括正数、负数和零，故本选项说法不正确，不符合题意；
B、锐角三角形的三条高都在三角形的内部，故本选项说法不正确，不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法不正确，不符合题意；
D、如果两个锐角的和为90°，那么这两个锐角互为余角，说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9．（3分）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛x两银子，1只羊y两银子，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵5头牛，2只羊共19两银子，
∴5x+2y＝19；
∵2头牛，3只羊共12两银子，
∴2x+3y＝12．
∴可列方程组为．
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象初二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（3分）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，测量得∠1＝50°，∠2＝152°，则∠A为（ ）
A．40°B．22°C．30°D．52°
【分析】利用四边形的内角和定理求出∠B+∠C，再利用三角形的内角和定理可得结果．
【解答】解：∵∠1＝50°，∠2＝152°，
∴∠B+∠C＝360°﹣∠1﹣∠2＝360°﹣50°﹣152°＝158°，
∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣158°＝22°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出∠B+∠C的度数．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）比较大小： ＞ 2．（填“＜”或“＞”）
【分析】先把2写成，然后根据被开方数大的算术平方根也大即可得出比较结果．
【解答】解：∵，
又∵，
∴，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较，是一道基础题．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点M（﹣2，m﹣3）在x轴上，则m＝ 3 ．
【分析】根据在x轴上的点纵坐标为0进行求解即可．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点M（﹣2，m﹣3）在x轴上，
∴m﹣3＝0，
∴m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了点的坐标，熟知x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键．
13．（3分）若，是关于x，y的二元一次方程ax+2y＝3的一组解，则a＝ ．
【分析】将代入ax+2y＝3，即可求得a．
【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程ax+2y＝3的一组解，
∴2a+2×1＝3，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，掌握能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解是解题的关键．
14．（3分）如图，∠ACD是△ABC的一个外角，若∠ACD＝110°，∠B＝45°，则∠A＝ 65° ．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠ACD＝110°，∠B＝45°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝110°﹣45°＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
15．（3分）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是 10或11 ．
【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
∵此时能组成三角形，
∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
此时能组成三角形，
所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
16．（3分）如果关于x的不等式组无解，则常数a的取值范围是 a≤2 ．
【分析】根据不等式组解集的表示方法，可得答案．
【解答】解：，
∵不等式组无解，
∴a+2≥3a﹣2．
解得：a≤2．
故答案为：a≤2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：．
【分析】分别化简各项后，再进行加减运算即可
【解答】解：
＝
＝．
【点评】本题主要考查实数的混合运算，掌握实数的混合运算法则是关键．
18．（6分）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＞﹣1，
解不等式②，得：x≤2，
∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
其解集在数轴上表示如下：
．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
