数学必修 第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切优秀课后测评

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知识点01：两角和与差的余弦公式
两角和与差的余弦公式
（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
①简记符号: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
②适用条件:公式中的角 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是任意角.
【即学即练1】求下列各式的值：
(1) SKIPIF 1 < 0 ； (2) SKIPIF 1 < 0 ．
知识点02：两角和与差的正弦公式
（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
①简记符号: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
②适用条件:公式中的角 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是任意角.
【即学即练2】 SKIPIF 1 < 0 ．
知识点03：两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式
（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
①简记符号: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
②适用条件:公式中的角 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
③变形结论：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【即学即练3】已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型01两角和与差余弦公式
【典例1】计算 SKIPIF 1 < 0 的值（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】 SKIPIF 1 < 0 .
题型02已知两角的正弦，余弦求和差角的余弦
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 都为锐角， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例3】已知锐角 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ； (2)求 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 都是第二象限角，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】已知锐角 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式3】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别位于第二、四象限，求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值．
题型03 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的余弦值
【典例1】 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】求下列各式的值．
(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 ；(4) SKIPIF 1 < 0
【变式1】（多选）下列各式正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】求75°，15°角的余弦值．
题型04用和差角的余弦公式化简、求值
【典例1】 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】化简求值：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【变式2】求下列各式的值.
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0
【变式3】（1）求值： SKIPIF 1 < 0 .
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求角 SKIPIF 1 < 0 的值.
题型05逆用和差角的余弦公式化简、求值
【典例1】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式2】已知 SKIPIF 1 < 0 是锐角，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
题型06两角和与差正弦公式
【典例1】 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】求下列各式的值：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】 SKIPIF 1 < 0 = .
【变式2】化简计算： SKIPIF 1 < 0 .
题型07已知两角的正弦，余弦求和差角的正弦
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值.
【变式1】若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
题型08 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的正弦值
【典例1】求75°，15°角的正弦值．
【变式1】计算 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型09用和差角的正弦公式化简、求值
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 为第二象限角，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 .
【典例2】 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】 SKIPIF 1 < 0 ;
【变式2】化简：
(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
题型10逆用和差角的正弦公式化简、求值
【典例1】 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【变式1】 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型11两角和与差正切公式
【典例1】利用两角和（差）的正切公式，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 ，分别求下列各式的值．
(1) SKIPIF 1 < 0 ； (2) SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】化简下列各式：
(1) SKIPIF 1 < 0 ； (2) SKIPIF 1 < 0 ．
【变式2】已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边上一点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型12已知两角的正弦，余弦求和差角的正切
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B．6C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ，角 SKIPIF 1 < 0 的终边上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式1】若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是第三象限角，求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值.
【变式3】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是锐角．
(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
题型13 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的正切值
【典例1】 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式1】 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
题型14用和差角的正切公式化简、求值
【典例1】已知角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C．－3D．3
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．7
【变式2】已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
【变式3】求下列各式的值.
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
题型15逆用和差角的正切公式化简、求值
【典例1】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1
C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【典例2】 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．1C．0D． SKIPIF 1 < 0
【典例3】 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【变式1】 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式3】计算 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
A夯实基础
一、单选题
1． SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2． SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3． SKIPIF 1 < 0 的值等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C．0D． SKIPIF 1 < 0
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知钝角a满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知 SKIPIF 1 < 0 均是锐角，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
9．下列式子中值为 SKIPIF 1 < 0 的为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（ ）
A．每一个直角三角形的面积为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
11． SKIPIF 1 < 0 ．
12．计算 SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
13．（2023春·海南省直辖县级单位·高一校考期中）求下列各式的值:
(1) SKIPIF 1 < 0 ;
(2) SKIPIF 1 < 0 .
14．计算：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
15．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为第四象限角，求下列各式的值：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
B能力提升
1（多选）下列计算中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
4．已知 SKIPIF 1 < 0 均为锐角， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
C综合素养
1．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（多选））已知 SKIPIF 1 < 0 ，角 SKIPIF 1 < 0 的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列点在角 SKIPIF 1 < 0 的终边上的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
.
4．（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
（2）化简求值： SKIPIF 1 < 0 ；
第2课时：二倍角的正弦、余弦、正切公式
知识点01：二倍角的正弦、余弦正切公式
① SKIPIF 1 < 0
② SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
③ SKIPIF 1 < 0
【即学即练1】 SKIPIF 1 < 0 .
【即学即练2】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【即学即练3】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
知识点02：降幂公式
① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0
【即学即练4】 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【即学即练5】函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期等于 .
题型01 利用二倍角公式解决给角求值问题
【典例1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知角 SKIPIF 1 < 0 的顶点为原点，始边为 SKIPIF 1 < 0 轴的非负半轴，若其终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边与单位圆交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
题型02利用二倍角公式求角
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【变式2】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
题型03利用二倍角公式解决条件求值问题
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为锐角， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式3】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值．
题型04二倍角中的拼凑角问题
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 ​，则 SKIPIF 1 < 0 ​ ．
【典例3】已知 SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】已知 SKIPIF 1 < 0 是第一象限角，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式3】已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
题型05二倍角公式与数学文化的结合
【典例1】我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长 SKIPIF 1 < 0 与太阳天顶距 SKIPIF 1 < 0 的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长 SKIPIF 1 < 0 等于表高 SKIPIF 1 < 0 与太阳天顶距 SKIPIF 1 < 0 正切值的乘积，即 SKIPIF 1 < 0 ．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，第二次的“晷影长”是“表高”的4倍，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比，其比值为 SKIPIF 1 < 0 ，上述比例又被称为黄金分割．将底和腰之比等于 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形称为黄金三角形，若某黄金三角形的一个底角为C，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，因为在五角星中可以找到许多线段之间的长度关系是符合黄金分割比的，也就是说正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形.如图所示的五角星中 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 等都是黄金分割比 SKIPIF 1 < 0 ，已知五角星的顶角是36°，则利用上面信息可求得 SKIPIF 1 < 0 （ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领域，黄金分割的比值为无理数 SKIPIF 1 < 0 该值恰好等于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
A夯实基础
一、单选题
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
2． SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边落在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
9．下列各式中，值为 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．下列各式中，值为 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
11．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
12．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值域为 .
四、解答题
13．求下列各式的值：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 .
14．如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，锐角 SKIPIF 1 < 0 和钝角 SKIPIF 1 < 0 的终边分别与单位圆交于A，B两点，且 SKIPIF 1 < 0 两点的横坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值.
B能力提升
1．已知 SKIPIF 1 < 0 为锐角，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2． SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
5.5.2简单的三角恒等变换
知识点01：半角公式
① SKIPIF 1 < 0
② SKIPIF 1 < 0
③ SKIPIF 1 < 0
知识点02：辅助角公式：
SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 )
知识点03：万能公式
① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 ③ SKIPIF 1 < 0
题型01 降幂公式
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是 .
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式2】函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期是 ．
题型02 利用半角公式、万能公式求值
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 .
【变式3】已知 SKIPIF 1 < 0 ，α为第四象限角，求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
题型03简单的三角恒等变换
【典例1】化简 SKIPIF 1 < 0 ．
【典例2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期及 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
【变式1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期和对称轴方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域.
【变式2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期；
(2)求函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值和最小值；
(3)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
题型04辅助角公式的应用
【典例1】函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期是（ ）
A．πB． SKIPIF 1 < 0 C．2πD． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间．
【典例3】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间．
【变式1】函数 SKIPIF 1 < 0 的单调减区间为 ．
【变式2】函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 ．
【变式3】函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
题型05三角函数的实际应用
【典例1】如图，在半径为 SKIPIF 1 < 0 、圆心角为 SKIPIF 1 < 0 的扇形 SKIPIF 1 < 0 弧上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，作扇形的内接矩形 SKIPIF 1 < 0 ，使点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，则这个矩形面积的最大值为（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2如图，在凸四边形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形ABCD面积的最大值为 .

