北京专用高中数学高一上学期第一次月考卷（范围：集合与常用逻辑用语+一元二次函数+方程和不等式）含答案解析.zip

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：集合与常用逻辑用语+一元二次函数、方程和不等式。
5．难度系数：0.70。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，所以.故选：B.
2．命题：的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】命题：是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题：的否定是：，故选：C
3．已知、、，则下列选项可能成立的是（ ）
A．、、、B．、、、
C．、、、D．、、，
【答案】C
【解析】因为、，故，排除BD；
因为，所以，，又，所以，故A错误，C正确.
故选：C.
4．已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因不等式对任意的实数x恒成立，则
①当时，不等式为，恒成立，符合题意；
②当时，不等式在R上恒成立等价于，解得：.
综上可得：实数k的取值范围为.
故选：C.
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】时，由，解得：，时，解得：，不是必要条件，
反之也推不出，比如，不是充分条件，
故“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
6．设集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，集合，，若，
则.故选：C.
7．若关于x的不等式对于任意恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】，即，，故，
则，，当且仅当，时等号成立，故.
故选：A.
8．已知方程组的解集为，且，则（ ）
A．1或B．或C．或D．2或
【答案】B
【解析】由题设，则，且，
所以，，
而，即，
整理得，可得.
故选：B.
9．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，，可得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立．
所以，解得或，
所以实数的取值范围是．
故选：C．
10．已知甲､乙､丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回.若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠公里数为（ ）
A．1080B．900C．810D．540
【答案】C
【解析】甲、乙、丙三人一起出发，设天后，乙丙两人同时把水和食物交给甲，乙丙分别给甲天的水和食物，于是，解得，甲全程共有水和食物的天数，
因此从出发点甲最多往前走天，最远能深入沙漠公里；
甲、乙、丙三人一起出发，设天后乙丙之一独自返回，不妨令丙返回，丙扣除2天的水和食物后，
把剩余的水和食物的一半分别分给甲乙，则由，得，
从出发甲乙带的水和食物的天数都为，当且仅当时取等号，
要使前行天数最多，则取，甲乙均有36天的水和食物，甲乙继续前行，再行天后，乙独自返回，
乙扣除天的水和食物后，把剩余的水和食物给甲，则由，解得，
此时甲全程共有水和食物的天数是，
因此从出发点甲最多往前走27天，最远能深入沙漠公里，显然，
所以甲最远能深入沙漠公里数为810.故选：C.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知集合，，且，则a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为，所以.故答案为：.
12．某班共42人，其中20人喜爱篮球运动，25人喜爱乒乓球运动，12人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .
【答案】5
【解析】设集合表示：喜爱篮球运动的学生，集合表示：喜爱乒乓球运动的学生，整个班级学生为集合,则由题可知，的元素个数为20，的元素个数为25，
则的元素个数为12，所以的元素个数为，
所以的元素个数为，
所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为人，故答案为:5.
13．已知正实数 满足 ，则 的最小值为 .
【答案】
【详解】正实数且得，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
的最小值为.
故答案为：
14．“，”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值 ．
【答案】5（答案不唯一）
【详解】若，则，
当时，不等式可化为，
解得，此时不等式的解集为，不合题意，
当时，不等式可化为，
此时不等式的解集为，符合题意，
当时，由不等式的解集为，
可得，即，
即，解得或，
综上可知，实数a的取值范围是，
所以一个满足条件的实数a的值可以为：5.
故答案为：5.
15．设集合M为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称M为封闭集．有以下结论：
①为封闭集；
②若M为封闭集，则一定有；
③存在集合，A不为封闭集；
④若M为封闭集，则满足的任意集合T也是封闭集．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【解析】①设，，其中．
则，∵，，∴；
，∵，，∴；
，
∵，，．
∴M为封闭集，故①正确；
②若为封闭集，则，取，得，故②正确；
③取，∵，故A不为封闭集，故③正确；
④取，满足条件，但，不是封闭集，故④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（13分）
已知关于的不等式．
（1）若时，求不等式的解集；
（2）求不等式的解集.
【解析】（1）当时，，，得 ，
所以不等式的解集为，-------------------------------------------4分
（2）由，得，-------------------------------------------6分
当，即时，不等式的解集为，-------------------------------------------8分
当，即时，不等式的解集为，-------------------------------------------10分
当，即时，不等式的解集为，-------------------------------------------12分
综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为-------------------------------------------13分
17．（14分）
已知集合，．
（1）若，求，；
（2）若，求实数a的取值范围．
【解析】（1）解：当时，集合，
因为，
所以，-------------------------------------------2分
且或，-------------------------------------------4分
则.-------------------------------------------6分
（2）解：由集合，，
若，可得，-------------------------------------------8分
则满足，解得，-------------------------------------------13分
所以实数的取值范围为.-------------------------------------------14分
18．（13分）
已知，是方程的两个实数根，且．
（1）求k的取值．
（2）求的值．
【解析】（1）由题意知，，，----------------------------------4分
则，
解得，所以的值为；-------------------------------------------7分
（2）由，
得，-------------------------------------------10分
由（1）知，当时，，则.
所以的值为50.-------------------------------------------13分
19．（15分）
甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度的平方的倍，固定成本为元.
（1）将全程运输成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶?
【解析】（1）由题意得可变成本为元，固定成本为a元，
所用时间为，
则，定义域为．-------------------------------------------5分
由（1）得，
当且仅当，即时取等号，-------------------------------------------9分
易知函数在上单调递减，在上单调递增.----------------------------11分
又，
所以当时，货车以km/h的速度行驶，全程运输成本最小；------------13分
当时，货车以100km/h的速度行驶，全程运输成本最小．-------------------15分
20．（15分）
已知不等式的解集为.
（1）求实数，的值；
（2）若，，且，求的最小值.
【解析】（1）因为的解集为，
所以和为方程的两个实根，二次项系数a不为0，
根据韦达定理，则有，解得.-------------------------------------------5分
当时，的解集为，符合题意.--------------6分
综上，.-------------------------------------------7分
（2）由（1）可知，，
因为，，
所以，--------------------------------------12分
当且仅当，即时取等号，-------------------------------------------14分
所以的最小值为.-------------------------------------------15分
21．（15分）
已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数．
（1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集；
（2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由；
（3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值．
【解析】（1）若，有，由，则，
满足，集合A是的恰当子集；-------------------------------------------3分
（2）是的恰当子集，则，
，由则或，
时，，此时，，满足题意；
时，，此时，，满足题意；
，或，.-------------------------------------------7分
（3）若存在A是的恰当子集，并且，
当时，，有，满足，
所以是的恰当子集，-------------------------------------------9分
当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或，-------------------------------------------11分
时，设，经检验没有这样的满足；
当时，设，经检验没有这样的满足，-------------------------------------------13分
因此不存在A是的恰当子集，并且，
所以存在A是的恰当子集，并且的n的最大值为10.-------------------------------------------15分