19．（6分）在三角形这一章的学习中我们知道：三角形的内角和是180°．这个结论的证明方法有很多．如图1，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．分析：通过画平行线，将∠A、∠B、∠C作等角代换，使各角之和恰为一个平角，依辅助线不同而得多种证法．
（1）证明：如图2，延长BC到D，过点C作CE∥BA．
∵BA∥CE，
∴∠B＝ ∠1 （两直线平行，同位角相等），
∠A＝∠2（ 两直线平行，内错角相等 ），
又∵∠BCD＝∠ACB+∠2+∠1＝180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代换）．
（2）证明的方法中主要体现了 A 的数学思想；
A．转化
B．分类
C．类比
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠1，∠A＝∠2，再由∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°（平角的定义）即可证明∠A+∠B+∠ACB＝180°；
（2）结合（1）的过程，得出证明的方法中主要体现了转化的数学思想，即可作答．
【解答】解：（1）∵BA∥CE，
∴∠B＝∠1（两直线平行，同位角相等），
∠A＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代换）．
故答案为：∠1；两直线平行，内错角相等；
（2）∵通过画平行线，将∠A、∠B、∠C作等角代换，使各角之和恰为一个平角，
∴结合（1）的过程，得出证明的方法中主要体现了转化的数学思想．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
20．（8分）体育是长沙市中考的必考科目，某校根据实际情况，决定主要开设A：立定跳远；B：跑步；C：实心球；D：跳绳这四种运动项目．为了解学生喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的条形统计图和扇形统计图，请你结合图中解答下列问题：
（1）本次调查学生共 300 人；将条形图补充完整；
（2）样本中喜欢C项目的人数所在扇形统计图中的圆心角的度数是 72° ；
（3）如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“立定跳远”这种活动的学生约有多少人？
【分析】（1）根据C项目的人数和占比即可求得样本容量；B项目的人数等于样本容量减去A，C，D项目的人数，再补全图形即可；
（2）根据喜欢C项目的人数所占百分比乘以360°即可得到喜欢C项目的人数所在扇形统计图中的圆心角的度数；
（3）运用样本估计总体即可求得该校选择“立定跳远”这种活动的学生数．
【解答】解：（1）C项目有60人，占比20%，
本次调查学生人数为：60÷20%＝300（人）．
B项目人数为：300﹣120﹣60﹣90＝30（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：300；
（2）360°×20%＝72°，
故答案为：72°；
（3）（人），
答：估计该校选择“立定跳远”这种活动的学生约有800人．
【点评】本题主要考查了条形统计图，用样本估计总体，扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（8分）把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得△A1B1C1，解答下列各题：
（1）写出点A，B，C的坐标；
（2）在图上画出△A1B1C1；
（3）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）利用已知图象，直接得出各点坐标即可；
（2）把△ABC的各顶点向上平移2个单位，再向右平移2个单位，顺次连接各顶点即为△A1B1C1；
（3）利用三角形的面积计算公式解答即可．
【解答】解：（1）根据图象得出：
点A、B、C的坐标为：A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣2）；
（2）△A1B1C1如图所示：
（3）△A1B1C1的面积＝×6×4＝12．
【点评】此题主要考查了作图﹣平移变换，三角形的面积，正确得出平移后对应点位置是解答本题的关键．
22．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．
（1）若∠B＝32°，∠C＝60°，求：
①∠DAC的度数；
②∠DAE的度数．
（2）若AB⊥AC，AC＝6，AB＝8，BC＝10，求AD的长．
【分析】（1）先根据三角形内角和性质得∠BAC＝88°，再结合角平分线的定义得∠EAC＝44°，再结合AD是高，得出∠DAC的度数，再根据角的关系进行运算得出∠DAE的度数，即可作答；
（2）运用等面积法进行列式，代入数值进行化简，即可作答．
【解答】解：（1）∵∠B＝32°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝88°，
∵AE是角平分线，
∴，
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝30°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝14°；
（2）∵AB⊥AC，AC＝6，AB＝8，BC＝10，
∴，
即AB×AC＝BC×AD，
∴．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，三角形的面积，关键是三角形面积公式的应用．
