第三章 函数（单元重点综合测试）含解析
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第三章 函数（单元重点综合测试）（考试时间：120分钟；满分：150分）姓名___________ 班级_________ 考号_______________________选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（23-24高一下·云南昆明·期中）已知函数，则（ ）A．14 B．5 C．1 D．-1【答案】B【分析】根据分段函数解析式代入计算可得.【详解】因为，所以.故选：B2．（23-24高一上·天津·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数.【详解】对于A，和定义域均为R， ，故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误；对于B，和定义域均为R，，故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确；对于C，定义域为，定义域为R，故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故C错误；对于D，定义域为R，定义域为，故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故D错误；故选：B.3．（22-23高一上·福建莆田·期中）设函数若为奇函数，则（ ）A．4 B．2 C． D．【答案】A【分析】由分段函数得，再利用为奇函数得，，代入计算即得.【详解】因是奇函数，故.故选：A.4．（23-24高一上·安徽淮北·期中）函数的定义域为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得.【详解】函数有意义，则，解得，所以原函数的定义域为.故选：A5．（23-24高二下·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（ ）A． B．和C． D．和【答案】D【分析】作出的图象，结合图象可得单调区间.【详解】因为，作出的图象，如图所示，由图象可知：函数的单调递增区间是和.故选：D.6．（23-24高一上·江苏南京·期中）下列函数中，值域是的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据值域的定义结合函数解析式逐项分析判断.【详解】对于选项A：当时，，即值域有0，故A错误；对于选项B，因为，即值域没有1，故B错误；对于选项C：函数的定义域为，所以函数值域不连续，故C错误．对于选项D：因为的取值范围是，所以函数的值域为，故D正确．故选：D．7．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数在上单调递减，根据分段函数单调性的判定方法，则满足且，解得，实数的取值范围为.故选：B.8．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定的函数式，结合函数变换画出图象，求出在上的解析式，借助数形结合求得结果.【详解】当时，，由，得，即函数的图象每向右平移1个单位，图象上对应点的纵坐标变为原来的2倍，如图， 当时，，令，整理得：，解得，观察图象知，当时，对任意时，成立，所以m的取值范围是.故选：B【点睛】易错点睛：图象解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（23-24高二下·浙江·期中）已知定义在上的偶函数，定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则（ ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由函数奇偶性与单调性分别判断即可．【详解】因为定义在上的偶函数，定义在上的奇函数，且，在上单调递增，所以，，在单调递减，在上单调递增，对于A，因为的正负无法确定，若，则，故A错误；对于B，由，在上单调递增，则，故B正确；对于C，由，在上单调递增，则，故C正确；对于D，由，在上单调递增，则，故D正确；故选：BCD．10．（2022·辽宁锦州·一模）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）A． B．在上为减函数C．点是函数的一个对称中心 D．方程仅有个实数解【答案】CD【分析】根据和的奇偶性可推导得到，，由可知A错误；推导可得，知C正确；作出图象，结合图象知B错误；将解的个数转化为与的交点个数，结合图象可知D正确.【详解】为奇函数，，即，关于点对称；为偶函数，，即，关于对称；由，得：，，即是周期为的周期函数；对于A，，A错误；对于C，，即，关于点成中心对称，C正确；对于BD，由周期性和对称性可得图象如下图所示， 由图象可知：在上单调递增，B错误；方程的解的个数，等价于与的交点个数，，，结合图象可知：与共有个交点，即有个实数解，D正确.故选：CD.11．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知函数和在上的图象如图所示，给出下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A．方程有且仅有6个根 B．方程有且仅有3个根C．方程有且仅有4个根 D．方程有且仅有4个根【答案】AD【分析】结合函数图象，分析函数与根的情况即可.【详解】对于A，由题图知方程有三个根，，，，由题图知方程有两个不同的根，有两个不同的根，有两个不同的根，则方程有且仅有6个根，故A正确；对于B，由题图知方程有两个根，，，由题图只有1个根，方程有三个不同的根，则方程有且仅有4个根，故B错误；对于C，由图知只有1个根，方程有三个不同的根，方程只有1个根，则方程有且仅有5个根，故C错误；对于D，由图知方程有两个不同的根，方程有两个不同的根，则方程有且仅有4个根，故D正确，故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的值为 .