新高考地区专用高中数学高二上学期第一次月考卷02（空间向量与；立体几何+直线与圆）含答案解析.zip

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与方程。
5．难度系数：0.7。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知点，则直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知直线的斜率为.故选：A
2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据点关于平面对称时，
横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数可知，
点关于平面的对称点为，故选：C.
3．过原点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直线的斜率为，与直线垂直的直线斜率为，
又直线过原点，故其方程为.故选：C.
4．正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，
可得，
则，
所以直线，所成角的余弦值为.故选：B.
5．如图，在平行六面体中，，，则的长为（ ）
A．B．C．85D．97
【答案】B
【解析】依题意可得，，，，
，．
，
，
，即的长为.故选：B．
6．若两平行直线与之间的距离是，则（ ）
A．B．C．1D．0
【答案】D
【解析】因为直线与直线平行，
所以有，所以有，
又因为这两条平行线间距离为，
所以有，或舍去，
所以，故选：D
7．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于选项A，，所以，
根据线面垂直的性质可知,故在平面内；
对于选项B，，则，
在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内；
对于选项C，，则，
在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内；
对于选项D，，则，
在平面内，根据线面垂直的性质可知,
故不在平面内；故选：A
8．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQR的周长等于（ ）
A．853B．2373
C．415D．533
【答案】A
【详解】解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，
所以直线BC的方程为x+y-4=0.
设P(t,0)(00，得a>-1， ………….(6分)
∴S△AOB=12⋅5+2a⋅5+2aa+1=124a+1+9a+1+12≥1224a+1⋅9a+1+12=12，
当且仅当4a+1=9a+1，即a=12时，取等号． ………….(9分)
∴A4,0，B0,6，
∴直线方程为3x+2y-12=0． ………….(10分)
（3）直线l在两坐标轴上的截距均为正整数，
即5+2a，5+2aa+1均为正整数，而a也为正整数， ………….(12分)
∵5+2aa+1=2+3a+1，∴a=2， ………….(14分)
∴直线l的方程为3x+y-9=0． ………….(15分)
18．（17分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点．
(1)证明：平面PAD；
(2)若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：∵M为棱PC的中点，
∴，
∵，∴，
∴四边形ABMN是平行四边形，∴，
又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD．分
（2）∵，∴，∴，
∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，
∴平面ABCD，
又AD，平面ABCD，∴，而，，分
∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图：则，
∵M为棱PC的中点，
∴分
（i），
设平面BDM的一个法向量为，
则，令，则，∴，
平面PDM的一个法向量为，分
∴，
根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为分
（ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是，
设，
则，分
由（2）知平面BDM的一个法向量为，
，
∴点Q到平面BDM的距离是，分
∴，∴．分
19．（17分）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．
(1)若，，求的斜60°坐标；
(2)在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①求的斜60°坐标；
②若，求与夹角的余弦值．
【解析】（1）由，，
知，，
所以，所以；分
（2）设，，分别为与，，同方向的单位向量，
则，，，分
①，
分
②因为，所以，
则，分
∵，
∴，分
，
所以与的夹角的余弦值为分