23．（8分）为着力提升劳动课程教育，加强学生实践能力，某中学开展了“空中蔬菜乐园”实践课．现需租甲、乙两种型号车辆运输蔬菜秧苗，已知2辆甲型运输车与3辆乙型运输车一次共运输蔬菜秧苗31袋，5辆甲型运输车与6辆乙型运输车一次共运输蔬菜秧苗70袋．
（1）一辆甲型运输车和一辆乙型运输车一次各运输蔬菜秧苗多少袋？
（2）该学校决定租甲、乙两种型号运输车共20辆参与运输蔬菜秧苗，若本次运输蔬菜秧苗总量不小于148袋，且乙型运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？
【分析】（1）根据2辆甲型运输车运输蔬菜秧苗加上3辆乙型运输车运输蔬菜秧苗等于31袋，5辆甲型运输车运输蔬菜秧苗加上6辆乙型运输车运输蔬菜秧苗等于70袋，列出方程组，求出解即可；
（2）先设两种型号车的辆数，并根据不等关系列出不等式组，再求出解集，讨论方案即可．
【解答】解：（1）设一辆甲型运输车一次运输x袋，一辆乙型运输车一次运输y袋，
，
解得．
即一辆甲型运输车一次运输8袋，一辆乙型运输车一次运输5袋；
（2）由题意可得，
设该学校租甲、乙两种型号的运输车分别为a辆、（20﹣a）辆，
，
解得16≤a≤18，
则a＝16，17，18，
所以20﹣a＝4，3，2．
故有三种租车方案，
第一种方案：甲型运输车18辆，乙型运输车2辆；
第二种方案：甲型运输车17辆，乙型运输车3辆；
第三种方案：甲型运输车16辆，乙型运输车4辆．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，关键是根据题意找到等量关系式和不等量关系式．
24．（10分）在平面直角坐标系中，已知点A（m，n）（m＞0，n＞0），B（b，0），C（c，0）．
（1）如图1，若正数b的立方根等于它本身，，则点A坐标为 （2，4） ，线段BC长度为 5 ，△ABC的面积为 10 ；
（2）在（1）的条件下，若点D（k，4k﹣4）为射线AB上一点，且满足，求此时点D的坐标；
（3）点D为线段AB上一点（不与A，B两点重合），点E为线段AC上一点（不与A，C两点重合）；
①如图2，若DE∥BC，点P是x轴上点B左侧的一点，连接PE，∠DEP的角平分线和∠PCA的角平分线交于点Q，求∠EQC与∠PEC的数量关系；
②如图3，若，，连接CD，BE，交于点F，记△ADE的面积为S1，△BDF的面积为S2，△CFE的面积为S3，那么是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【分析】（1）若正数b的立方根等于它本身，则b＝1，，则m＝2，n＝4，c＝6，进而求解；
（2），则|yD|＝yA＝2，即可求解；
（3）①由QH∥BC，得到∠EQC＝α+β，由AD∥BC，得到∠PEC+2α+2β＝180°，即可求解；
②由AD＝AB，得到S2+S＝S1；由AE＝AC，同理可得：S+S3＝2S1，即可求解．
【解答】解：（1）若正数b的立方根等于它本身，则b＝1，
∵，则m＝2，n＝4，c＝6；
故点A的坐标为：（2，4）、点B（1，0），点C（6，0），
则BC＝6﹣1＝5，△ABC的面积＝×BC×yA＝×5×4＝10，
故答案为：（2，4），5，10；
（2）∵，则|yD|＝yA＝2，
即|4k﹣4|＝2，
解得：k＝或，
则点D（，﹣2）或（，2）；
（3）①设∠DEQ＝∠PEQ＝α，∠ACQ＝∠PCQ＝β，
过点Q作射线QH∥BC，则∠HQC＝∠PCQ＝β，∠EQH＝∠DEQ＝α，
则∠EQC＝α+β①，
∵AD∥BC，
则∠DEC+∠PCE＝180°，即∠PEC+2α+2β＝180°②，
由①②得：∠EQC+∠PEC＝90°；
②为定值，理由：
设S△DEF＝S，
∵AD＝AB，
则S△ADE＝S△DEB，即S2+S＝S1③；
∵AE＝AC，
同理可得：S+S3＝2S1④，
由③④得：S2﹣S2＝S1，
即为定值1．
【点评】本题考查的是三角形综合题，涉及到面积的计算、平行线的性质等，分类求解是解题的关键．
25．（12分）不妨约定：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c为常数，且abc≠0），
若系数满足a+b＝2c，则称这个方程为“开心”方程．例如：方程4x+2y＝3，其中a＝4，b＝2，c＝3，满足a+b＝2c，且abc≠0，则方程4x+2y＝3是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组．根据上述规定，回答下列问题：
（1）判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）；
①4x+y＝10 不是 ；② 是 ．③x﹣y＝0 不是 ；
（2）若关于x，y的“开心”方程组的解为，求p﹣q的值．
（3）关于x，y的“开心”方程组满足n＜k≤m，其中n，m，k为整数，t为常数且t+6≠0，求m的值，并求此“开心方程组”的解．
【分析】（1）根据“开心”方程的定义求解即可；
（2）解方程组得，代入原方程组得，求出p﹣q＝0；
（3）根据“开心”方程的定义将方程组整理为，解得，由n＜k≤m求得m＝2，得到代入原方程可求解，
【解答】解：（1）对于方程4x+y＝10，a＝4，b＝1，c＝10，
∵a+b＝5≠2×10＝2c，
∴方程4x+y＝10不是开心方程；
对于方程，，
∵
∴方程是开心方程；
对于方程x﹣y＝0，c＝0，所以，方程x﹣y＝0不是开心方程；
故答案为：不是；是；不是；
（2）由题意可知：，
解得：，
将代回原方程组得：，
由①+②得：，
∵，
∴p﹣q＝0；
（3）由题可知：，
化简可得：．
解得，
∵n＜k≤m，
∴2﹣3m＜2m﹣2≤m，
解得，
∵m为整数，
∴m＝1或2
根据新定义，所以舍去1，则m＝2，
∴，
代入原方程得：，
消去y化简可得2（t+6）x＝t+6；