【变式1】如图所示，已知OPQ是半径为2，圆心角为 SKIPIF 1 < 0 的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记 SKIPIF 1 < 0 ，求当角 SKIPIF 1 < 0 取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

【变式2】已知OPQ是半径为1，圆心角为 SKIPIF 1 < 0 的扇形，C是扇形弧上的动点.ABCD是扇形的内接矩形，记 SKIPIF 1 < 0 ，矩形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求矩形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 的值.
(2)求 SKIPIF 1 < 0 关于角 SKIPIF 1 < 0 的解析式，并求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
A夯实基础
一、单选题
1．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．求值： SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
3．下列函数中，最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 的偶函数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．－ SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．－2D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
9． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 化简的结果可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．－2
三、填空题
11．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域是 .
12．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
13．设常数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的解.
14．已知函数 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 图象的任意两条对称轴，且 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
B能力提升
1．如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 内接于半径为1、中心角为 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）的扇形 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求矩形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值，并求此时 SKIPIF 1 < 0 的长．
2．如图，长方形ABCD， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的直角顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求梯形BCNM的面积S；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的周长l的最小值，并求此时角 SKIPIF 1 < 0 的值．
课程标准
学习目标
①理解与掌握两角差与和的余弦公式。
②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。
③能利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值（角）、化简、证明等问题的解决
会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的求值、化简及证明
课程标准
学习目标
①掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式
的内容。
②会运用二倍角的三角函数公式解决三
角函数式的化简、求值与证明。
掌握二倍角公式的恒等变形与应用，解决与二倍角有关的三角函数式的计算与证明
课程标准
学习目标
①会运用三角函数的正弦、余弦、正切的和与差、二倍角公式进行三角函数式的化简与求值。
②会运用相应的三角函数公式进行三角函数式的证明。
会运用三角函数的相关公式进行简单的三角恒等变换，并能解决与三角函数有关的计算、化简、证明等问题.