高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系精品课时练习

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知识点01： SKIPIF 1 < 0 图（韦恩图）
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为 SKIPIF 1 < 0 图。
SKIPIF 1 < 0 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用 SKIPIF 1 < 0 图，可以使问题简单明了地得到解决。
对 SKIPIF 1 < 0 图的理解
(1)表示集合的 SKIPIF 1 < 0 图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
(2)用 SKIPIF 1 < 0 图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.
知识点02：子集
1子集：
一般地，对于两个集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如果集合 SKIPIF 1 < 0 中任意一个元素都是集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 SKIPIF 1 < 0 为集合 SKIPIF 1 < 0 的子集
（1）记法与读法：记作 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 )，读作“ SKIPIF 1 < 0 含于 SKIPIF 1 < 0 ”(或“ SKIPIF 1 < 0 包含 SKIPIF 1 < 0 ”)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即 SKIPIF 1 < 0 .
②对于集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 图表示：
2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别
符号“ SKIPIF 1 < 0 ”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“ SKIPIF 1 < 0 ”表示元素与集合之间的从属关系.
【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）写出集合 SKIPIF 1 < 0 的所有子集．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】集合 SKIPIF 1 < 0 的所有子集有： SKIPIF 1 < 0
知识点03：集合相等
一般地,如果集合 SKIPIF 1 < 0 的任何一个元素都是集合 SKIPIF 1 < 0 的元素,同时集合 SKIPIF 1 < 0 的任何一个元素都是集合 SKIPIF 1 < 0 的元素,那么集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 相等,记作 SKIPIF 1 < 0 .也就是说,若 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 .
（1） SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 图表示
（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关
【即学即练2】（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）下面说法中不正确的为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】对于A，因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B，因集合 SKIPIF 1 < 0 的元素为有序数对，而 SKIPIF 1 < 0 的元素为实数，两个集合的对象不同，B不正确；对于C，因集合 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都表示大于2的数形成的集合，即 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；对于D，由列举法表示集合知 SKIPIF 1 < 0 正确，D正确.故选：B
知识点04：真子集的含义
如果集合 SKIPIF 1 < 0 ，但存在元素 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，我们称集合 SKIPIF 1 < 0 是集合 SKIPIF 1 < 0 的真子集;
（1）记法与读法：记作 SKIPIF 1 < 0 ，读作“ SKIPIF 1 < 0 真包含于 SKIPIF 1 < 0 ”(或“ SKIPIF 1 < 0 真包含 SKIPIF 1 < 0 ”)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 图表示：
【即学即练3】（2023·全国·高三专题练习）满足条件： SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 的集合M的个数为______.
【答案】7
【详解】由 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 可知，M中的元素个数多于 SKIPIF 1 < 0 中的元素个数，不多于 SKIPIF 1 < 0 中的元素个数，因此M中的元素来自于b,c,d中，即在b,c,d中取1元素时，M有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个，故足条件： SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 的集合M的个数有7个，故答案为：7.
知识点05：空集的含义
我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： SKIPIF 1 < 0
规定：空集是任何集合的子集，即 SKIPIF 1 < 0 ;
性质：①空集只有一个子集，即它的本身， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【即学即练4】（2023·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）有下列四个命题：①＝{0}；② SKIPIF 1 < 0 {0}；③{1} SKIPIF 1 < 0 {1，2，3}；④{1}∈{1，2，3}；其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，故①错误，②正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故③正确，④错误，正确的个数为2.故选：B
题型01 判断两个集合的包含关系
【典例1】（2023·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】对于A：集合 SKIPIF 1 < 0 为点集，含有元素 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 含有两个元素 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不包含于 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；对于B： SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；对于C： SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；对于D：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；故选：A
【典例2】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由题意知，，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
【典例3】（2023·高三课时练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的关系满足（ ）
A． SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 .故选：B．
【典例4】（2023·高一单元测试）设集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则集合 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 中元素都属于 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 中元素 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则这三个集合间的关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】依题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，{偶数} SKIPIF 1 < 0 ，
因此集合 SKIPIF 1 < 0 中的任意元素都是集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素，即有 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 中的每一个元素都是集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
题型02 判断子集（真子集）的个数
【典例1】（2023·陕西咸阳·统考三模）设集合 SKIPIF 1 < 0 ，则集合 SKIPIF 1 < 0 的真子集个数是（ ）
A．6B．7C．8D．15
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以集合A的真子集个数是 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B．
【典例2】（2023·高一单元测试）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则满足条件 SKIPIF 1 < 0 的集合 SKIPIF 1 < 0 的个数为_____个.
【答案】31
【详解】集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的真子集，故有 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为：31
【变式1】（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，满足这样的集合 SKIPIF 1 < 0 的个数（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【详解】根据题意可知，集合 SKIPIF 1 < 0 还应包含集合 SKIPIF 1 < 0 中除元素1，2之外的其他元素；
若集合 SKIPIF 1 < 0 中有三个元素，则 SKIPIF 1 < 0 可以是 SKIPIF 1 < 0 ；
若集合 SKIPIF 1 < 0 中有四个元素，则 SKIPIF 1 < 0 可以是 SKIPIF 1 < 0 ；
若集合 SKIPIF 1 < 0 中有五个元素，则 SKIPIF 1 < 0 可以是 SKIPIF 1 < 0 ；即这样的集合 SKIPIF 1 < 0 的个数为7个.故选：B
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的子集的个数为（ ）
A．4B．8C．15D．16
【答案】D
【详解】集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个子集.故选：D．
题型03 求集合中子集（真子集）
【典例1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若使 SKIPIF 1 < 0 成立的实数 SKIPIF 1 < 0 的取值集合为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的一个真子集可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【详解】由题意集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ,则M的一个真子集可以是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故选：BC.
【典例2】（2023·高一课时练习）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 若用列举法表示，则集合 SKIPIF 1 < 0 是________.
【答案】{∅，{1}，{2}，{1,2}}
【详解】由题意得，A＝{1,2}，B＝{x|x⊆A}，则集合B中的元素是集合A的子集：∅，{1}，{2}，{1,2}，
所以集合B＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，故答案为：{∅，{1}，{2}，{1,2}}.
【变式1】（多选）（2023秋·福建宁德·高一福建省霞浦第一中学校考期末）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的真子集，则集合N可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，则集合 SKIPIF 1 < 0 中至少包含2，4两个元素，又不能等于或多于 SKIPIF 1 < 0 ，2，3，4， SKIPIF 1 < 0 中的元素，所以集合 SKIPIF 1 < 0 可以是 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故选：ABC
题型04空集的概念集判断
【典例1】（2023·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】A选项： SKIPIF 1 < 0 ，不是空集；B选项： SKIPIF 1 < 0 {x|x>6或x6且x