∵t≠﹣6，
所以：“开心方程组”的解为．
【点评】本题主要考查二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/7 9:32:14；用户：高老师；邮箱：13207316879；学号：50587240
一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）16的算术平方根为（ ）
A．16B．±16C．4D．±4
【分析】根据正的平方根是算术平方根，进行作答即可．
【解答】解：16的算术平方根为4．
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根，掌握正的平方根是算术平方根是关键．
2．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据坐标系中各个象限内点的坐标的符号以及坐标轴上的点的特征即可判断．
【解答】解：A．（2，3）在第一象限，故本选项不合题意；
B．（2，﹣3）在第四象限，故本选项不合题意；
C．（﹣2，3）在第二第象限，故本选项符合题意；
D．（﹣2，﹣3）在第三象限，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．（3分）下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ）
A．调查一批圆珠笔芯的使用寿命
B．调查长沙市湘江流域的水质情况
C．调查某学校初一2301班学生的视力情况
D．调查长沙市中学生的课外阅读时间
【分析】根据具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
【解答】解：A．调查一批圆珠笔芯的使用寿命，应采用抽样调查，不符合题意；
B．调查长沙市湘江流域的水质情况，应采用抽样调查，不符合题意；
C．调查某学校初一2301班学生的视力情况，人数不多，应采用普查，符合题意；
D．调查长沙市中学生的课外阅读时间，应采用抽样调查，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是普查和抽样调查的选择，掌握调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来是关键．
4．（3分）如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．三角形的稳定性
C．三角形的任意两边之和大于第三边
D．三角形的内角和等于180°
【分析】学校门口设置的移动拒马护栏做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案．
【解答】解：因为学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，
所以这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，掌握“三角形具有稳定性”是解题的关键．
5．（3分）已知一个三角形的两边长分别为6cm和12cm，则该三角形的第三边的长可能是（ ）
A．4cmB．6cmC．10cmD．20cm
【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来求出6＜x＜18，再结合选项的值，来进行作答即可．
【解答】解：设第三边的长为x，
∵一个三角形的两边长分别为6cm和12cm，
∴12﹣6＜x＜12+6，
即6＜x＜18，
观察A、B、C、D四个选项，只有C选项的10cm在6＜x＜18范围内，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
6．（3分）如果a＞b，那么下列不等式中不成立的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3B．3+a＞3+bC．﹣3a＞﹣3bD．
【分析】根据不等式的性质对选项逐个判断即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴a﹣3＞b﹣3，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，A正确，不符合题意；
3+a＞3+b，等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，B正确，不符合题意；
﹣3a＜﹣3b，不等号两边同时乘以或除以一个小于零的数，不等号方向改变，C错误，符合题意；
，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的有关性质．
7．（3分）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出多边形的边数．
【解答】解：∵360÷40＝9，
∴这个多边形的边数是9．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
8．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．所有实数不是正数就是负数
B．三角形的三条高都在三角形的内部
C．相等的角是对顶角
D．如果两个锐角的和为90°，那么这两个锐角互为余角
【分析】根据实数的分类、对顶角的概念、三角形的高、直角三角形的性质判断即可．
【解答】解：A、所有实数包括正数、负数和零，故本选项说法不正确，不符合题意；
B、锐角三角形的三条高都在三角形的内部，故本选项说法不正确，不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法不正确，不符合题意；