【答案】【分析】根据二次函数的对称性讨论最值取值情况即可得实数的值.【详解】函数的对称轴为直线，因为当时，，得（舍去），当时，，得，综上，实数的值是.故答案为：.13．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数为偶函数，当时，，则当时的解析式 .【答案】【分析】利用偶函数的性质可得到，再由对称性，即可计算出结果.【详解】由是偶函数可得：，即，所以当时，则，即，故答案为：.14．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知，满足，则的取值范围是 ．【答案】【分析】根据自变量的范围，代入解析式，即可由一元二次不等式求解.【详解】若，则，故，由可得，当，则，故，由可得，当时，则不符合要求，综上可知：的取值范围为故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知二次函数.(1)若，求在上的值域；(2)当时，在上恒成立，求b的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，得到函数的解析式，结合二次函数的性质，即可求解；（2）根据题意，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）解：因为，可得，解得，所以，可得图象的对称轴为直线，且开口向上，所以在上单调递增，又因为，所以在上的值域为.（2）解：当时，可得.因为在上恒成立，则满足，解得，所以实数的取值范围为.16．（15分）（23-24高一上·山东青岛·期中）已知（）．(1)当时，求不等式的解集；(2)若时，有实数解，求a的范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）将代入得，再代入不等式移项通分，进而解分式不等式得到答案.（2）由题意得，令，进而利用单调性和不等式的性质求的值域，于是得到a的范围.【详解】（1）当时，.代入原不等式：，即，移项通分，解得.∴原不等式的解集为（2）由于在上有解，所以，即求在值域，由于在单调递增，所以，于是，即.所以．17．（15分）（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象；(1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间；(2)写出函数的解析式；(3)若函数，求函数的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)(3).【分析】（1）利用关于原点中心对称作出图象，由图象得单调区间；（2）根据奇函数定义求解析式；（3）用二次函数性质分类讨论即可求得最小值．【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，即函数的图象关于原点对称，则函数图象如图所示．故函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）根据题意，令，则，则，又因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以.（3）当时，，则，其对称轴为，当时，即，则，当时，即，则，故.18．（17分）（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，．(1)求；(2)证明：函数在为增函数；(3)如果，解不等式．【答案】(1)0(2)证明见解析(3)【分析】（1）对抽象等式进行字母赋值计算即得；（2）将抽象函数等式变形为，利用函数单调性定义，结合条件即可证明；（3）先推理得到，再利用结论化简，最后利用抽象函数的单调性即得.【详解】（1）∵，令，则，∴；（2）由，可得，则得，，设，由，因时，有，依题意，，即，所以函数在为增函数；（3）因，∴，又由，则 ，由可得，即，即，因函数在为增函数故可得，，解得，即不等式的解集为.【点睛】方法点睛：本题主要考查利用抽象函数等式探究函数性质以及解不等式上的应用，属于难题.解题方法主要有：（1）赋值代入法；（将字母取值，计算函数值）（2）构造函数法：(如（2）题中，对于，构造，从而得用来证明函数单调性)（3）函数单调性应用：利用函数单调性，去掉函数符号，化抽象函数不等式为具体不等式求解.19．（17分）（23-24高一上·浙江杭州·期中）第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展.等备期间，计划向某河道投放水质净化剂，已知每投放a个单位（且）的试剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的试剂浓度为每次投放的试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中净化剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能净化有效.(1)若只投放一次4个单位的净化剂，则有效时间最多能持续几天？(2)若先投放2个单位的净化剂，6天后再投放m个单位的净化剂，要使接下来的5天中，净化剂能够持续有效，试求m的最小值.【答案】(1)7天；(2)2.【分析】（1）根据给定的函数模型求投放一次4个单位的净化剂的有效时间即可.（2）由题设，将问题化为在上恒成立，利用基本不等式求右侧最大值，即可得求参数最小值.【详解】（1）因为一次投放4个单位的净化剂，所以水中释放的浓度为，当时，，解得；当时，，解得，综上，，所以一次投放4个单位的净化剂，则有效时间可持续7天.（2）设从第一次投放起，经过天后浓度为．因为，则，，所以，即，令，，所以，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故为使接下来的5天中能够持续有效m的最小值为2.