D、如果两个锐角的和为90°，那么这两个锐角互为余角，说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9．（3分）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛x两银子，1只羊y两银子，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵5头牛，2只羊共19两银子，
∴5x+2y＝19；
∵2头牛，3只羊共12两银子，
∴2x+3y＝12．
∴可列方程组为．
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象初二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（3分）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，测量得∠1＝50°，∠2＝152°，则∠A为（ ）
A．40°B．22°C．30°D．52°
【分析】利用四边形的内角和定理求出∠B+∠C，再利用三角形的内角和定理可得结果．
【解答】解：∵∠1＝50°，∠2＝152°，
∴∠B+∠C＝360°﹣∠1﹣∠2＝360°﹣50°﹣152°＝158°，
∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣158°＝22°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出∠B+∠C的度数．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）比较大小： ＞ 2．（填“＜”或“＞”）
【分析】先把2写成，然后根据被开方数大的算术平方根也大即可得出比较结果．
【解答】解：∵，
又∵，
∴，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较，是一道基础题．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点M（﹣2，m﹣3）在x轴上，则m＝ 3 ．
【分析】根据在x轴上的点纵坐标为0进行求解即可．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点M（﹣2，m﹣3）在x轴上，
∴m﹣3＝0，
∴m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了点的坐标，熟知x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键．
13．（3分）若，是关于x，y的二元一次方程ax+2y＝3的一组解，则a＝ ．
【分析】将代入ax+2y＝3，即可求得a．
【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程ax+2y＝3的一组解，
∴2a+2×1＝3，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，掌握能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解是解题的关键．
14．（3分）如图，∠ACD是△ABC的一个外角，若∠ACD＝110°，∠B＝45°，则∠A＝ 65° ．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠ACD＝110°，∠B＝45°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝110°﹣45°＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
15．（3分）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是 10或11 ．
【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
∵此时能组成三角形，
∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
此时能组成三角形，
所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
16．（3分）如果关于x的不等式组无解，则常数a的取值范围是 a≤2 ．
【分析】根据不等式组解集的表示方法，可得答案．
【解答】解：，
∵不等式组无解，
∴a+2≥3a﹣2．
解得：a≤2．
故答案为：a≤2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：．
【分析】分别化简各项后，再进行加减运算即可
【解答】解：
＝
＝．
【点评】本题主要考查实数的混合运算，掌握实数的混合运算法则是关键．
18．（6分）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＞﹣1，
解不等式②，得：x≤2，
∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
其解集在数轴上表示如下：
．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
19．（6分）在三角形这一章的学习中我们知道：三角形的内角和是180°．这个结论的证明方法有很多．如图1，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．分析：通过画平行线，将∠A、∠B、∠C作等角代换，使各角之和恰为一个平角，依辅助线不同而得多种证法．
（1）证明：如图2，延长BC到D，过点C作CE∥BA．
∵BA∥CE，
∴∠B＝ ∠1 （两直线平行，同位角相等），
∠A＝∠2（ 两直线平行，内错角相等 ），
又∵∠BCD＝∠ACB+∠2+∠1＝180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代换）．
（2）证明的方法中主要体现了 A 的数学思想；
A．转化
B．分类
C．类比
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠1，∠A＝∠2，再由∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°（平角的定义）即可证明∠A+∠B+∠ACB＝180°；
（2）结合（1）的过程，得出证明的方法中主要体现了转化的数学思想，即可作答．
【解答】解：（1）∵BA∥CE，
∴∠B＝∠1（两直线平行，同位角相等），
∠A＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代换）．
故答案为：∠1；两直线平行，内错角相等；
（2）∵通过画平行线，将∠A、∠B、∠C作等角代换，使各角之和恰为一个平角，
∴结合（1）的过程，得出证明的方法中主要体现了转化的数学思想．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
20．（8分）体育是长沙市中考的必考科目，某校根据实际情况，决定主要开设A：立定跳远；B：跑步；C：实心球；D：跳绳这四种运动项目．为了解学生喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的条形统计图和扇形统计图，请你结合图中解答下列问题：
（1）本次调查学生共 300 人；将条形图补充完整；
（2）样本中喜欢C项目的人数所在扇形统计图中的圆心角的度数是 72° ；
（3）如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“立定跳远”这种活动的学生约有多少人？
【分析】（1）根据C项目的人数和占比即可求得样本容量；B项目的人数等于样本容量减去A，C，D项目的人数，再补全图形即可；
（2）根据喜欢C项目的人数所占百分比乘以360°即可得到喜欢C项目的人数所在扇形统计图中的圆心角的度数；
（3）运用样本估计总体即可求得该校选择“立定跳远”这种活动的学生数．
【解答】解：（1）C项目有60人，占比20%，
本次调查学生人数为：60÷20%＝300（人）．
B项目人数为：300﹣120﹣60﹣90＝30（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：300；
（2）360°×20%＝72°，
故答案为：72°；
（3）（人），
答：估计该校选择“立定跳远”这种活动的学生约有800人．
【点评】本题主要考查了条形统计图，用样本估计总体，扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（8分）把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得△A1B1C1，解答下列各题：
（1）写出点A，B，C的坐标；
（2）在图上画出△A1B1C1；
（3）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）利用已知图象，直接得出各点坐标即可；
（2）把△ABC的各顶点向上平移2个单位，再向右平移2个单位，顺次连接各顶点即为△A1B1C1；
（3）利用三角形的面积计算公式解答即可．
【解答】解：（1）根据图象得出：
点A、B、C的坐标为：A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣2）；
（2）△A1B1C1如图所示：
（3）△A1B1C1的面积＝×6×4＝12．
【点评】此题主要考查了作图﹣平移变换，三角形的面积，正确得出平移后对应点位置是解答本题的关键．
22．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．
（1）若∠B＝32°，∠C＝60°，求：
①∠DAC的度数；
②∠DAE的度数．
（2）若AB⊥AC，AC＝6，AB＝8，BC＝10，求AD的长．
【分析】（1）先根据三角形内角和性质得∠BAC＝88°，再结合角平分线的定义得∠EAC＝44°，再结合AD是高，得出∠DAC的度数，再根据角的关系进行运算得出∠DAE的度数，即可作答；
（2）运用等面积法进行列式，代入数值进行化简，即可作答．
【解答】解：（1）∵∠B＝32°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝88°，
∵AE是角平分线，
∴，
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝30°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝14°；
（2）∵AB⊥AC，AC＝6，AB＝8，BC＝10，
∴，
即AB×AC＝BC×AD，
∴．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，三角形的面积，关键是三角形面积公式的应用．
23．（8分）为着力提升劳动课程教育，加强学生实践能力，某中学开展了“空中蔬菜乐园”实践课．现需租甲、乙两种型号车辆运输蔬菜秧苗，已知2辆甲型运输车与3辆乙型运输车一次共运输蔬菜秧苗31袋，5辆甲型运输车与6辆乙型运输车一次共运输蔬菜秧苗70袋．
（1）一辆甲型运输车和一辆乙型运输车一次各运输蔬菜秧苗多少袋？
（2）该学校决定租甲、乙两种型号运输车共20辆参与运输蔬菜秧苗，若本次运输蔬菜秧苗总量不小于148袋，且乙型运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？
【分析】（1）根据2辆甲型运输车运输蔬菜秧苗加上3辆乙型运输车运输蔬菜秧苗等于31袋，5辆甲型运输车运输蔬菜秧苗加上6辆乙型运输车运输蔬菜秧苗等于70袋，列出方程组，求出解即可；
（2）先设两种型号车的辆数，并根据不等关系列出不等式组，再求出解集，讨论方案即可．
【解答】解：（1）设一辆甲型运输车一次运输x袋，一辆乙型运输车一次运输y袋，
，
解得．
即一辆甲型运输车一次运输8袋，一辆乙型运输车一次运输5袋；
（2）由题意可得，
设该学校租甲、乙两种型号的运输车分别为a辆、（20﹣a）辆，
，
解得16≤a≤18，
则a＝16，17，18，
所以20﹣a＝4，3，2．
故有三种租车方案，
第一种方案：甲型运输车18辆，乙型运输车2辆；
第二种方案：甲型运输车17辆，乙型运输车3辆；
第三种方案：甲型运输车16辆，乙型运输车4辆．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，关键是根据题意找到等量关系式和不等量关系式．
24．（10分）在平面直角坐标系中，已知点A（m，n）（m＞0，n＞0），B（b，0），C（c，0）．
（1）如图1，若正数b的立方根等于它本身，，则点A坐标为 （2，4） ，线段BC长度为 5 ，△ABC的面积为 10 ；
（2）在（1）的条件下，若点D（k，4k﹣4）为射线AB上一点，且满足，求此时点D的坐标；
（3）点D为线段AB上一点（不与A，B两点重合），点E为线段AC上一点（不与A，C两点重合）；
①如图2，若DE∥BC，点P是x轴上点B左侧的一点，连接PE，∠DEP的角平分线和∠PCA的角平分线交于点Q，求∠EQC与∠PEC的数量关系；
②如图3，若，，连接CD，BE，交于点F，记△ADE的面积为S1，△BDF的面积为S2，△CFE的面积为S3，那么是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【分析】（1）若正数b的立方根等于它本身，则b＝1，，则m＝2，n＝4，c＝6，进而求解；
（2），则|yD|＝yA＝2，即可求解；
（3）①由QH∥BC，得到∠EQC＝α+β，由AD∥BC，得到∠PEC+2α+2β＝180°，即可求解；
②由AD＝AB，得到S2+S＝S1；由AE＝AC，同理可得：S+S3＝2S1，即可求解．
【解答】解：（1）若正数b的立方根等于它本身，则b＝1，
∵，则m＝2，n＝4，c＝6；
故点A的坐标为：（2，4）、点B（1，0），点C（6，0），
则BC＝6﹣1＝5，△ABC的面积＝×BC×yA＝×5×4＝10，
故答案为：（2，4），5，10；
（2）∵，则|yD|＝yA＝2，
即|4k﹣4|＝2，
解得：k＝或，
则点D（，﹣2）或（，2）；
（3）①设∠DEQ＝∠PEQ＝α，∠ACQ＝∠PCQ＝β，
过点Q作射线QH∥BC，则∠HQC＝∠PCQ＝β，∠EQH＝∠DEQ＝α，
则∠EQC＝α+β①，
∵AD∥BC，
则∠DEC+∠PCE＝180°，即∠PEC+2α+2β＝180°②，
由①②得：∠EQC+∠PEC＝90°；
②为定值，理由：
设S△DEF＝S，
∵AD＝AB，
则S△ADE＝S△DEB，即S2+S＝S1③；
∵AE＝AC，
同理可得：S+S3＝2S1④，
由③④得：S2﹣S2＝S1，
即为定值1．
【点评】本题考查的是三角形综合题，涉及到面积的计算、平行线的性质等，分类求解是解题的关键．
25．（12分）不妨约定：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c为常数，且abc≠0），
若系数满足a+b＝2c，则称这个方程为“开心”方程．例如：方程4x+2y＝3，其中a＝4，b＝2，c＝3，满足a+b＝2c，且abc≠0，则方程4x+2y＝3是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组．根据上述规定，回答下列问题：
（1）判断以下方程是不是“开心”方程（填“是”或“不是”）；
①4x+y＝10 不是 ；② 是 ．③x﹣y＝0 不是 ；
（2）若关于x，y的“开心”方程组的解为，求p﹣q的值．
（3）关于x，y的“开心”方程组满足n＜k≤m，其中n，m，k为整数，t为常数且t+6≠0，求m的值，并求此“开心方程组”的解．
【分析】（1）根据“开心”方程的定义求解即可；
（2）解方程组得，代入原方程组得，求出p﹣q＝0；
（3）根据“开心”方程的定义将方程组整理为，解得，由n＜k≤m求得m＝2，得到代入原方程可求解，
【解答】解：（1）对于方程4x+y＝10，a＝4，b＝1，c＝10，
∵a+b＝5≠2×10＝2c，
∴方程4x+y＝10不是开心方程；
对于方程，，
∵
∴方程是开心方程；
对于方程x﹣y＝0，c＝0，所以，方程x﹣y＝0不是开心方程；
故答案为：不是；是；不是；
（2）由题意可知：，
解得：，
将代回原方程组得：，
由①+②得：，
∵，
∴p﹣q＝0；
（3）由题可知：，
化简可得：．
解得，
∵n＜k≤m，
∴2﹣3m＜2m﹣2≤m，
解得，
∵m为整数，
∴m＝1或2
根据新定义，所以舍去1，则m＝2，
∴，
代入原方程得：，
消去y化简可得2（t+6）x＝t+6；
∵t≠﹣6，
所以：“开心方程组”的解为．
【点评】本题主要考查二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键．
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